Sprytne mnożenie i dzielenie - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Różne sposoby mnożenia

Sposób mnożenia dobieramy do liczb. Przez 10, 100, 1000 dopisujemy zera. Liczby z zerami na końcu mnożymy bez zer, a potem dopisujemy zera. Kilka liczb mnożymy w wygodnej kolejności. Większą liczbę mnożymy „po kawałku”.

2.Mnożenie przez 10, 100, 1000

Aby pomnożyć liczbę przez 10, 100, 1000 i tak dalej, wystarczy dopisać do niej na końcu tyle zer, ile ma 10, 100 albo 1000: $8 \cdot 10 = 80$, $346 \cdot 100 = 34\,600$, $72 \cdot 1000 = 72\,000$, $15 \cdot 10\,000 = 150\,000$.

3.Mnożenie przez 100 liczby, która ma już zera na końcu

Zera, które liczba już ma, zostają, a nowe dopisujemy za nimi. $450 \cdot 100 = 45\,000$: do 450 dopisujemy 2 zera, więc wynik ma razem 3 zera. Wynik 4500 byłby błędny, bo gubi zero z liczby 450. Zero w środku liczby też zostaje: $702 \cdot 10 = 7020$.

4.Jak sprawdzić, przez jaką liczbę pomnożono?

Porównujemy obie liczby i liczymy dopisane zera. $54 \cdot ? = 5400$: do 54 dopisano 2 zera, więc pomnożono przez 100. $260 \cdot ? = 260\,000$: dopisano 3 zera, więc pomnożono przez 1000.

5.Jak mnożyć liczby z zerami na końcu?

Najpierw mnożymy liczby otrzymane po odrzuceniu zer, a potem do wyniku dopisujemy z prawej strony wszystkie odrzucone zera. $40 \cdot 700$: $4 \cdot 7 = 28$. Odrzuciliśmy 3 zera (jedno w 40 i dwa w 700), więc $40 \cdot 700 = 28\,000$.

6.Gdy iloczyn liczb bez zer kończy się zerem

Zero z wyniku mnożenia bez zer zostaje, a odrzucone zera dopisujemy za nim. $50 \cdot 40$: $5 \cdot 4 = 20$, dopisujemy 2 zera i mamy $50 \cdot 40 = 2000$. Wynik ma 3 zera, choć czynniki mają razem tylko 2.

7.Inny sposób mnożenia liczb z zerami

Liczby z zerami zapisujemy jako iloczyny, np. $30 = 3 \cdot 10$ i $600 = 6 \cdot 100$. Potem mnożymy w wygodnej kolejności: $30 \cdot 600 = 3 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 100 = 3 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 100 = 18\,000$.

8.Jak mnożyć przez 20, 30, 400?

Mnożymy przez liczbę bez zer, a potem dopisujemy zera. $23 \cdot 30$: $23 \cdot 3 = 69$, dopisujemy 1 zero, więc $23 \cdot 30 = 690$. $12 \cdot 400$: $12 \cdot 4 = 48$, dopisujemy 2 zera, więc $12 \cdot 400 = 4800$.

9.Mnożenie kilku liczb w dowolnej kolejności

Liczby możemy mnożyć w dowolnej kolejności, więc najpierw mnożymy te, które dają wygodny wynik. Możesz zapisać liczby w zmienionej kolejności: $2 \cdot 13 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$.

10.Które liczby warto pomnożyć najpierw?

Szukamy par, które dają pełne dziesiątki albo 100: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 5 = 20$, $5 \cdot 6 = 30$, $5 \cdot 8 = 40$, $4 \cdot 25 = 100$. Na przykład $4 \cdot 9 \cdot 25 = 100 \cdot 9 = 900$, a $6 \cdot 7 \cdot 5 = 30 \cdot 7 = 210$.

11.Mnożenie „po kawałku”

Większą liczbę rozkładamy na dziesiątki i jedności. Mnożymy każdy kawałek osobno, a wyniki dodajemy. $6 \cdot 14 = 6 \cdot 10 + 6 \cdot 4 = 60 + 24 = 84$.

12.Dlaczego mnożenie „po kawałku” daje dobry wynik?

Wyobraź sobie 4 rzędy po 13 kratek. To tyle samo, co 4 rzędy po 10 kratek i 4 rzędy po 3 kratki. Dlatego $4 \cdot 13 = 4 \cdot 10 + 4 \cdot 3 = 40 + 12 = 52$.

13.Mnożenie „po kawałku” większych liczb

Tak samo mnożymy większe liczby dwucyfrowe i liczby trzycyfrowe: $3 \cdot 52 = 150 + 6 = 156$, bo $3 \cdot 50 = 150$ i $3 \cdot 2 = 6$. $4 \cdot 123 = 400 + 80 + 12 = 492$. Gdy większa liczba stoi pierwsza, liczymy tak samo: $17 \cdot 3 = 30 + 21 = 51$.

