Liczby i działania oraz kwadraty magiczne

Dodawanie służy do obliczania sumy, a odejmowanie - różnicy. Wynik odejmowania warto sprawdzić działaniem odwrotnym: dodanie różnicy do odejmowanej liczby powinno odtworzyć liczbę początkową.

Mnożenie wykorzystujemy przy jednakowych składnikach. Przy dzieleniu szukamy między innymi wartości jednej z równych części; poprawność wyniku bez reszty sprawdzamy mnożeniem przez dzielnik.

Potęga jest skróconym zapisem mnożenia jednakowych czynników. Kwadrat liczby oznacza dwa takie czynniki, a sześcian liczby - trzy. Na przykład $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$, natomiast $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Przy dzieleniu z resztą wydzielamy tyle pełnych grup, ile się da. To, co pozostanie, musi być mniejsze od wielkości jednej grupy. Zapis $19 = 3 \cdot 6 + 1$ pokazuje sześć pełnych trójek i resztę równą $1$.

Liczby podzielne przez dzielnik mają resztę zerową. Na przykład $18 = 3 \cdot 6$, więc przy dzieleniu $18$ przez $3$ nic nie pozostaje.

W wyrażeniu zawierającym różne działania obowiązuje kolejność działań:

• Najpierw oblicz zawartość nawiasów.
• Następnie wykonaj potęgowanie.
• Potem wykonaj mnożenie i dzielenie od lewej do prawej.
• Na końcu wykonaj dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Działania równorzędne nie mają pierwszeństwa względem siebie. W szczególności mnożenie nie wyprzedza automatycznie dzielenia.

Na osi liczbowej jednakowe odległości odpowiadają jednakowym różnicom wartości. Przed odczytaniem współrzędnej punktu trzeba więc ustalić wartość odstępu między kolejnymi kreskami.

Na osi poniżej każda kolejna kreska oznacza wzrost o $1$. Punkt P znajduje się trzy odstępy na prawo od zera, dlatego jego współrzędna wynosi $3$.

Pytania „o ile więcej?” i „ile razy więcej?” wymagają różnych działań. Pierwsze dotyczy różnicy, więc odejmujemy. Drugie dotyczy stosunku wielkości, więc dzielimy większą liczbę przez mniejszą.

Zwrot „cztery razy mniej” oznacza podzielenie przez $4$, a nie odjęcie $4$.

Przy porównywaniu ofert trzeba zachować tę samą liczbę przedmiotów. Nie można bezpośrednio porównywać ceny jednej opony z ceną całego kompletu.

Koszt kompletu obliczamy, mnożąc cenę jednej sztuki przez liczbę sztuk. Cztery opony po $199$ zł kosztują $796$ zł. To o $4$ zł mniej niż komplet za $800$ zł.

W ofertach ceny jednej opony wynoszą: Nasze Auto - $209$ zł, Salon Opon - $199$ zł, Oponex - $200$ zł po podzieleniu ceny kompletu przez cztery. Diagram przedstawia te ceny na wspólnej podstawie: za jedną sztukę.

W zadaniach z kilkoma zakupami najpierw ustal kwotę wydaną: od pieniędzy początkowych odejmij to, co zostało. Następnie odejmij znane koszty, a pozostałą kwotę podziel przez liczbę jednakowych przedmiotów.

W zadaniu wieloetapowym zapisz, co oznacza każdy otrzymany wynik. Liczba pośrednia może być potrzebna do dalszego działania, ale nie musi jeszcze odpowiadać na końcowe pytanie.

Przy porównywaniu wieku rozdziel wiek starszej osoby od różnicy wieku. Informacja, że młodsza osoba jest kilka razy młodsza, pozwala najpierw obliczyć wiek starszej przez mnożenie. Dopiero odejmowanie daje odpowiedź na pytanie o różnicę lat.

Przy zadaniach o stolikach i krzesłach oddziel liczbę stolików od liczby krzeseł. Liczbę krzeseł przy jednakowo wyposażonych stolikach oblicza się przez mnożenie, a następnie dodaje krzesła stojące przy pozostałych stolikach.

Jeśli wszystkie krzesła mają stać przy stolikach po tyle samo, sprawdź dzielenie bez reszty: łączna liczba krzeseł musi dać się podzielić przez liczbę stolików.

Kwadrat magiczny ma wspólną sumę we wszystkich wierszach, wszystkich kolumnach i obu przekątnych. Dla układu o trzech wierszach i trzech kolumnach trzeba porównać osiem sum.

Układ z wierszami $4, 9, 2$; $3, 5, 7$; $8, 1, 6$ ma wspólną sumę równą $15$. Na przykład środkowa kolumna daje $9 + 5 + 1 = 15$, a przekątna $2 + 5 + 8 = 15$.

Przy uzupełnianiu pustych pól zacznij od pełnej linii. W kwadracie, którego środkowa kolumna zawiera kolejno $12$, $10$ i $8$, wspólna suma wynosi $30$. Jeśli w środkowym wierszu są już $10$ i $4$, brakujące pole ma wartość $30 - 10 - 4 = 16$.

Podwojenie wszystkich liczb zachowuje magiczność. Każdy wiersz, każda kolumna i każda przekątna składają się wtedy z podwojonych składników, więc ich sumy również są podwojone.

Można też wykonać dodawanie odpowiadających sobie pól dwóch kwadratów magicznych o tym samym rozmiarze. Liczbę z lewego górnego pola pierwszego kwadratu dodajemy do liczby z lewego górnego pola drugiego; tak samo postępujemy z każdym pozostałym polem.

Nowa wspólna suma jest sumą wspólnych sum obu kwadratów. Dzieje się tak dlatego, że każdy nowy wiersz zbiera wszystkie składniki odpowiedniego wiersza pierwszego i drugiego kwadratu; ta sama zależność działa dla kolumn i przekątnych.