Dzielniki, wielokrotności, NWD i NWW - Matematyka z plusem 5

1.Wielokrotność liczby

Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez liczbę naturalną: 0, 1, 2, 3 itd. Wielokrotności liczby 7 to 0, 7, 14, 21, 28, 35, …, bo $7 \cdot 0 = 0$, $7 \cdot 1 = 7$, $7 \cdot 2 = 14$ itd. Kolejne wielokrotności różnią się o 7, więc na osi liczbowej leżą w równych odstępach. Liczba 0 jest wielokrotnością każdej liczby, a każda liczba jest wielokrotnością liczby 1.

2.Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby parzyste to wielokrotności liczby 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10 itd. Liczby, które nie są wielokrotnościami liczby 2, to liczby nieparzyste: 1, 3, 5, 7, 9 itd. Zero też jest liczbą parzystą, bo $0 = 2 \cdot 0$.

3.Dwukrotność, trzykrotność, pięciokrotność liczby

Dwukrotność liczby to ta liczba pomnożona przez 2, trzykrotność - pomnożona przez 3, a pięciokrotność - przez 5. Np. trzykrotność liczby 12 to $3 \cdot 12 = 36$, a pięciokrotność liczby 8 to $5 \cdot 8 = 40$.

4.Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność dwóch liczb to liczba, która jest wielokrotnością każdej z nich. Wielokrotności 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … Wielokrotności 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, … Wspólne wielokrotności liczb 6 i 8 to 0, 24, 48, 72 itd.

5.Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

NWW dwóch liczb to ich najmniejsza wspólna wielokrotność różna od 0. Zero pomijamy, bo jest wspólną wielokrotnością każdych dwóch liczb. Wypisujemy kolejne wielokrotności obu liczb, aż trafimy na liczbę, która jest na obu listach. Np. wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16, 20, a wielokrotności 10 to 10, 20. Zapisujemy: $\mathrm{NWW}(4, 10) = 20$ i czytamy: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 4 i 10 to 20.

6.Kiedy NWW dwóch liczb to większa z nich?

Gdy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Np. $\mathrm{NWW}(7, 28) = 28$, bo $28 = 7 \cdot 4$. Tak samo $\mathrm{NWW}(1, 19) = 19$, bo każda liczba jest wielokrotnością liczby 1.

7.Kiedy w zadaniu szukamy NWW?

Gdy dwie rzeczy powtarzają się co pewien czas i pytamy, kiedy znów zdarzą się razem. Także wtedy, gdy z kawałków o dwóch różnych długościach układamy dwa paski, które mają być równe. Np. Ola biega co 6 dni, a Kuba co 8 dni. Dziś biegali oboje, więc znów pobiegną tego samego dnia za $\mathrm{NWW}(6, 8) = 24$ dni.

8.Liczba podzielna przez inną liczbę

Liczba jest podzielna przez inną liczbę, gdy dzieli się przez nią bez reszty. Np. 42 jest podzielna przez 6, bo $42 : 6 = 7$. Liczba 42 nie jest podzielna przez 8, bo $42 : 8 = 5 \text{ r } 2$.

9.Dzielnik liczby

Dzielnik liczby to każda liczba, przez którą ta liczba jest podzielna. Dzielniki liczby 14 to 1, 2, 7 i 14. Każda liczba większa od 1 ma co najmniej dwa dzielniki: 1 i samą siebie, a liczba 1 ma tylko jeden dzielnik. Gdy 7 jest dzielnikiem 14, to 14 jest wielokrotnością 7.

10.Jak znaleźć wszystkie dzielniki liczby?

Zapisujemy liczbę jako iloczyn dwóch liczb na wszystkie sposoby: najpierw 1 razy ta liczba, potem sprawdzamy kolejno 2, 3, 4 itd. Kończymy, gdy czynniki zaczynają się powtarzać. Dla 40: $1 \cdot 40$, $2 \cdot 20$, $4 \cdot 10$, $5 \cdot 8$; liczby 3, 6 i 7 nie dzielą 40, a dalej byłoby już $8 \cdot 5$. Dzielniki liczby 40 to wszystkie te czynniki: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

11.Wspólny dzielnik

Wspólny dzielnik dwóch liczb to liczba, która jest dzielnikiem każdej z nich. Dzielniki 16: 1, 2, 4, 8, 16. Dzielniki 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Wspólne dzielniki liczb 16 i 40 to 1, 2, 4 i 8. Liczba 1 jest wspólnym dzielnikiem każdych dwóch liczb.

