Kalendarz, jednostki, skala i zaokrąglanie - Matematyka z plusem 6

1.Jednostki czasu i zależności między nimi

Doba ma 24 godziny, godzina - 60 minut, a minuta - 60 sekund, więc $1~\mathrm{h} = 3600~\mathrm{s}$. Kwadrans to 15 minut, czyli ćwierć godziny. Godzina lekcyjna trwa 45 minut, a więc mniej niż godzina zegarowa.

2.Jak zamieniać jednostki czasu?

Z większej jednostki na mniejszą mnożymy, a z mniejszej na większą dzielimy. Minuty na sekundy: razy 60, np. $3{,}5~\mathrm{min} = 3{,}5 \cdot 60~\mathrm{s} = 210~\mathrm{s}$. Sekundy na minuty: przez 60, np. $540~\mathrm{s} = 540 : 60~\mathrm{min} = 9~\mathrm{min}$. Tak samo zamieniamy godziny i minuty.

3.Jak obliczyć, ile czasu minęło między dwiema godzinami?

Najwygodniej liczyć w trzech krokach: minuty do najbliższej pełnej godziny, potem pełne godziny, a na końcu pozostałe minuty. Od 7:45 do 11:20 mija 15 min do 8:00, 3 godziny do 11:00 i jeszcze 20 min, razem 3 h 35 min.

4.Ile dni mają poszczególne miesiące?

31 dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik i grudzień. 30 dni mają: kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad. Luty ma 28 dni w roku nieprzestępnym i 29 dni w roku przestępnym.

5.Rok przestępny i rok nieprzestępny

Rok nieprzestępny ma 365 dni, czyli 52 tygodnie i 1 dzień ($52 \cdot 7 = 364$). Rok przestępny ma 366 dni, bo luty ma wtedy 29 dni; to 52 tygodnie i 2 dni.

6.Które lata są przestępne?

Rok oznaczony liczbą podzielną przez 4 jest przestępny, gdy nie jest ostatnim rokiem wieku, np. 2024 i 2028. Ostatni rok wieku (1600, 1700, 1800 itd.) jest przestępny tylko wtedy, gdy jego liczba dzieli się przez 400: rok 2000 był przestępny, a 1900 i 2100 nie są.

7.Kalendarz juliański i kalendarz gregoriański

Kalendarz juliański wprowadził Juliusz Cezar; Rzymianie używali go od 46 roku p.n.e. Zwykły rok miał 365 dni, a co cztery lata był rok przestępny o 366 dniach. Był o około 45 minut na cztery lata za długi, więc w 1582 roku wprowadzono poprawkę za papieża Grzegorza XIII - stąd nasz kalendarz gregoriański.

8.Jak ustalić dzień tygodnia po kilku dniach?

Co 7 dni wypada ten sam dzień tygodnia. Liczbę mijających dni dzielimy przez 7, a reszta mówi, o ile dni przesunąć dzień tygodnia. Gdy 3 maja jest w piątek, to do 23 maja mija 20 dni, czyli 2 tygodnie i 6 dni: piątek i 6 dni dalej to czwartek.

9.Jak obliczyć, który to dzień roku?

Dodajemy liczby dni wszystkich pełnych miesięcy przed daną datą i numer dnia w jej miesiącu. Pamiętamy, czy luty ma 28, czy 29 dni. Np. 10 marca roku nieprzestępnego to dzień $31 + 28 + 10 = 69$.

10.Jak ustalić wiek, w którym był dany rok?

Wiek I to lata 1-100, wiek II to lata 101-200 itd., więc rok kończący się na 00 jest ostatnim rokiem wieku. Dla innych lat dodajemy 1 do liczby pełnych setek: 1848 to XIX wiek, a 1900 to jeszcze XIX wiek. Lata p.n.e. liczymy tak samo: 450 p.n.e. to V wiek p.n.e.

11.Jak odczytać rok zapisany cyframi rzymskimi?

Znaki: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Znak mniejszy przed większym odejmujemy: XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900; pozostałe znaki dodajemy. Np. MCMLXXX to $1000 + 900 + 80 = 1980$. Wieki też zapisujemy cyframi rzymskimi, np. XX wiek.

