Procenty, diagramy i procent danej liczby - Matematyka z plusem 7

1.Procent (%)

Symbol % czytamy „procent”. Słowo pochodzi od łacińskiego pro centum i znaczy „na sto”. Jeden procent pewnej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości: $1\% = \frac{1}{100}$. Ogólnie $p\% = \frac{p}{100}$, np. $9\% = \frac{9}{100}$. Gdy $9\%$ uczniów gra w szachy, to na każdych 100 uczniów średnio 9 gra w szachy.

2.Procent zawsze jest częścią pewnej wielkości

W praktyce procent nigdy nie występuje sam - zawsze jest ułamkiem jakiejś wielkości. $30\% = 0{,}3$, ale $30\%$ ceny to $0{,}3$ ceny, a nie $0{,}3$ zł. $100\% = 1$, ale $100\%$ uczniów klasy to wszyscy uczniowie tej klasy, a nie jeden uczeń.

3.Jak zamienić procent na ułamek dziesiętny?

Zapisujemy procent jako ułamek o mianowniku 100 i dzielimy przez 100: $64\% = \frac{64}{100} = 0{,}64$, $208\% = \frac{208}{100} = 2{,}08$. Krócej: przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo i usuwamy znak %. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami: $3{,}5\% = 0{,}035$, $0{,}4\% = 0{,}004$.

4.Jak zamienić procent na ułamek zwykły nieskracalny?

Zapisujemy procent jako ułamek o mianowniku 100 i skracamy go: $45\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$, $80\% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$. Procent większy niż $100\%$ daje liczbę mieszaną: $130\% = \frac{130}{100} = 1\frac{30}{100} = 1\frac{3}{10}$.

5.Procent z przecinkiem albo z liczbą mieszaną - zamiana na ułamek zwykły

Gdy w liczniku jest ułamek dziesiętny, rozszerzamy ułamek, aż licznik będzie liczbą naturalną: $7{,}5\% = \frac{7{,}5}{100} = \frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$. Gdy procent zawiera liczbę mieszaną, zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy i dzielimy przez 100: $2\frac{1}{2}\% = \frac{5}{2} : 100 = \frac{5}{200} = \frac{1}{40}$.

6.Procenty, które warto zapamiętać

$100\%$ to całość, $50\%$ to połowa, $25\%$ to ćwierć, $75\%$ to trzy czwarte, $10\%$ to jedna dziesiąta, $20\%$ to jedna piąta, a $150\%$ to półtora. Na rysunku zamalowano kolejno $50\%$, $25\%$ i $75\%$ koła.

7.Procenty większe niż 100%

$100\%$ to cała wielkość, więc więcej niż $100\%$ oznacza więcej niż całość: $200\% = 2$ (dwukrotność), $300\% = 3$ (trzykrotność), $1000\% = 10$ (dziesięciokrotność). Gdy koszty wyniosły $120\%$ planu, to były o $\frac{1}{5}$ planu większe, bo $120\% = 1{,}2 = 1\frac{1}{5}$.

8.Jaki procent figury zamalowano?

Figurę podzielono na 20 jednakowych części, a zamalowano 6 z nich. To $\frac{6}{20} = \frac{30}{100} = 30\%$ figury. Niezamalowana część to $100\% - 30\% = 70\%$. Gdy figura ma 100 jednakowych części, liczba zamalowanych części od razu jest procentem.

9.Jak zamienić ułamek zwykły na procent przez rozszerzanie?

Ułamek łatwo zamienić na procent, gdy można go zapisać z mianownikiem 100. Rozszerzamy go (albo skracamy) do mianownika 100 i licznik zapisujemy ze znakiem %: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\%$, $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 36\%$, $\frac{42}{200} = \frac{21}{100} = 21\%$, $1\frac{1}{5} = 1\frac{20}{100} = \frac{120}{100} = 120\%$.

10.Jak zamienić ułamek dziesiętny na procent?

Zapisujemy ułamek dziesiętny jako ułamek o mianowniku 100: $0{,}57 = \frac{57}{100} = 57\%$, $0{,}3 = \frac{30}{100} = 30\%$. Krócej: przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo i dopisujemy znak %: $0{,}046 = 4{,}6\%$, $2{,}5 = 250\%$, $3 = 300\%$.

