Skala i obliczenia na planach

Skala mówi, ile razy długości na rysunku są mniejsze albo większe od długości rzeczywistych.

Zapis $1:n$ znaczy, że $1$ jednostka na rysunku odpowiada $n$ takim samym jednostkom w rzeczywistości. Na przykład w skali $1:250$ odcinek $1~\mathrm{cm}$ na planie to $250~\mathrm{cm}$, czyli $2{,}5~\mathrm{m}$ w terenie.

• plan pokazuje mały obszar lub obiekt, np. ogród, salę gimnastyczną albo dom,
• mapa pokazuje duży obszar, np. województwo albo kontynent.

Na planach i mapach zwykle stosujemy pomniejszenie. Rysunek jest mniejszy od rzeczywistego obiektu.

Skala liczbowa to sam stosunek liczb, np. $1:700$. Skala mianowana podaje długości z jednostkami, np. 1 cm - 7 m.

Aby zamienić skalę liczbową na mianowaną, liczbę po dwukropku odczytujemy jako centymetry i zamieniamy na większą jednostkę.

Zamiana odwrotna: w skali 1 cm - 9 km zamieniamy $9~\mathrm{km}$ na $900\,000~\mathrm{cm}$. Otrzymujemy skalę $1:900\,000$.

W zadaniach ze skalą obie długości muszą być w tej samej jednostce. Dlatego trzeba sprawnie zamieniać jednostki.

• z centymetrów na metry: dzielimy przez $100$, np. $3500~\mathrm{cm}=35~\mathrm{m}$,
• z metrów na centymetry: mnożymy przez $100$, np. $7{,}5~\mathrm{m}=750~\mathrm{cm}$,
• z metrów na kilometry: dzielimy przez $1000$, np. $4200~\mathrm{m}=4{,}2~\mathrm{km}$.

Wynik zwykle zapisujemy w jednostce wygodnej do odczytania. Odległość w terenie lepiej podać w metrach albo kilometrach niż w tysiącach centymetrów.

Aby obliczyć długość rzeczywistą, mnożymy długość z planu przez liczbę $n$ ze skali. Wynik wychodzi w tej samej jednostce, w której mierzyliśmy plan.

Przykład: plan w skali $1:700$, odcinek ma $6{,}5~\mathrm{cm}$.

• mnożymy: $6{,}5\cdot700=4550$, czyli $4550~\mathrm{cm}$,
• zamieniamy jednostki: $4550~\mathrm{cm}=45{,}5~\mathrm{m}$.

Na mapie w skali $1:50\,000$ droga ma $4{,}2~\mathrm{cm}$. W terenie to $210\,000~\mathrm{cm}$, czyli $2{,}1~\mathrm{km}$.

Aby obliczyć długość na planie, dzielimy długość rzeczywistą przez liczbę $n$ ze skali. Najpierw zamieniamy ją na centymetry.

Przykład: ogrodzenie ma $20~\mathrm{m}$, a plan jest w skali $1:250$.

• zamieniamy: $20~\mathrm{m}=2000~\mathrm{cm}$,
• dzielimy: $2000:250=8$, więc na planie rysujemy $8~\mathrm{cm}$.

Na mapie w skali $1:20\,000$ odległość $3{,}6~\mathrm{km}$ to $360\,000~\mathrm{cm}$. Po podzieleniu przez $20\,000$ wychodzi $18~\mathrm{cm}$.

Wynik warto sprawdzić mnożeniem: $8\cdot250=2000~\mathrm{cm}$, czyli $20~\mathrm{m}$.

Gdy znamy długość na planie i długość rzeczywistą, możemy obliczyć skalę.

• zamieniamy obie długości na tę samą jednostkę,
• dzielimy długość rzeczywistą przez długość na planie,
• wynik $n$ zapisujemy jako skalę $1:n$.

Przykład: sala ma $12~\mathrm{m}$ długości, a na rysunku $8~\mathrm{cm}$. Zamieniamy $12~\mathrm{m}=1200~\mathrm{cm}$. Dzielimy $1200:8=150$. Skala wynosi $1:150$.

W skali $1:n$ im mniejsza liczba $n$, tym większa skala. Większa skala mniej pomniejsza obiekt i pokazuje go dokładniej. Na przykład $1:2500$ to większa skala niż $1:25\,000$.

Mniejsza skala bardziej pomniejsza obraz. Mieści więcej terenu, ale z mniejszą liczbą szczegółów.

Najczęstsze błędy:

• liczenie na różnych jednostkach, np. metrach i centymetrach naraz,
• dzielenie zamiast mnożenia przy liczeniu długości rzeczywistej,
• uznanie skali z większą liczbą $n$ za większą,
• wynik podany bez jednostki.