Małopolski Konkurs Matematyczny - liczby, potęgi, pierwiastki, procenty

1.Liczba wymierna

Liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi, a $q$ jest różne od zera. Wymierne są więc liczby całkowite ($-3 = \frac{-3}{1}$), ułamki zwykłe, liczby mieszane oraz ułamki dziesiętne skończone i okresowe, np. $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $0{,}(3) = \frac{1}{3}$. Liczby, których nie da się tak zapisać, np. $\sqrt{2}$ czy $\pi$, są niewymierne - ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

2.Ułamek zwykły i liczba mieszana

Ułamek zwykły $\frac{a}{b}$ ma licznik $a$ i mianownik $b$ (różny od zera); kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika ($\frac{3}{5}$), niewłaściwy - licznik równy mianownikowi lub większy ($\frac{17}{5}$). Liczba mieszana to suma liczby całkowitej i ułamka właściwego: $3\frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5}$. Zamiana: $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$, a w drugą stronę dzielimy z resztą: $17 : 5 = 3$ reszta $2$, więc $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.

3.Ułamek dziesiętny skończony i okresowy

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone albo nieskończone okresowe. Ułamek dziesiętny skończony ma skończenie wiele cyfr po przecinku, np. $\frac{3}{8} = 0{,}375$. W ułamku okresowym pewna grupa cyfr (okres) powtarza się bez końca; okres zapisujemy w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$, $\frac{5}{6} = 0{,}8(3)$, $\frac{2}{11} = 0{,}(18)$. Ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone wtedy, gdy jego mianownik nie ma innych dzielników pierwszych niż 2 i 5.

4.Zamiana postaci liczby wymiernej

Ułamek zwykły na dziesiętny: dzielimy licznik przez mianownik ($\frac{7}{4} = 7 : 4 = 1{,}75$) albo rozszerzamy do mianownika 10, 100, 1000 ($\frac{3}{25} = \frac{12}{100} = 0{,}12$). Ułamek dziesiętny skończony na zwykły: zapisujemy z mianownikiem 10, 100, 1000 i skracamy ($0{,}36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$). Ułamek okresowy na zwykły: dla $x = 0{,}(6)$ mamy $10x = 6{,}(6)$, więc $10x - x = 6$, czyli $9x = 6$ i $x = \frac{2}{3}$.

5.Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych, liczba przeciwna

Ułamki zwykłe sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Znaki: liczby o tym samym znaku dodajemy i zachowujemy znak ($-3 + (-5) = -8$); przy różnych znakach od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą i bierzemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej ($-7 + 4 = -3$). Liczba przeciwna do $a$ to $-a$; ich suma wynosi 0 (np. $2{,}5$ i $-2{,}5$). Odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej: $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$.

6.Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych, liczba odwrotna, kolejność działań

Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik ($\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$). Liczba odwrotna do $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ (iloczyn równy 1; zero nie ma odwrotności). Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$. Znaki: wynik dodatni przy jednakowych znakach, ujemny przy różnych. Kolejność działań: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie: $2 - 3 \cdot (-4) = 14$.

7.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna liczby $a$, zapisywana $|a|$, to sama liczba $a$, gdy $a$ jest dodatnia lub równa zero, a liczba do niej przeciwna, gdy $a$ jest ujemna: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$. Przykłady: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$, $|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. Wartość bezwzględna nie jest ujemna, a liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną. W wyrażeniu traktujemy ją jak nawias: $|3 - 8| + 2 = 5 + 2 = 7$.

8.Wartość bezwzględna na osi liczbowej

Na osi liczbowej $|a|$ to odległość punktu $a$ od zera. Liczby $4$ i $-4$ leżą po przeciwnych stronach zera, ale w tej samej odległości 4 jednostek, więc $|4| = |-4| = 4$. Odległość nie może być ujemna, dlatego wartość bezwzględna też nie jest ujemna. Odległość dwóch liczb $a$ i $b$ na osi to $|a - b|$, np. odległość między $-3$ i $5$ wynosi $|-3 - 5| = |-8| = 8$.

9.Potęga o wykładniku całkowitym dodatnim

Potęga $a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników równych $a$: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ czynników), gdzie $a$ to podstawa, a $n$ - wykładnik; $a^1 = a$. Przykłady: $2^5 = 32$, $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$, $(0{,}1)^2 = 0{,}01$. Potęga liczby ujemnej jest dodatnia przy wykładniku parzystym i ujemna przy nieparzystym: $(-2)^4 = 16$, $(-2)^3 = -8$. Uwaga na nawias: $-2^4 = -16$, bo potęgowana jest tylko liczba 2.