11.Zamiana liczby na procent przez mnożenie przez 100%

Każdą liczbę zamienimy na procent, mnożąc ją przez $100\%$. Wartość się nie zmienia, bo $100\% = 1$: $\frac{7}{8} \cdot 100\% = \frac{700}{8}\% = 87{,}5\%$, $0{,}62 \cdot 100\% = 62\%$, $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot 100\% = 250\%$. Ten sposób działa także dla ułamków, których nie da się rozszerzyć do mianownika 100.

12.Ułamek, którego nie da się rozszerzyć do mianownika 100

Np. $\frac{2}{3}$. Mnożąc przez $100\%$, dostajemy dokładny wynik: $\frac{2}{3} \cdot 100\% = \frac{200}{3}\% = 66\frac{2}{3}\%$. W praktyce dzielimy licznik przez mianownik, wynik zaokrąglamy i przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo: $\frac{2}{3} = 0{,}666... \approx 0{,}667 = 66{,}7\%$.

13.Ile procent pozostało? Uzupełnianie do 100%

Całość to zawsze $100\%$. Gdy znamy procent jednej części, resztę obliczamy, odejmując go od $100\%$: przeczytano $35\%$ książki, więc zostało $65\%$. Gdy części jest kilka, odejmujemy ich sumę: $40\%$ osób głosowało za, $25\%$ przeciw, więc wstrzymało się $100\% - 65\% = 35\%$ (rysunek).

14.Jak porównać ułamek z procentem?

Zamieniamy obie liczby na tę samą postać, najlepiej ułamek na procent. $\frac{3}{10}$ ceny to $30\%$ ceny, więc mniej niż $35\%$ tej ceny. $\frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$, więc $\frac{1}{6}$ kwoty to więcej niż $15\%$ tej kwoty. Porównujemy tylko części tej samej wielkości.

15.Promil (‰)

Symbol ‰ czytamy „promil”. Słowo pochodzi od łacińskiego pro mille i znaczy „na tysiąc”. Jeden promil pewnej wielkości to $\frac{1}{1000}$ tej wielkości: 1‰ = $\frac{1}{1000}$, a ogólnie k‰ = $\frac{k}{1000}$. Gdy 3‰ mieszkańców ma ponad 95 lat, to na każde 1000 osób średnio 3 mają ponad 95 lat.

16.Promil a procent - jak zamieniać?

1‰ = $\frac{1}{1000}$, a $1\% = \frac{1}{100}$, więc promil jest 10 razy mniejszy od procenta: 1‰ = $\frac{1}{10}\%$ i $1\%$ = 10‰. Promile zamieniamy na procenty, dzieląc liczbę przez 10: 48‰ = $4{,}8\%$. Procenty zamieniamy na promile, mnożąc liczbę przez 10: $0{,}4\%$ = 4‰.

17.Jak zamienić ułamek na promile, a promile na ułamek?

Ułamek mnożymy przez 1000‰, czyli w ułamku dziesiętnym przesuwamy przecinek o 3 miejsca w prawo: $0{,}006$ = 6‰, $\frac{3}{250} = 0{,}012$ = 12‰. Odwrotnie przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo: 2,5‰ = $0{,}0025$, 70‰ = $0{,}07$.

18.Diagram kołowy

Diagramy procentowe pozwalają łatwo porównywać dane wyrażone w procentach. Na diagramie kołowym całe koło to $100\%$, a każdy wycinek to część całości - im większy procent, tym większy wycinek. Wycinek $50\%$ to połowa koła, a $25\%$ - ćwierć. Na rysunku widać, że najwięcej uczniów lubi lato.

19.Brakujący wycinek diagramu kołowego

Wszystkie wycinki diagramu kołowego dają razem $100\%$. Gdy jednej wartości brakuje, od $100\%$ odejmujemy sumę pozostałych: wycinki $40\%$, $25\%$ i $15\%$ dają $80\%$, więc brakujący wycinek to $20\%$. Tak też sprawdzamy, czy diagram jest kompletny.

20.Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym każdy słupek pokazuje procent jednej odpowiedzi - im wyższy słupek, tym większy procent. Wartość odczytujemy na osi z procentami. Na rysunku najwięcej uczniów wybrało piłkę nożną ($35\%$), a tenis - $12\%$. Siatkówkę i pływanie wybrało razem $45\%$ uczniów, czyli mniej niż połowa.

