Proste, odcinki, okręgi, koła i trójkąty - Matematyka z plusem 6

1.Prosta, półprosta i odcinek - czym się różnią?

Prosta nie ma końców - biegnie bez końca w obie strony. Półprosta ma jeden koniec, zwany początkiem, i biegnie bez końca w jedną stronę. Odcinek ma dwa końce, więc możemy zmierzyć jego długość. Prostą oznaczamy zwykle małą literą (prosta k), a odcinek - literami jego końców (odcinek AB).

2.Ile punktów wspólnych mogą mieć dwie półproste?

Dwie półproste mogą nie mieć punktów wspólnych, mieć jeden punkt wspólny (np. wspólny początek albo punkt przecięcia) albo mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych - gdy leżą na jednej prostej i częściowo na siebie zachodzą.

3.Ile prostych przechodzi przez dwa punkty?

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

4.Proste prostopadłe

Proste prostopadłe to proste, które przecinają się pod kątem prostym. Zapis $k \perp m$ czytamy: prosta k jest prostopadła do prostej m.

5.Jak narysować ekierką prostą prostopadłą do danej prostej?

Przykładamy do prostej ekierkę jednym z dwóch boków, które tworzą jej kąt prosty. Wzdłuż drugiego boku tego kąta prowadzimy ołówkiem linię. Narysowana prosta jest prostopadła do danej. Tak samo rysujemy odcinki prostopadłe.

6.Odcinki prostopadłe

Dwa odcinki są prostopadłe, gdy leżą na prostych prostopadłych. Takie odcinki nie muszą się przecinać ani stykać. Na rysunku $AB \perp CD$ (te odcinki się przecinają) oraz $AB \perp EF$ (te odcinki nie mają punktów wspólnych).

7.Proste równoległe

Proste równoległe to proste, które leżą na płaszczyźnie i się nie przecinają, czyli nie mają punktów wspólnych. Zapis $p \parallel r$ czytamy: prosta p jest równoległa do prostej r.

8.Jak narysować prostą równoległą za pomocą ekierki i linijki?

1. Przykładamy ekierkę bokiem do prostej p. 2. Do drugiego boku ekierki przykładamy linijkę. 3. Trzymając mocno linijkę, przesuwamy wzdłuż niej ekierkę. 4. Wzdłuż tego samego boku ekierki, który leżał na prostej p, rysujemy prostą r. Wtedy $p \parallel r$.

9.Odcinki równoległe

Dwa odcinki są równoległe, gdy leżą na prostych równoległych albo na jednej prostej. Na rysunku AB i CD leżą na jednej prostej, a EF - na prostej do niej równoległej, więc $AB \parallel CD$, $AB \parallel EF$ i $CD \parallel EF$.

10.Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do tej prostej, który łączy punkt z prostą. To najkrótszy odcinek od punktu do prostej. Na rysunku AB jest prostopadły do prostej KL i ma długość 4 boków kratki, a ukośny AC jest dłuższy (5 boków kratki). Odległość punktu A od prostej KL to długość AB.

11.Odległość między prostymi równoległymi

Odległość między dwiema prostymi równoległymi to długość odcinka prostopadłego do obu prostych, którego końce leżą na tych prostych. W każdym miejscu jest taka sama, więc wystarczy zmierzyć ją raz.

12.Gdzie leżą punkty odległe od prostej k o 2 cm?

Leżą na dwóch prostych równoległych do prostej k - po jednej z każdej strony k. Każda z tych prostych jest odległa od k o 2 cm, więc odległość między nimi wynosi 4 cm. Aby je narysować, odmierzamy 2 cm w obie strony na prostej prostopadłej do k.

13.Konstrukcja prostej prostopadłej do prostej k przez punkt A (cyrkiel i linijka)

1. Z punktu A kreślimy łuk, który przecina prostą k w dwóch punktach. 2. Z obu tych punktów kreślimy łuki o jednakowym promieniu (większym od połowy odległości między tymi punktami), tak żeby przecięły się po drugiej stronie k. 3. Przez punkt przecięcia łuków i punkt A prowadzimy prostą - jest prostopadła do k.