10.Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, podstawę zostawiamy bez zmian, a wykładniki dodajemy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Wynika to z definicji: $a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a^5$. Przykłady: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$, $5 \cdot 5^2 = 5^{1+2} = 5^3 = 125$, $(-3)^2 \cdot (-3) = (-3)^3 = -27$. Wzór nie dotyczy dodawania potęg: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, a to nie jest $2^7$.

11.Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie (różnej od zera), podstawę zostawiamy, a wykładniki odejmujemy: $a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $m > n$. Uzasadnienie: w ułamku $\frac{a^5}{a^2}$ skracają się dwa czynniki $a$ i zostaje $a^3$. Przykłady: $3^7 : 3^4 = 3^3 = 27$, $10^6 : 10^4 = 10^2 = 100$, $\frac{2^{10}}{2^8} = 2^2 = 4$. Gdy $m = n$, iloraz jest równy 1 - stąd umowa $a^0 = 1$ dla $a$ różnego od zera.

12.Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach

Mnożąc potęgi o różnych podstawach i tym samym wykładniku, mnożymy podstawy, a wykładnik zostawiamy: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Przykłady: $2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$, $4^2 \cdot (0{,}25)^2 = (4 \cdot 0{,}25)^2 = 1^2 = 1$. Wzór czytany od prawej to potęga iloczynu: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$. Ułatwia rachunki pamięciowe: $25^2 \cdot 4^2 = 100^2 = 10\,000$.

13.Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach

Dzieląc potęgi o różnych podstawach i tym samym wykładniku, dzielimy podstawy, a wykładnik zostawiamy: $a^n : b^n = (a : b)^n$, czyli $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ dla $b$ różnego od zera. Przykłady: $12^3 : 4^3 = (12 : 4)^3 = 3^3 = 27$, $6^4 : 3^4 = 2^4 = 16$. Wzór czytany od prawej to potęga ilorazu: $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

14.Potęga potęgi

Podnosząc potęgę do potęgi, podstawę zostawiamy, a wykładniki mnożymy: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Uzasadnienie: $(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$. Przykłady: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, $(10^2)^4 = 10^8$. Wzór pozwala sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$, $27^2 = (3^3)^2 = 3^6$. Nie myl z mnożeniem potęg: $2^3 \cdot 2^2 = 2^5$, ale $(2^3)^2 = 2^6$.

15.Notacja wykładnicza

Zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Służy do krótkiego zapisu liczb bardzo dużych i bardzo małych. Przykłady: $3\,000\,000 = 3 \cdot 10^6$, $45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^4$. Zapis $45 \cdot 10^3$ nie jest notacją wykładniczą, bo 45 nie spełnia warunku $1 \le a < 10$. Liczby dodatnie mniejsze od 1 zapisuje się z ujemnym wykładnikiem potęgi liczby 10: $0{,}003 = 3 \cdot 10^{-3}$, gdzie $10^{-3}$ oznacza $\frac{1}{1000}$.

16.Zapisywanie i odczytywanie liczb w notacji wykładniczej

Zapisywanie: przesuwamy przecinek tak, aby przed nim stała jedna cyfra różna od zera; wykładnik $k$ to liczba miejsc przesunięcia - dodatni dla liczb dużych (przecinek w lewo), ujemny dla mniejszych od 1 (przecinek w prawo). $72\,500 = 7{,}25 \cdot 10^4$, $0{,}00056 = 5{,}6 \cdot 10^{-4}$ (po 4 miejsca). Odczytywanie: mnożenie przez $10^k$ przesuwa przecinek o $k$ miejsc w prawo, a przy ujemnym wykładniku - w lewo: $2{,}4 \cdot 10^5 = 240\,000$, $9 \cdot 10^{-2} = 0{,}09$.

17.Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy $\sqrt{a}$ z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^2 = a$: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$. Pierwiastek sześcienny $\sqrt[3]{a}$ to liczba $b$, dla której $b^3 = a$: $\sqrt[3]{64} = 4$, $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$, $\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1$. Dla $a \ge 0$ zachodzi $(\sqrt{a})^2 = a$. Pierwiastki, które nie są liczbami wymiernymi, szacujemy: $11^2 = 121 < 137 < 144 = 12^2$, więc $11 < \sqrt{137} < 12$.

