Liczby wymierne - podzielność, oś liczbowa i działania

Podzielność przez dziewięć sprawdzamy przez dodanie cyfr liczby. Nie rozstrzyga o niej ani pojedyncza cyfra, ani sam fakt, że liczba jest trzycyfrowa.

NWD i NWW odpowiadają na różne pytania: czy szukamy liczby dzielącej obie liczby, czy liczby podzielnej przez obie?

Do znalezienia NWD można wypisać dzielniki obu liczb i porównać listy. Przy szukaniu NWW można wypisywać kolejne dodatnie wielokrotności i znaleźć pierwszą wspólną.

Odwrotność liczby sprawdzamy przez mnożenie: wynik musi być równy $1$. Obliczenie iloczynu jest pewniejsze niż ocenianie samych zapisów ułamków.

Na osi liczbowej podstawą odczytu jest jednostka, czyli odległość między zerem a jedynką. Gdy jednostkę podzielono na równe części, najpierw liczymy odstępy, a nie kreski.

Przy zaznaczaniu liczb $-2$, $\frac{1}{3}$ i $3$ wygodnie podzielić jednostkę na trzy części. Liczba ujemna znajdzie się po lewej stronie zera, a dodatni ułamek między zerem a jedynką.

Rosnąco oznacza od najmniejszej liczby do największej, czyli zgodnie z kierunkiem przesuwania się na osi w prawo. Najpierw można rozdzielić liczby ujemne i dodatnie, a później uporządkować każdą grupę.

Przy liczbach ujemnych większa odległość od zera oznacza mniejszą liczbę. Dlatego przed porównaniem zapisów mieszanych warto osobno sprawdzić znak i wartość liczby bez znaku.

Ułamek niewłaściwy można zamienić na liczbę mieszaną, aby łatwiej ocenić jego wielkość. Na przykład $\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}=6{,}25$, więc liczba ta jest mniejsza od $6{,}35$.

Jeśli części całkowite są jednakowe, rozstrzyga porównanie części ułamkowych. Na przykład $2\frac{8}{9}$ jest większe od $2$, ale mniejsze od każdej liczby większej lub równej $3$.

Przed sprawdzeniem nierówności trójkąta trzeba wyrazić wszystkie długości w tej samej jednostce. Ułamki zwykłe i dziesiętne warto też zapisać w jednej postaci, żeby łatwo wykonać dodawanie.

Następnie wybieramy najdłuższy odcinek i porównujemy go z sumą dwóch pozostałych. Tylko suma większa od niego pozwala zamknąć boki w trójkąt.

Gdy najdłuższy bok oznaczymy przez $c$, a pozostałe przez $a$ i $b$, sprawdzamy warunek $a+b>c$.

Przed obliczaniem wyrażenia warto usunąć nawiasy przy odejmowanych liczbach. Odjęcie liczby ujemnej zmienia się w dodawanie, np. $-9{,}99-(-3{,}36)-(-4{,}47)=-9{,}99+3{,}36+4{,}47$.

Przy dodawaniu liczb o jednakowych znakach ich odległości od zera się sumują. Przy znakach przeciwnych odejmujemy te odległości, a znak wyniku zależy od liczby bardziej oddalonej od zera.

Dla ułamków zwykłych potrzebny jest wspólny mianownik. Na przykład $-\frac{5}{8}-1\frac{3}{8}+\frac{14}{15}$ można najpierw uprościć do $-2+\frac{14}{15}$, bo dwa pierwsze składniki mają już ten sam mianownik.

W obliczeniach z liczbami dziesiętnymi zapisujemy pod sobą cyfry tego samego rzędu. Na przykład w działaniu $-31{,}9+4{,}8+(-2{,}66)$ można użyć zapisów $31{,}90$ i $4{,}80$, a następnie zastosować reguły znaków.

Jeśli wyrażenie zawiera wyłącznie dodawanie i odejmowanie bez nawiasów, można liczyć kolejno od lewej strony. Przy każdej zamianie odejmowania na dodawanie trzeba zmienić znak odejmowanej liczby.

Sformułowania o więcej i o mniej określają różnicę: pierwsze prowadzi do dodawania, drugie do odejmowania. Zawsze sprawdź, do której wielkości odnosi się porównanie.

W zadaniach z pieniędzmi odróżniaj sumę cen, oszczędność i brakującą kwotę. Suma cen mówi, ile kosztują zakupy, oszczędność porównuje koszt dawny z nowym, a brakującą kwotę oblicza się względem posiadanych pieniędzy.

Przy obniżce kilku cen najpierw można obliczyć łączny koszt przed zmianą, potem łączny koszt po zmianie, a na końcu ich różnicę.

Dla torebki i butów kosztujących wcześniej $189~\mathrm{zł}$ i $129~\mathrm{zł}$, a po obniżce $134{,}90~\mathrm{zł}$ i $96{,}90~\mathrm{zł}$, oszczędność wynosi $(189+129)-(134{,}90+96{,}90)=86{,}20~\mathrm{zł}$.

W zadaniach o trasie całkowita długość jest sumą wszystkich odcinków. Najpierw trzeba wyznaczyć długość każdego z nich, uwzględniając, czy porównano go z pierwszym, czy z poprzednim odcinkiem.