12.Największy wspólny dzielnik (NWD)

NWD dwóch liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem każdej z nich. Wypisujemy dzielniki obu liczb, zaznaczamy wspólne i wybieramy największy. Dzielniki 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Dzielniki 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Wspólne to 1, 2, 7, 14, więc $\mathrm{NWD}(28, 42) = 14$. Czytamy: największy wspólny dzielnik liczb 28 i 42 to 14.

13.Kiedy NWD jest równy mniejszej liczbie, a kiedy 1?

NWD jest równy mniejszej liczbie, gdy jest ona dzielnikiem większej, np. $\mathrm{NWD}(9, 36) = 9$, bo $36 : 9 = 4$. NWD jest równy 1, gdy liczby nie mają innych wspólnych dzielników niż 1, np. $\mathrm{NWD}(8, 15) = 1$.

14.Kiedy w zadaniu szukamy NWD?

Gdy dzielimy dwie wielkości na równe części i chcemy, żeby części były jak największe albo żeby jednakowych zestawów było jak najwięcej. Np. z 24 cukierków i 36 lizaków robimy jednakowe paczki i nic nie zostaje. Najwięcej paczek będzie $\mathrm{NWD}(24, 36) = 12$, a w każdej 2 cukierki i 3 lizaki.

15.Cecha podzielności przez 2

Cecha podzielności to reguła, dzięki której bez dzielenia sprawdzamy, czy liczba dzieli się przez daną liczbę. Liczba jest podzielna przez 2 tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8. Np. 3916 jest podzielna przez 2, a 2471 nie jest.

16.Cecha podzielności przez 5

Liczba jest podzielna przez 5 tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Np. 2735 i 690 są podzielne przez 5, a 1452 nie jest.

17.Cechy podzielności przez 10 i przez 100

Liczba jest podzielna przez 10 tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, np. 4730. Liczba jest podzielna przez 100 tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry to 00, np. 8300. Liczba 5040 dzieli się przez 10, ale nie przez 100.

18.Cecha podzielności przez 4

Liczba jest podzielna przez 4 tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Pełne setki zawsze dzielą się przez 4, bo 100 dzieli się przez 4. Np. 5316 dzieli się przez 4, bo $16 : 4 = 4$, a 2734 nie, bo $34 : 4 = 8 \text{ r } 2$. Inny sposób: liczba parzysta dzieli się przez 4, gdy po podzieleniu jej przez 2 wychodzi liczba parzysta.

19.Cecha podzielności przez 25

Liczba jest podzielna przez 25 tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75. Np. 1375 i 4850 są podzielne przez 25, a 2635 nie jest, bo kończy się na 35.

20.Cecha podzielności przez 3

Liczba jest podzielna przez 3 tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. Np. dla 2541: $2 + 5 + 4 + 1 = 12$, a 12 dzieli się przez 3, więc 2541 też. Dla 3172: $3 + 1 + 7 + 2 = 13$, więc 3172 nie dzieli się przez 3.

21.Cecha podzielności przez 9

Liczba jest podzielna przez 9 tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. Np. dla 6831: $6 + 8 + 3 + 1 = 18$, więc 6831 dzieli się przez 9. Dla 4512: $4 + 5 + 1 + 2 = 12$, więc 4512 dzieli się przez 3, ale nie przez 9. Każda liczba podzielna przez 9 jest też podzielna przez 3.

22.Czy o podzielności przez 3 decyduje ostatnia cyfra?

Nie. Przy dzieleniu przez 3 sprawdzamy sumę cyfr, a nie ostatnią cyfrę. Liczba 23 kończy się cyfrą 3, ale nie dzieli się przez 3, bo $2 + 3 = 5$. Liczba 51 kończy się cyfrą 1, a dzieli się przez 3, bo $5 + 1 = 6$. Liczby podzielne przez 3 bywają parzyste, np. 12, i nieparzyste, np. 15.

23.Na co patrzymy w cechach podzielności?

Przy podzielności przez 2, 5 i 10 patrzymy na ostatnią cyfrę liczby. Przy podzielności przez 4, 25 i 100 - na dwie ostatnie cyfry. Przy podzielności przez 3 i 9 najpierw liczymy sumę wszystkich cyfr.