18.Pierwiastek z iloczynu

Pierwiastek z iloczynu liczb nieujemnych równa się iloczynowi pierwiastków: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ dla $a, b \ge 0$; tak samo dla pierwiastka sześciennego: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Przykłady: $\sqrt{4 \cdot 25} = 2 \cdot 5 = 10$, $\sqrt{3600} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 60$, $\sqrt[3]{8 \cdot 27} = 2 \cdot 3 = 6$. Wzór nie działa dla sumy: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

19.Pierwiastek z ilorazu

Pierwiastek z ilorazu równa się ilorazowi pierwiastków: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dla $a \ge 0$ i $b > 0$; podobnie $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Przykłady: $\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}$, $\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Tak też liczymy pierwiastki z ułamków dziesiętnych: $\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = 0{,}3$.

20.Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem (przy pierwiastku sześciennym - sześcianem) liczby, i ten czynnik pierwiastkujemy: $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ dla $a, b \ge 0$ oraz $\sqrt[3]{a^3 \cdot b} = a\sqrt[3]{b}$. Przykłady: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$. Najlepiej wybrać największy możliwy kwadrat, żeby nie wyłączać kilka razy.

21.Włączanie liczby pod znak pierwiastka

Działanie odwrotne do wyłączania: liczbę nieujemną stojącą przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu (przy pierwiastku sześciennym - do sześcianu) i mnożymy przez liczbę podpierwiastkową: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ dla $a, b \ge 0$, $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b}$. Przykłady: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$, $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$. Przydaje się do porównywania: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$, $2\sqrt{11} = \sqrt{44}$, więc $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$.

22.Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy i dzielimy, wykonując działanie pod wspólnym pierwiastkiem: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$ (dla $a \ge 0$, $b > 0$), tak samo dla pierwiastków sześciennych. Przykłady: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$, $\sqrt{75} : \sqrt{3} = \sqrt{25} = 5$, $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2$, $2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30$. Te wzory nie dotyczą pierwiastków różnych stopni, np. $\sqrt{2}$ i $\sqrt[3]{2}$.

23.Obliczenia praktyczne: masa (waga) i pieniądze

Jednostki masy: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 100 dag = 1000 g, 1 dag = 10 g, 1 g = 1000 mg. Przy zamianie na jednostkę mniejszą mnożymy, na większą - dzielimy: 2,5 kg = 2500 g, 350 g = 0,35 kg = 35 dag. Pieniądze: 1 zł = 100 gr, więc 4,05 zł = 405 gr. Koszt zakupu to cena jednostkowa razy ilość: 0,75 kg sera po 32 zł za kilogram kosztuje $0{,}75 \cdot 32 = 24$ zł. Cenę jednostkową liczymy, dzieląc koszt przez ilość: 9 zł za 600 g to $9 : 0{,}6 = 15$ zł za kilogram.

24.Obliczenia praktyczne: czas i temperatura

Czas: 1 h = 60 min = 3600 s, 1 min = 60 s, doba = 24 h, tydzień = 7 dni; rok zwykły ma 365 dni, przestępny 366. Czas nie jest dziesiętny: 1,5 h = 1 h 30 min (nie 1 h 50 min), 45 min = $\frac{3}{4}$ h = 0,75 h, 2 h 12 min = 2,2 h. Od 9:45 do 12:20 mija 2 h 35 min. Temperatura: różnicę liczymy, odejmując temperaturę niższą od wyższej - między $-7$ °C a $5$ °C jest $5 - (-7) = 12$ stopni. Spadek o 9 stopni z $4$ °C daje $4 - 9 = -5$ °C.

25.Skala mapy i planu (skala 1:n)

Skala to stosunek długości na mapie lub planie do długości rzeczywistej. Skala 1:n oznacza, że 1 cm na rysunku odpowiada n cm w rzeczywistości (pomniejszenie n razy). Na mapie w skali 1:50 000 odcinek 1 cm to 50 000 cm = 500 m = 0,5 km. Przeliczanie odległości: rzeczywista = odległość na mapie razy n, na mapie = rzeczywista podzielona przez n. Przykład: 6 cm na tej mapie to $6 \cdot 0{,}5 = 3$ km, a 4 km w terenie to $4 : 0{,}5 = 8$ cm. Skala 2:1 oznacza dwukrotne powiększenie.