12.Czas lokalny w różnych miejscach na Ziemi

W tej samej chwili w różnych miastach zegary pokazują różne godziny. Aby obliczyć czas lotu, obie godziny wyrażamy w czasie jednego miasta. Gdy samolot wylatuje z Warszawy o 10:00 i ląduje o 13:00 czasu miasta, gdzie jest o 2 godziny później, to według czasu warszawskiego ląduje o 11:00, więc leci 1 godzinę.

13.Jednostki długości

Jednostki długości to km, m, dm, cm i mm. Zależności: $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm} = 100~\mathrm{cm} = 1000~\mathrm{mm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$. Grubość kartki podajemy w mm, wysokość budynku w m, a odległości między miastami w km.

14.Jednostki masy

Jednostki masy to t, kg, dag, g i mg. Zależności: $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$, $1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag} = 1000~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{g} = 1000~\mathrm{mg}$. Masę ciężarówki podajemy w t, człowieka w kg, a pinezki w g.

15.Jak zamienić większą jednostkę na mniejszą?

Mnożymy przez liczbę, która mówi, ile mniejszych jednostek mieści się w większej. Np. $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, więc $3{,}5~\mathrm{m} = 3{,}5 \cdot 100~\mathrm{cm} = 350~\mathrm{cm}$, a $0{,}4~\mathrm{kg} = 0{,}4 \cdot 100~\mathrm{dag} = 40~\mathrm{dag}$. Przy mnożeniu przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek w prawo o 1, 2, 3 miejsca.

16.Jak zamienić mniejszą jednostkę na większą?

Korzystamy z tego, jaką częścią większej jednostki jest mniejsza, np. $1~\mathrm{mm} = \frac{1}{10}~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{m} = \frac{1}{1000}~\mathrm{km} = 0{,}001~\mathrm{km}$. Czyli dzielimy: $45~\mathrm{mm} = 4{,}5~\mathrm{cm}$, $2500~\mathrm{g} = 2{,}5~\mathrm{kg}$. Przy dzieleniu przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek w lewo.

17.Co oznaczają przedrostki kilo i mili?

Przedrostek kilo oznacza tysiąckrotne powiększenie: 1 kilogram to 1000 gramów, 1 kilometr to 1000 metrów. Przedrostek mili oznacza tysiąckrotne pomniejszenie: 1 miligram to $\frac{1}{1000}$ grama, 1 milimetr to $\frac{1}{1000}$ metra.

18.Jak porównać wielkości podane w różnych jednostkach?

Najpierw wyrażamy wszystkie wielkości w tej samej jednostce, a dopiero potem porównujemy liczby. Np. 0,3 kg, 28 dag i 310 g: $0{,}3~\mathrm{kg} = 30~\mathrm{dag}$, $310~\mathrm{g} = 31~\mathrm{dag}$, więc najwięcej jest 310 g, a najmniej 28 dag.

19.Cal i kwintal

1 cal to około 2,54 cm; w calach podaje się np. średnice rur. Kwintal, w skrócie q, to 100 kg; w rolnictwie podaje się w kwintalach masę płodów rolnych. Np. 10 cali to około $10 \cdot 2{,}54~\mathrm{cm} = 25{,}4~\mathrm{cm}$, a $3{,}5~\mathrm{q} = 350~\mathrm{kg}$.

20.Mila i stopa

Mila i stopa to jednostki długości używane m.in. w krajach anglosaskich. 1 mila to 1609 m, a 1 stopa to 12 cali, czyli około $12 \cdot 2{,}54~\mathrm{cm} = 30{,}48~\mathrm{cm}$. Np. 2 mile to $2 \cdot 1609~\mathrm{m} = 3218~\mathrm{m}$.

21.Jak obliczyć masę jednej sztuki, gdy znamy masę wielu?

Masę wszystkich sztuk dzielimy przez ich liczbę. Często najpierw zamieniamy jednostkę na mniejszą, żeby dzielenie było łatwiejsze. Np. 20 jednakowych gwoździ waży 0,1 kg: $0{,}1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{g}$, a $100 : 20 = 5$, więc jeden gwóźdź waży 5 g.