14.Konstrukcja prostej równoległej do prostej k przez punkt A (cyrkiel i linijka)

1. Z dowolnego punktu prostej k kreślimy łuk przechodzący przez punkt A, który przecina prostą k w punkcie B. 2. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuki z punktu B i z punktu A, tak żeby się przecięły. 3. Przez punkt A i punkt przecięcia łuków prowadzimy prostą - jest równoległa do k.

15.Okrąg

Okrąg o środku S i promieniu długości r tworzą wszystkie punkty, których odległość od punktu S jest równa r. Okrąg to sama linia - punkty w jego wnętrzu do niego nie należą. Okrąg rysujemy cyrklem rozwartym na długość promienia.

16.Koło

Koło o środku S i promieniu długości r tworzą wszystkie punkty, których odległość od punktu S jest równa r lub mniejsza od r. Koło to okrąg razem z całym jego wnętrzem, a okrąg jest brzegiem koła.

17.Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, wewnątrz czy na zewnątrz okręgu?

Mierzymy odległość punktu od środka okręgu i porównujemy ją z promieniem r. Gdy jest równa r - punkt leży na okręgu. Gdy jest mniejsza od r - leży wewnątrz okręgu. Gdy jest większa od r - leży na zewnątrz. Przykład: dla promienia 2 cm punkt odległy od środka o $1{,}5$ cm leży wewnątrz okręgu.

18.Promień okręgu

Promień okręgu to odcinek, który łączy środek okręgu z dowolnym punktem tego okręgu. Promieniem nazywamy też długość tego odcinka, oznaczaną zwykle literą r. Wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość.

19.Cięciwa okręgu

Cięciwa okręgu to odcinek, który łączy dwa punkty tego okręgu. Cięciwa nie musi przechodzić przez środek okręgu.

20.Średnica okręgu

Średnica okręgu to cięciwa, która przechodzi przez środek okręgu. Na rysunku widać promień (od środka S do okręgu), średnicę (przez środek S) i cięciwę, która nie przechodzi przez środek.

21.Jak obliczyć średnicę z promienia i promień ze średnicy?

Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia: $d = 2 \cdot r$, a promień to połowa średnicy: $r = d : 2$. Na przykład dla promienia $2{,}5$ cm średnica ma 5 cm. Średnica to najdłuższa cięciwa okręgu - żadna cięciwa nie jest od niej dłuższa.

22.Ile punktów wspólnych mogą mieć prosta i okrąg?

Prosta i okrąg mogą nie mieć punktów wspólnych, mieć jeden punkt wspólny (prosta tylko dotyka okręgu) albo dwa punkty wspólne (prosta przecina okrąg). Więcej niż dwóch punktów wspólnych mieć nie mogą.

23.Ile punktów wspólnych mogą mieć dwa różne okręgi?

Dwa różne okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych, mieć jeden punkt wspólny (gdy się stykają - z zewnątrz albo jeden wewnątrz drugiego) albo dwa punkty wspólne (gdy się przecinają). Więcej punktów wspólnych mieć nie mogą.

24.Jak obliczyć długość rzędu stykających się kół?

Gdy koła leżą w rzędzie, sąsiednie się stykają, a ich środki leżą na jednej prostej, to długość rzędu jest sumą średnic tych kół. Średnica to dwa promienie. Przykład: koła o promieniach 1 cm, 2 cm i 1 cm tworzą rząd długości $2 + 4 + 2 = 8$ cm.

25.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek. Na symetralnej odcinka AB leżą wszystkie punkty, które są jednakowo odległe od obu jego końców, czyli od punktu A i od punktu B.

26.Konstrukcja symetralnej odcinka

1. Z jednego końca odcinka kreślimy po obu jego stronach łuki o promieniu większym od połowy długości odcinka. 2. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy takie same łuki z drugiego końca. 3. Przez dwa punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą. Przecina ona odcinek w jego środku i jest do niego prostopadła.

27.Jak wyznaczyć środek narysowanego okręgu?

Symetralna każdej cięciwy okręgu przechodzi przez jego środek. Dlatego rysujemy dwie dowolne cięciwy, które nie są równoległe, i konstruujemy ich symetralne. Punkt, w którym te symetralne się przecinają, to środek okręgu.