26.Skala a pole

W skali 1:n długości zmniejszają się n razy, a pola - $n^2$ razy, bo pole zależy od dwóch wymiarów. Pole rzeczywiste = pole na planie $\cdot n^2$. Przykład: na planie w skali 1:200 pokój jest prostokątem 2 cm na 3 cm, czyli ma $6~\mathrm{cm^2}$. W rzeczywistości ma $6 \cdot 200^2 = 240\,000~\mathrm{cm^2} = 24~\mathrm{m^2}$. Sprawdzenie na długościach: 2 cm to 4 m, 3 cm to 6 m, a $4 \cdot 6 = 24$. Na mapie w skali 1:100 000 odcinek 1 cm to 1 km, więc $1~\mathrm{cm^2}$ to $1~\mathrm{km^2}$.

27.Procent

Procent to jedna setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$, więc $p\% = \frac{p}{100}$. Warto pamiętać: $50\% = \frac{1}{2}$, $25\% = \frac{1}{4}$, $75\% = \frac{3}{4}$, $20\% = \frac{1}{5}$, $10\% = \frac{1}{10}$, a $100\%$ to całość. Zamiana ułamka lub liczby na procent - mnożymy przez $100\%$: $0{,}35 = 35\%$, $\frac{3}{5} = 60\%$, $1{,}2 = 120\%$. Procent może przekraczać 100: $150\%$ liczby to półtorej tej liczby.

28.Obliczanie procentu danej liczby

Aby obliczyć $p\%$ liczby $b$, zamieniamy procent na ułamek i mnożymy: $a = \frac{p}{100} \cdot b$. Przykłady: $15\%$ liczby 80 to $0{,}15 \cdot 80 = 12$; $7\%$ z 300 zł to $0{,}07 \cdot 300 = 21$ zł; $120\%$ liczby 50 to $1{,}2 \cdot 50 = 60$. W pamięci wygodnie liczyć przez $10\%$ i $1\%$: $10\%$ liczby 80 to 8, $5\%$ to 4, więc $15\%$ to $8 + 4 = 12$.

29.Obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu

Gdy wiemy, że $p\%$ szukanej liczby $b$ jest równe $a$, to $b = a : \frac{p}{100} = \frac{a \cdot 100}{p}$. Przykład: $20\%$ liczby to 14, więc liczba to $14 : 0{,}2 = 70$. Można też liczyć przez $1\%$: skoro $35\%$ liczby to 84, to $1\%$ to $84 : 35 = 2{,}4$, a cała liczba ($100\%$) to 240. Sprawdzenie: $0{,}35 \cdot 240 = 84$.

30.Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$. W mianowniku stoi liczba, z którą porównujemy, czyli całość. Przykłady: 12 to $\frac{12}{48} \cdot 100\% = 25\%$ liczby 48; 48 to $\frac{48}{12} \cdot 100\% = 400\%$ liczby 12; 9 uczniów z 30 to $\frac{9}{30} \cdot 100\% = 30\%$ klasy.

31.Podwyżka i obniżka o procent, punkty procentowe

Podwyżka o $p\%$ to mnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$, obniżka o $p\%$ - przez $1 - \frac{p}{100}$. Cena 200 zł po podwyżce o $15\%$: $1{,}15 \cdot 200 = 230$ zł; po obniżce o $15\%$: $0{,}85 \cdot 200 = 170$ zł. Kolejne zmiany liczy się od nowej wartości: podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ daje $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$ ceny początkowej, czyli spadek o $1\%$. Punkty procentowe to różnica dwóch wielkości podanych w procentach: wzrost z $20\%$ do $25\%$ to 5 punktów procentowych, ale $25\%$ wartości początkowej.

32.Prędkość

Prędkość mówi, jaką drogę ciało pokonuje w jednostce czasu. W ruchu ze stałą prędkością $v = \frac{s}{t}$, gdzie $s$ to droga, a $t$ - czas. Jednostki: kilometr na godzinę (km/h) i metr na sekundę (m/s). Przykład: samochód przejechał 150 km w 2,5 h, więc $v = 150 : 2{,}5 = 60$ km/h. Czas trzeba wyrazić w jednej jednostce: 45 min to 0,75 h, więc 36 km w 45 min oznacza prędkość $36 : 0{,}75 = 48$ km/h.

33.Droga i czas w ruchu ze stałą prędkością

Wzór $v = \frac{s}{t}$ przekształcamy: droga $s = v \cdot t$, czas $t = \frac{s}{v}$. Przykłady: rowerzysta jadący 18 km/h przez 2,5 h pokona $18 \cdot 2{,}5 = 45$ km; pociąg jadący 80 km/h pokona 200 km w czasie $200 : 80 = 2{,}5$ h, czyli 2 h 30 min. Jednostki muszą do siebie pasować: przy prędkości w km/h czas podajemy w godzinach, przy m/s - w sekundach. Biegacz o prędkości 5 m/s w 2 min pokona $5 \cdot 120 = 600$ m.