24.Podzielność przez 6 i przez 15

Liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Np. 714: ostatnia cyfra to 4, a $7 + 1 + 4 = 12$, więc 714 dzieli się przez 6. Liczba jest podzielna przez 15, gdy jest podzielna przez 3 i przez 5. Np. 435: ostatnia cyfra to 5, a $4 + 3 + 5 = 12$, więc 435 dzieli się przez 15.

25.Liczba pierwsza

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Np. 7 jest liczbą pierwszą, bo dzieli się tylko przez 1 i przez 7. Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2.

26.Liczba złożona

Liczba złożona to liczba naturalna różna od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki. Np. 15 jest liczbą złożoną, bo ma dzielniki 1, 3, 5 i 15. Najmniejszą liczbą złożoną jest 4.

27.Które liczby nie są ani pierwsze, ani złożone?

Liczby 0 i 1. Liczba 1 ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 dzieli się np. przez 1, 2 i 3, więc nie jest pierwsza. Złożona też nie jest, bo liczba złożona musi być różna od zera. Każda inna liczba naturalna jest albo pierwsza (ma dokładnie dwa dzielniki), albo złożona (ma więcej niż dwa dzielniki).

28.Czy liczba pierwsza może być parzysta?

Tak, ale tylko jedna: 2. Każda liczba parzysta większa od 2 dzieli się przez 1, przez 2 i przez samą siebie, więc ma więcej niż dwa dzielniki i jest złożona. Dlatego liczba pierwsza większa od 2 nie kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 ani 8, a liczba pierwsza większa od 5 - także cyfrą 5.

29.Liczby pierwsze mniejsze od 40

Jest ich 12: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Warto je znać na pamięć, bo przydają się przy rozkładzie liczby na czynniki pierwsze.

30.Jak wykazać, że liczba jest złożona?

Wystarczy znaleźć jej dzielnik inny niż 1 i ona sama. Pomagają w tym cechy podzielności. Np. 2715 kończy się cyfrą 5, więc dzieli się przez 5 i jest złożona. Dla 4011: $4 + 0 + 1 + 1 = 6$, więc 4011 dzieli się przez 3 i też jest złożona.

31.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych, np. $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Każdą liczbę złożoną można tak rozłożyć. Można zacząć od iloczynu dwóch dowolnych liczb i rozkładać dalej każdy czynnik: $60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

32.Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze w zapisie z kreską?

Liczbę piszemy po lewej stronie kreski, a po prawej - liczbę pierwszą, przez którą się dzieli. Pod liczbą piszemy wynik dzielenia i powtarzamy to, aż po lewej zostanie 1. Dzielniki dobieramy za pomocą cech podzielności. Czynniki pierwsze to liczby po prawej stronie kreski: $$\begin{array}{r|l} 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$ Wynik: $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.

33.Jak zapisać rozkład na czynniki pierwsze za pomocą potęg?

Gdy czynnik się powtarza, zapisujemy go jako potęgę: $200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2$. Mała liczba zapisana u góry mówi, ile razy czynnik występuje w rozkładzie: dwójka 3 razy, a piątka 2 razy. Sprawdzenie: $8 \cdot 25 = 200$.

34.Jak obliczyć NWD z rozkładu na czynniki pierwsze?

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze. 2. Podkreślamy wspólne czynniki pierwsze. Gdy w jednym rozkładzie są trzy dwójki, a w drugim dwie, wspólne są dwie dwójki. 3. Mnożymy podkreślone czynniki. Np. $72 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot 2 \cdot \underline{3} \cdot 3$, $60 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot 5$, więc $\mathrm{NWD}(72, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

35.Jak obliczyć NWW z rozkładu na czynniki pierwsze?

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze. 2. Z rozkładu mniejszej liczby skreślamy każdy czynnik, który występuje w rozkładzie większej - najwyżej tyle razy, ile jest go w rozkładzie większej. 3. Mnożymy większą liczbę przez czynniki, które zostały. Np. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ i $12 = \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3}$. W rozkładzie 18 jest tylko jedna dwójka, więc skreślamy jedną. Zostaje 2, więc $\mathrm{NWW}(12, 18) = 18 \cdot 2 = 36$.