21.Ile razy więcej? Porównywanie danych z diagramu

Gdy dane dotyczą tej samej całości, procenty możemy porównywać jak liczby. Dzieląc je, sprawdzamy, ile razy jedna część jest większa od drugiej. Las zajmuje $54\%$ powierzchni gminy, a pola $18\%$, więc las zajmuje $54 : 18 = 3$ razy większy obszar niż pola.

22.Procenty z diagramu a ułamki całości

Dane z diagramu często opisujemy ułamkami: ponad połowa to więcej niż $50\%$, ponad $\frac{1}{3}$ to więcej niż $33\frac{1}{3}\%$ (ok. $33{,}3\%$), ponad $\frac{1}{4}$ to więcej niż $25\%$, a mniej niż $\frac{1}{5}$ to mniej niż $20\%$. Np. $34\%$ to ponad $\frac{1}{3}$ całości, a $24\%$ to mniej niż ćwierć.

23.Kiedy procentów nie można porównywać ani dodawać?

Procent mówi tylko, jaką część danej całości stanowi grupa. Jeśli w kraju A na wsi mieszka $40\%$ ludności, a w kraju B - $30\%$, nie wiemy, gdzie mieszkańców wsi jest więcej, bo kraje mają różną liczbę mieszkańców. Z tego samego powodu nie dodajemy procentów różnych całości: $10\%$ kraju A i $5\%$ kraju B to nie $15\%$ obu krajów razem.

24.Diagram, na którym suma procentów przekracza 100%

Gdy w ankiecie można wybrać kilka odpowiedzi, każdy procent liczymy od liczby wszystkich ankietowanych. Wtedy procenty na diagramie mogą dawać razem więcej niż $100\%$. Np. gdy każdy wybiera najwyżej 2 ulubione przedmioty, suma może wynieść nawet $200\%$.

25.Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?

Najpierw ustalamy, jakim ułamkiem całości jest dana część: w liczniku część, w mianowniku całość. Potem zamieniamy ten ułamek na procent. Np. 18 z 24 uczniów lubi muzykę: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\%$. Kroki pokazuje rysunek.

26.Dwa sposoby zamiany ułamka na procent w zadaniu

Sposób 1: zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny (dzielimy licznik przez mianownik) i przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo: $\frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\%$. Sposób 2: mnożymy ułamek przez $100\%$: $\frac{11}{20} \cdot 100\% = \frac{1100}{20}\% = 55\%$. Oba sposoby dają ten sam wynik.

27.Jaki to procent, gdy wielkości mają różne jednostki?

Przed zapisaniem ułamka zamieniamy obie wielkości na tę samą jednostkę. Jaki procent 2 kg stanowi 300 g? $2~\mathrm{kg} = 2000~\mathrm{g}$, więc $\frac{300}{2000} = \frac{15}{100} = 15\%$. Bez zamiany jednostek wynik byłby zupełnie błędny.

28.Jak zaokrąglić wynik w procentach?

Gdy ułamka nie da się rozszerzyć do mianownika 100, dzielimy licznik przez mianownik i zaokrąglamy. Aby otrzymać wynik z dokładnością do części setnych procenta, zaokrąglamy ułamek dziesiętny do 4 miejsc po przecinku. Np. 4 z 7: $4 : 7 = 0{,}571428... \approx 0{,}5714 = 57{,}14\%$, a do części dziesiątych procenta $57{,}1\%$.

29.Jaki procent mieszanki stanowi jej składnik?

Całością jest masa całej mieszanki, czyli suma mas wszystkich składników. Zmieszano 1 kg orzechów i 3 kg rodzynek: mieszanka waży 4 kg, więc orzechy to $\frac{1}{4} = 25\%$ (rysunek), a rodzynki $\frac{3}{4} = 75\%$. Częsty błąd to dzielenie przez masę drugiego składnika, czyli $\frac{1}{3}$.

30.Stężenie procentowe roztworu

Stężenie procentowe mówi, jaki procent masy roztworu stanowi rozpuszczona substancja: $\frac{\text{masa substancji}}{\text{masa roztworu}} \cdot 100\%$. Masa roztworu to masa substancji i wody razem. Np. 40 g cukru w 160 g wody: roztwór waży 200 g, a $\frac{40}{200} \cdot 100\% = 20\%$.