14.Iloczyny warte zapamiętania

Te iloczyny przydają się w wielu obliczeniach: $2 \cdot 25 = 50$, $3 \cdot 25 = 75$, $4 \cdot 25 = 100$, $2 \cdot 15 = 30$, $3 \cdot 15 = 45$, $4 \cdot 15 = 60$. Na przykład 4 kwadranse to $4 \cdot 15 = 60$ minut, czyli godzina.

15.Mnożenie „po kawałku” z odejmowaniem

Gdy liczba jest blisko pełnej dziesiątki, możemy odjąć. $7 \cdot 29 = 7 \cdot (30 - 1) = 7 \cdot 30 - 7 \cdot 1 = 210 - 7 = 203$. 29 siódemek to o jedną siódemkę mniej niż 30 siódemek.

16.Jak zamienić godziny na minuty?

Godzina ma 60 minut, więc liczbę godzin mnożymy przez 60: 3 godziny to $3 \cdot 60 = 180$ minut. Doba ma 24 godziny, czyli $24 \cdot 60 = 1440$ minut. 2 godziny 15 minut to $120 + 15 = 135$ minut.

17.Jak zamienić minuty na sekundy?

Minuta ma 60 sekund, więc liczbę minut mnożymy przez 60: 5 minut to $5 \cdot 60 = 300$ sekund. Godzina ma 60 minut, czyli $60 \cdot 60 = 3600$ sekund.

18.„10 razy więcej” czy „o 100 więcej”?

„10 razy więcej” - mnożymy przez 10, „o 100 więcej” - dodajemy 100. 10 razy więcej niż 25 zł to $25 \cdot 10 = 250$ zł, a o 100 zł więcej to $25 + 100 = 125$ zł. Dla 5 zł większa jest druga kwota: 10 razy więcej to 50 zł, a o 100 zł więcej to 105 zł.

19.Zadania z mnożeniem w dwóch krokach

Najpierw obliczamy, ile jest wszystkich rzeczy, a potem mnożymy przez cenę jednej. 30 uczniów dostaje po 3 długopisy, a długopis kosztuje 2 zł. Długopisów jest $30 \cdot 3 = 90$, a kosztują $90 \cdot 2 = 180$ zł.

20.Pytania Fermiego

To pytania, na które trudno odpowiedzieć dokładnie, np. ile kostek cukru zmieści się w pudełku. Dzielimy problem na części, szacujemy i wykonujemy proste obliczenia. Jedna warstwa to około 40 kostek, a warstw będzie około 6, więc zmieści się około $40 \cdot 6 = 240$ kostek.

21.Różne sposoby dzielenia

Sposób dzielenia dobieramy do liczb. Przez 10, 100, 1000 pomijamy zera. Liczbę z zerami dzielimy bez zer, a potem dopisujemy zera. Gdy obie liczby mają zera, pomijamy tyle samo zer w każdej. Większą liczbę dzielimy „po kawałku”.

22.Dzielenie przez 10, 100, 1000

Aby podzielić liczbę z zerami na końcu przez 10, 100, 1000 i tak dalej, wystarczy pominąć od końca tyle zer, ile ma 10, 100 albo 1000: $80 : 10 = 8$, $36\,000 : 100 = 360$, $5\,200\,000 : 1000 = 5200$.

23.Jak sprawdzić dzielenie przez 10, 100, 1000?

Wynik mnożymy przez liczbę, przez którą dzieliliśmy, i sprawdzamy, czy wraca liczba początkowa. $36\,000 : 100 = 360$. Sprawdzenie: $360 \cdot 100 = 36\,000$ - zgadza się. Mnożąc, dopisujemy z powrotem zera pominięte przy dzieleniu.

24.Skreślanie zer w dzieleniu

Zera w dzieleniu możesz skreślać - tyle samo zer w dzielnej, ile w dzielniku. W $4500 : 100$ dzielnik ma 2 zera, więc skreślamy po 2 zera w obu liczbach. Zostaje $45 : 1 = 45$.

25.Dzielenie liczby z zerami przez liczbę jednocyfrową

Dzielimy liczbę bez zer, a do wyniku dopisujemy pominięte zera. $42 : 6 = 7$, więc $420 : 6 = 70$ i $4200 : 6 = 700$. Gdy między 6 dzieci dzielimy 420 cukierków zamiast 42, każde dostaje 10 razy więcej. Tak samo $24\,000 : 8 = 3000$, bo $24 : 8 = 3$.

26.Gdy pierwsza cyfra jest mniejsza od dzielnika

Bierzemy wtedy pierwszą cyfrę razem z jednym zerem. $3000 : 6$: cyfra 3 jest mniejsza od 6, więc dzielimy $30 : 6 = 5$. Zostały jeszcze 2 zera, więc $3000 : 6 = 500$. Sprawdzenie: $500 \cdot 6 = 3000$.