22.Jak obliczyć, ile razy jedna długość mieści się w drugiej?

Obie długości wyrażamy w tej samej jednostce i dzielimy większą przez mniejszą. Np. ile odcinków po 40 m zmieści się na trasie 1,2 km: $1{,}2~\mathrm{km} = 1200~\mathrm{m}$, a $1200 : 40 = 30$. Tak samo liczymy z masą, np. ile porcji po 50 g jest w 2 kg.

23.Jednostka astronomiczna i rok świetlny

Jednostka astronomiczna (j.a.) to odległość Ziemi od Słońca, czyli około 150 mln km. Rok świetlny to odległość, jaką światło pokonuje w ciągu roku - około 9 bilionów km. Od Słońca do najbliższej gwiazdy są ponad 4 lata świetlne.

24.Co oznacza skala mapy, np. $1 : 50\,000$?

Skala $1 : 50\,000$ oznacza, że odległości w terenie są 50 000 razy większe niż odległości na mapie. Zatem 1 cm na mapie to 50 000 cm w terenie, czyli 500 m albo 0,5 km.

25.Jak obliczyć odległość w terenie, gdy znamy odległość na mapie?

Odległość na mapie mnożymy przez liczbę ze skali, a wynik zamieniamy na metry albo kilometry. Pamiętamy: $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{km} = 100\,000~\mathrm{cm}$. Np. 4 cm na mapie w skali $1 : 300\,000$ to $4 \cdot 300\,000~\mathrm{cm} = 1\,200\,000~\mathrm{cm} = 12~\mathrm{km}$.

26.Jak obliczyć odległość na mapie, gdy znamy odległość w terenie?

Odległość w terenie zamieniamy na centymetry i dzielimy przez liczbę ze skali. Np. 4 km w terenie na mapie w skali $1 : 50\,000$: $4~\mathrm{km} = 400\,000~\mathrm{cm}$, a $400\,000 : 50\,000 = 8$, więc na mapie jest 8 cm.

27.Jak ustalić skalę mapy?

Ustalamy, ile centymetrów w terenie odpowiada 1 cm na mapie, i zapisujemy skalę $1 : \dots$. Gdy 1 cm na mapie to 3 km, zamieniamy $3~\mathrm{km} = 300\,000~\mathrm{cm}$, więc skala to $1 : 300\,000$. Gdy 5 cm na mapie to 10 km, to 1 cm odpowiada 2 km, czyli skala wynosi $1 : 200\,000$.

28.Skala na planie - liczenie w milimetrach

Skalę można odczytać też dla milimetrów: przy skali $1 : 4000$ 1 mm na planie to 4000 mm, czyli 4 m w terenie. Przy skali $1 : 2500$ 1 mm na planie to 2500 mm, czyli 2,5 m. Tak samo 1 cm na planie w skali $1 : 200$ to 200 cm, czyli 2 m.

29.Czym różni się plan od mapy?

Plan, w odróżnieniu od mapy, nie uwzględnia krzywizny Ziemi ani różnic wysokości terenu. Plany miast mają najczęściej skalę $1 : 10\,000$ lub $1 : 5000$, a plany domów, mieszkań i działek - zwykle $1 : 100$ lub $1 : 200$.

30.Która mapa pokazuje większy obszar, a która więcej szczegółów?

Im większa liczba w skali, tym mniejsze są na mapie odległości. Kartka w skali $1 : 100\,000$ pokaże większy obszar niż kartka tej samej wielkości w skali $1 : 50\,000$, ale z mniejszą liczbą szczegółów. Gdy mapę w skali $1 : 100\,000$ powiększymy dwa razy, nowa skala to $1 : 50\,000$.

31.Podziałka liniowa

Podziałka liniowa to odcinek narysowany na mapie, przy którym podpisano, jaką odległość w terenie on przedstawia. Z podziałki można ustalić skalę: gdy 2 cm podziałki opisano jako 1 km, to 1 cm odpowiada 500 m, czyli 50 000 cm, więc skala to $1 : 50\,000$.