31.Skuteczność w procentach

Skuteczność, np. koszykarza, to procent udanych prób: $\frac{\text{liczba celnych rzutów}}{\text{liczba wszystkich rzutów}} \cdot 100\%$. Zawodnik trafił 12 razy na 16 rzutów: $\frac{12}{16} \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$.

32.Jakim promilem jednej wielkości jest druga?

Liczymy jak przy procentach, ale ułamek mnożymy przez 1000‰. Pomaga to, że $1~\mathrm{mm}$ to 1‰ metra, $1~\mathrm{g}$ to 1‰ kilograma, a $1~\mathrm{ml}$ to 1‰ litra. Np. 14 g soli w 2 kg wody z Bałtyku: $\frac{14}{2000} = 0{,}007$ = 7‰.

33.Jak obliczyć procent danej liczby?

Obliczanie procentu liczby to obliczanie ułamka tej liczby. Zamieniamy procent na ułamek, a potem mnożymy ułamek przez liczbę. Np. $35\%$ z 60 kg: $35\% = 0{,}35$, a $0{,}35 \cdot 60 = 21$, więc to 21 kg.

34.Procent liczby obliczany ułamkiem zwykłym

Gdy procent łatwo zapisać ułamkiem zwykłym, liczymy szybciej: $25\%$ z 48 to $\frac{1}{4} \cdot 48 = 12$, $75\%$ z 80 to $\frac{3}{4} \cdot 80 = 60$, a $20\%$ z 35 to $\frac{1}{5} \cdot 35 = 7$.

35.Jak obliczyć promil danej liczby?

Tak samo jak procent: zamieniamy promil na ułamek i mnożymy go przez liczbę. Np. 4‰ z 2500 g: 4‰ = $0{,}004$, a $0{,}004 \cdot 2500 = 10$, więc to 10 g.

36.Proste procenty w pamięci: 1%, 10%, 50%, 25%

$1\%$ liczby to ta liczba podzielona przez 100, $10\%$ - podzielona przez 10, $50\%$ - połowa, a $25\%$ - ćwierć, czyli połowa połowy. Dla 360: $1\%$ to $3{,}6$, $10\%$ to 36, $50\%$ to 180, a $25\%$ to 90. $0{,}1\%$ to liczba podzielona przez 1000: $0{,}1\%$ z 360 to $0{,}36$.

37.Jak składać procenty w pamięci, np. 15%?

Trudniejszy procent rozkładamy na łatwe części. $15\% = 10\% + 5\%$: najpierw liczymy $10\%$, potem $5\%$ jako połowę tego wyniku i dodajemy. $15\%$ z 240 zł: $10\%$ to 24 zł, $5\%$ to 12 zł, razem 36 zł. Tak samo $30\% = 3 \cdot 10\%$, a $2\% = 2 \cdot 1\%$.

38.Procenty bliskie 100% i większe niż 100% w pamięci

Gdy procent jest bliski $100\%$, liczymy przez odejmowanie: $90\% = 100\% - 10\%$, $99\% = 100\% - 1\%$. Zatem $99\%$ z 300 to $300 - 3 = 297$. Procent większy niż $100\%$ rozkładamy na całość i resztę: $110\%$ z 70 to $70 + 7 = 77$, a $150\%$ z 40 to $40 + 20 = 60$.

39.Procent pewnej części liczby - obliczenia w dwóch krokach

Gdy procent dotyczy części całości, liczymy po kolei. W szkole jest 500 uczniów, $60\%$ to dziewczęta, a $20\%$ dziewcząt gra w siatkówkę. Dziewcząt jest $0{,}6 \cdot 500 = 300$, a siatkarek $0{,}2 \cdot 300 = 60$. Drugi procent liczymy od wyniku pierwszego kroku, a nie od 500.

40.Jak obliczyć liczbę osób z diagramu procentowego?

Diagram podaje procenty, a liczbę osób dostajemy, obliczając procent liczby wszystkich badanych. Do szkoły chodzi 200 uczniów: pieszo $40\%$, czyli $0{,}4 \cdot 200 = 80$ uczniów, autobusem $35\%$, czyli 70 uczniów, a rowerem $25\%$, czyli 50 uczniów. Sprawdzenie: $80 + 70 + 50 = 200$.