27.Dzielenie, gdy obie liczby mają zera na końcu

Jeśli w dzieleniu obie liczby mają zera na końcu, to możemy pominąć tyle samo zer w każdej z nich, a iloraz się nie zmieni. $480 : 60 = 48 : 6 = 8$. $63\,000 : 900 = 630 : 9 = 70$.

28.Dlaczego pominięcie zer nie zmienia ilorazu?

240 cukierków dzielimy między 40 dzieci - każde dostaje 6. Gdy cukierków jest 10 razy mniej i dzieci też jest 10 razy mniej, każde dziecko nadal dostaje tyle samo: $240 : 40 = 24 : 4 = 6$.

29.Ile zer można skreślić w dzieleniu?

W obu liczbach skreślamy tyle samo zer, najwyżej tyle, ile ma liczba z mniejszą liczbą zer. $9000 : 300$: liczba 300 ma 2 zera, więc skreślamy po 2 zera i mamy $90 : 3 = 30$. Skreślenie 3 zer w 9000, a tylko 2 w 300 dałoby zły wynik 3.

30.Dzielenie „po kawałku”

Dzielną zapisujemy jako sumę liczb, które łatwo podzielić. Dzielimy każdy kawałek i dodajemy wyniki. $92 : 4 = (80 + 12) : 4 = 20 + 3 = 23$, bo $80 : 4 = 20$ i $12 : 4 = 3$.

31.Jak znaleźć kawałki do dzielenia?

Szukamy liczby mniejszej od dzielnej, którą łatwo podzielić, np. 30 przy dzieleniu przez 3. Odejmujemy ją i z liczbą, która została, robimy to samo. $78 : 3$: $78 - 30 = 48$, $48 - 30 = 18$. Więc $78 = 30 + 30 + 18$ i $78 : 3 = 10 + 10 + 6 = 26$.

32.Czy liczbę można rozłożyć na kawałki na kilka sposobów?

Tak. Liczbę można rozłożyć na kawałki na kilka sposobów, a wynik zawsze wyjdzie ten sam: $78 : 3 = (60 + 18) : 3 = 20 + 6 = 26$ i $78 : 3 = (30 + 30 + 18) : 3 = 10 + 10 + 6 = 26$. Mniej kawałków to zwykle mniej liczenia.

33.Dzielenie „po kawałku” liczb trzycyfrowych

Trzycyfrową dzielną też rozkładamy na wygodne kawałki: $856 : 8 = (800 + 56) : 8 = 100 + 7 = 107$. $315 : 5 = (300 + 15) : 5 = 60 + 3 = 63$.

34.Dzielenie „po kawałku” z odejmowaniem

Gdy dzielna jest blisko wygodnej liczby, możemy odjąć. $114 : 6 = (120 - 6) : 6 = 120 : 6 - 6 : 6 = 20 - 1 = 19$. Sprawdzenie: $19 \cdot 6 = 114$.

35.Jak zamienić minuty na godziny?

Godzina ma 60 minut, więc liczbę minut dzielimy przez 60. Pomijamy po jednym zerze: $240 : 60 = 24 : 6 = 4$ godziny. Tak samo sekundy zamieniamy na minuty: $180 : 60 = 18 : 6 = 3$ minuty.

36.„10 razy mniej” czy „o 100 mniej”?

„10 razy mniej” - dzielimy przez 10, „o 100 mniej” - odejmujemy 100. 10 razy mniej niż 2500 zł to $2500 : 10 = 250$ zł, a o 100 zł mniej to $2500 - 100 = 2400$ zł.

37.„Ile razy więcej?” przy dużych liczbach

Dzielimy większą liczbę przez mniejszą i pomijamy w obu tyle samo zer. Pewien słoń waży 4000 kg, a pewien koń 500 kg. $4000 : 500 = 40 : 5 = 8$, więc ten słoń waży 8 razy więcej niż koń.

38.Pakowanie po kilka sztuk - dzielenie dużych liczb

Gdy pakujemy rzeczy po kilka sztuk, dzielimy. 3600 jogurtów pakujemy po 4 sztuki. $36 : 4 = 9$, więc $3600 : 4 = 900$ opakowań. Sprawdzenie: $900 \cdot 4 = 3600$.

39.Zadanie: najpierw „o ile”, potem „ile razy”

Gdy znamy różnicę, najpierw obliczamy większą liczbę, a potem dzielimy. Ola ma 30 naklejek, a Kuba o 120 więcej, czyli $30 + 120 = 150$. Kuba ma $150 : 30 = 5$ razy więcej naklejek niż Ola.

40.Mnożymy - dopisujemy zera, dzielimy - pomijamy zera

Mnożąc przez 10, 100, 1000, dopisujemy zera, a dzieląc - pomijamy je: $340 \cdot 100 = 34\,000$, a $34\,000 : 100 = 340$. Liczby z zerami mnożymy bez zer i dopisujemy wszystkie zera: $80 \cdot 300 = 24\,000$. Dzieląc, skreślamy w obu liczbach tyle samo zer: $24\,000 : 300 = 240 : 3 = 80$.