34.Prędkość średnia

Prędkość średnia to cała przebyta droga podzielona przez cały czas ruchu (łącznie z postojami): $v = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$. To nie jest średnia arytmetyczna prędkości z odcinków. Przykład: 120 km z prędkością 60 km/h trwa 2 h, kolejne 120 km z prędkością 40 km/h trwa 3 h. Prędkość średnia to $\frac{240}{5} = 48$ km/h, a nie $\frac{60 + 40}{2} = 50$ km/h. Średnia arytmetyczna prędkości daje dobry wynik, gdy oba odcinki trwały tyle samo czasu.

35.Jednostki długości i pola

Długość: 1 km = 1000 m, 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm, 1 dm = 10 cm, 1 cm = 10 mm. Jednostki pola to kwadraty jednostek długości, więc przelicznik podnosimy do kwadratu: $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{dm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{km^2} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$. Ar (a) to $100~\mathrm{m^2}$ - kwadrat 10 m na 10 m. Hektar (ha) to 100 a, czyli $10\,000~\mathrm{m^2}$ - kwadrat 100 m na 100 m; $1~\mathrm{km^2}$ to 100 ha.

36.Jednostki objętości i pojemności

Jednostki objętości to sześciany jednostek długości, więc przelicznik podnosimy do sześcianu: $1~\mathrm{cm^3} = 1000~\mathrm{mm^3}$, $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3} = 1\,000\,000~\mathrm{cm^3}$. Pojemność: litr (l) to $1~\mathrm{dm^3}$, a mililitr (ml) to $1~\mathrm{cm^3}$; 1 l = 1000 ml, a $1~\mathrm{m^3}$ to 1000 l. Przykłady: 2,5 l to 2500 ml, czyli $2500~\mathrm{cm^3}$; akwarium o wymiarach 50 cm, 30 cm i 40 cm ma objętość $50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000~\mathrm{cm^3}$, czyli 60 l.

37.Zamiana jednostek prędkości (km/h i m/s)

1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s, więc 1 km/h to $\frac{1000}{3600} = \frac{5}{18}$ m/s, a 1 m/s to 3,6 km/h. Zamiana km/h na m/s: dzielimy przez 3,6; zamiana m/s na km/h: mnożymy przez 3,6. Przykłady: 72 km/h to $72 : 3{,}6 = 20$ m/s; 90 km/h to 25 m/s; 15 m/s to $15 \cdot 3{,}6 = 54$ km/h; 10 m/s to 36 km/h. Ta sama prędkość wyrażona w km/h ma większą wartość liczbową niż w m/s.

38.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna liczb to ich suma podzielona przez liczbę tych liczb: $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$. Przykład: średnia liczb 4, 7, 7, 10 to $\frac{4 + 7 + 7 + 10}{4} = \frac{28}{4} = 7$. Suma liczb to średnia razy liczba składników - stąd obliczamy brakującą wartość: jeśli średnia pięciu liczb wynosi 6, to ich suma to 30. Średnia nie jest mniejsza od najmniejszej ani większa od największej z liczb i nie musi być żadną z nich.

39.Średnia ważona

Średnia, w której każda wartość ma wagę - liczbę mówiącą, jak bardzo ta wartość się liczy: $\frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \ldots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$. Mnożymy wartości przez wagi, sumujemy i dzielimy przez sumę wag (nie przez liczbę wartości). Przykład: ocena 5 ze sprawdzianu (waga 3), 3 z kartkówki (waga 2) i 4 z odpowiedzi (waga 1): $\frac{3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4}{3 + 2 + 1} = \frac{25}{6}$, czyli około 4,17. Gdy wszystkie wagi są równe, średnia ważona jest równa arytmetycznej.

40.Podział proporcjonalny

Podział wielkości w danym stosunku $a : b$ oznacza, że części mają się do siebie jak $a$ do $b$. Całość dzielimy na $a + b$ równych części: jedna osoba dostaje $a$ takich części, druga $b$, czyli $\frac{a}{a+b}$ i $\frac{b}{a+b}$ całości. Przykład: 60 zł w stosunku $2 : 3$ - razem $2 + 3 = 5$ części, jedna część to $60 : 5 = 12$ zł, więc kwoty to 24 zł i 36 zł. Sprawdzenie: $24 + 36 = 60$ i $24 : 36 = 2 : 3$. Tak samo dla trzech części: 120 w stosunku $1 : 2 : 3$ to 20, 40 i 60.