28.Podział trójkątów ze względu na kąty

Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty i dwa ostre. Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty i dwa ostre. Każdy trójkąt ma więc co najmniej dwa kąty ostre.

29.Jaki to trójkąt ze względu na kąty?

To trójkąt rozwartokątny. Kąt przy wierzchołku B ma $115^\circ$, czyli jest rozwarty: większy od kąta prostego, a mniejszy od półpełnego. Pozostałe kąty, $35^\circ$ i $30^\circ$, są ostre.

30.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt prosty, to przyprostokątne. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Na rysunku kąt prosty jest przy wierzchołku C, więc AC i BC to przyprostokątne, a AB to przeciwprostokątna.

31.Trójkąt równoramienny: ramiona i podstawa

Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki tej samej długości. Te równe boki nazywamy ramionami, a trzeci bok - podstawą. Na rysunku ramiona to boki AC i BC, a podstawa to bok AB.

32.Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości. Ma więc co najmniej dwa równe boki, czyli jest też trójkątem równoramiennym. Nie każdy trójkąt równoramienny jest jednak równoboczny.

33.Trójkąt prostokątny równoramienny

Trójkąt może być jednocześnie prostokątny i równoramienny. Wtedy jego przyprostokątne mają tę samą długość i są ramionami, a przeciwprostokątna jest podstawą. Taki trójkąt powstaje np. po przecięciu kwadratu wzdłuż przekątnej.

34.Obwód trójkąta równobocznego

Obwód trójkąta równobocznego o boku długości a jest równy $3 \cdot a$. Gdy znamy obwód, bok obliczamy, dzieląc obwód przez 3. Przykład: obwód ma 21 cm, więc bok ma $21 : 3 = 7$ cm.

35.Jak obliczyć podstawę albo ramię trójkąta równoramiennego z obwodu?

Obwód to podstawa plus dwa ramiona. Podstawę obliczamy, odejmując od obwodu dwa ramiona. Ramię obliczamy, odejmując od obwodu podstawę i dzieląc wynik przez 2. Przykłady: obwód 20 cm i ramię 7 cm - podstawa ma $20 - 2 \cdot 7 = 6$ cm; obwód 20 cm i podstawa 8 cm - ramię ma $(20 - 8) : 2 = 6$ cm.

36.Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach

Dane są odcinki a, b i c. 1. Rysujemy prostą i odmierzamy na niej odcinek a. 2. Z jednego końca odcinka a kreślimy łuk o promieniu b. 3. Z drugiego końca odcinka a kreślimy łuk o promieniu c. 4. Punkt przecięcia łuków łączymy z końcami odcinka a.

37.Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Z odcinków a, b i c można skonstruować trójkąt tylko wtedy, gdy każdy z nich jest krótszy niż suma długości dwóch pozostałych: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$. Gdy jeden odcinek jest równy sumie dwóch pozostałych albo dłuższy, trójkąta nie da się zbudować.

38.Jak szybko sprawdzić, czy z trzech odcinków powstanie trójkąt?

Wystarczy sprawdzić najdłuższy odcinek: musi być krótszy niż suma dwóch pozostałych. Przykład: 4 cm, 6 cm, 9 cm - $4 + 6 = 10$, a $9 < 10$, więc trójkąt da się zbudować. Odcinki 2 cm, 5 cm, 8 cm - $2 + 5 = 7$, a $8 > 7$, więc trójkąta nie ma.

39.Jak długa może być podstawa trójkąta równoramiennego?

Podstawa musi być krótsza niż suma dwóch ramion, czyli krótsza niż dwa razy ramię. Przykład: przy ramionach długości 4 cm podstawa musi być krótsza niż 8 cm, np. 3 cm albo 7 cm. Ramiona po 4 cm i podstawa 8 cm nie utworzą trójkąta.

40.Środkowa trójkąta i środek ciężkości

Środkowa trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe i wszystkie przecinają się w jednym punkcie - to środek ciężkości trójkąta. Aby go wyznaczyć, wystarczy narysować dwie środkowe. Trójkąt wycięty z kartonu podparty w tym punkcie pozostaje w równowadze.