32.Po co zaokrąglamy liczby i co oznacza znak $\approx$?

Zaokrąglamy, gdy dokładne liczby nie są ważne albo trudno je ustalić - zaokrąglone łatwiej zapamiętać i porównać. Znak $\approx$ czytamy: równa się w przybliżeniu. Np. $4\,862\,117 \approx 5\,000\,000$ to zaokrąglenie do pełnych milionów.

33.Zaokrąglanie do dziesiątek

Patrzymy na cyfrę jedności. Gdy jest równa 0, 1, 2, 3 lub 4, zaokrąglamy w dół, np. $63 \approx 60$. Gdy jest równa 5, 6, 7, 8 lub 9, zaokrąglamy w górę, np. $65 \approx 70$. Wynik jest zawsze wielokrotnością liczby 10 - tą, która leży bliżej na osi liczbowej, a gdy liczba leży dokładnie w połowie, jak 65 - większą.

34.Zaokrąglanie do setek i do tysięcy

Do setek patrzymy na cyfrę dziesiątek, a do tysięcy - na cyfrę setek: 0-4 w dół, 5-9 w górę. Np. $4352 \approx 4400$ do setek i $4352 \approx 4000$ do tysięcy. Wynik może być równy 0, np. 35 zaokrąglone do setek. Gdy zaokrąglamy w górę cyfrę 9, przenosimy jedynkę: $9962 \approx 10\,000$ do setek.

35.Jak zaokrąglić liczbę krok po kroku?

Znajdujemy cyfrę rzędu, do którego zaokrąglamy, i patrzymy tylko na cyfrę tuż po jej prawej. Gdy to 0-4, cyfrę rzędu zostawiamy; gdy 5-9, zwiększamy ją o 1. Cyfry dalej w liczbie naturalnej zamieniamy na zera, a w ułamku dziesiętnym odrzucamy. Nie zaokrąglamy po kawałku od końca.

36.Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do jedności

Patrzymy na cyfrę części dziesiątych. Gdy jest równa 0, 1, 2, 3 lub 4, zaokrąglamy w dół, np. $6{,}48 \approx 6$. Gdy jest równa 5, 6, 7, 8 lub 9, zaokrąglamy w górę, np. $6{,}52 \approx 7$ i $19{,}7 \approx 20$.

37.Zaokrąglanie do części dziesiątych i setnych

Do części dziesiątych patrzymy na cyfrę części setnych, a do części setnych - na cyfrę części tysięcznych: 0-4 w dół, 5-9 w górę. Np. $2{,}36 \approx 2{,}4$, $3{,}42 \approx 3{,}4$, $2{,}849 \approx 2{,}85$. Na osi liczba 2,36 leży bliżej 2,4 niż 2,3.

38.Zaokrąglanie masy z dokładnością do 1 dag i do 10 dag

$1~\mathrm{dag} = 0{,}01~\mathrm{kg}$, więc zaokrąglenie masy w kilogramach do 1 dag to zaokrąglenie do części setnych, a do 10 dag - do części dziesiątych. Np. $2{,}368~\mathrm{kg} \approx 2{,}37~\mathrm{kg}$ (do 1 dag), $\approx 2{,}4~\mathrm{kg}$ (do 10 dag) i $\approx 2~\mathrm{kg}$ (do 1 kg).

39.Przybliżenie z nadmiarem i z niedomiarem

Przybliżenie z niedomiarem to najbliższa mniejsza (lub równa) wielokrotność, a z nadmiarem - najbliższa większa (lub równa), bez patrzenia na reguły zaokrąglania. Liczba 6481: z niedomiarem do setek $6481 \approx 6400$, z nadmiarem do setek $6481 \approx 6500$, a z niedomiarem do tysięcy $6481 \approx 6000$.

40.Jakie liczby mają dane zaokrąglenie?

Do dziesiątek do liczby 30 zaokrąglamy liczby od 25 do 34: liczby 25-29 w górę, a 30-34 w dół. Do setek do 0 zaokrąglamy liczby od 0 do 49. Do setek do 700 zaokrąglamy liczby od 650 do 749.