Liczby dodatnie i wyrażenia arytmetyczne

W działaniach na liczbach dodatnich ważne jest nie tylko uzyskanie dokładnego wyniku, lecz także ocena, czy jest on rozsądny. Zaokrąglanie pozwala zastąpić liczbę przybliżeniem o wskazanej dokładności. O tym, czy ostatnia zachowana cyfra wzrośnie, decyduje cyfra znajdująca się bezpośrednio za nią.

Przy zaokrąglaniu do części setnych patrzymy na cyfrę części tysięcznych. Dlatego $8{,}01467$ daje $8{,}01$. Przy zaokrąglaniu $25610{,}19611$ do setek znaczenie ma cyfra dziesiątek, więc wynikiem jest $25600$.

Szacowanie wykorzystujemy w zadaniach o masie, objętości i wymiarach. Przy porównywaniu z graniczną wartością trzeba kontrolować kierunek przybliżenia. Litr rtęci waży $1{,}59$ kg. Zwiększenie obu czynników w iloczynie $19{,}8\cdot1{,}59$ do $20\cdot1{,}6$ daje $32$, zatem rzeczywista masa jest mniejsza niż $32$ kg.

Ułamki można bezpośrednio dodawać i odejmować wtedy, gdy opisują części jednakowej wielkości. Zapewnia to wspólny mianownik. Najpierw rozszerzamy ułamki, a dopiero później wykonujemy działanie na licznikach. Mianownik pozostaje bez zmian.

W sumie $3/4+2/5$ przechodzimy do dwudziestych: $15/20+8/20=23/20$. W różnicy $1/2-3/8$ wygodne są ósme części: $4/8-3/8=1/8$. Otrzymany wynik warto sprawdzić i wykonać skracanie ułamka, jeśli jest możliwe.

Liczby mieszane zawierają część całkowitą i ułamkową. Przy dodawaniu suma części ułamkowych może utworzyć dodatkową całość. Przy odejmowaniu czasem trzeba rozbić jedną całość na części, np. zapisać $4$ jako $3+7/7$, aby odjąć $2+3/7$.

Materiał zawiera również zadania na rozkład liczby. Poprawność takiego zapisu sprawdzamy przez wykonanie wskazanego działania. Na przykład suma $1/5+2/7$ po rozszerzeniu daje $17/35$. Oba składniki są nieskracalne i mają różne mianowniki.

• Nie dodawaj ani nie odejmuj mianowników.
• Przy liczbach mieszanych uwzględniaj zarówno całości, jak i części ułamkowe.
• Sprawdzaj, czy otrzymaną liczbę można zapisać prościej.

Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych łączymy cyfry z tych samych pozycji. W zapisie pisemnym trzeba ustawić przecinki jeden pod drugim. Dopisanie zer na końcu części dziesiętnej nie zmienia wartości liczby, a może ułatwić rachunek.

Gdy w wyrażeniu występują różne zapisy liczb, wybieramy wygodną postać. Ułamek $2/5$ można zamienić na $0{,}4$, dzięki czemu $(4+2/5)+0{,}15$ obliczamy jako $4{,}4+0{,}15$.

Nawiasy wyznaczają działania wykonywane wcześniej. W wyrażeniu $5{,}1-1{,}2-(0{,}3+2{,}6)$ odejmujemy całą wartość nawiasu, czyli $2{,}9$. Nie wolno potraktować jego ostatniego składnika jako liczby dodawanej do wyniku.

Przy badaniu różnicy warto rozumieć wpływ zmian obu liczb. Dodanie tej samej wartości do odjemnej i odjemnika niczego nie zmienia. Natomiast zwiększenie odjemnej o $30$ i zmniejszenie odjemnika o $30$ zwiększa wynik łącznie o $60$.

Pytania „o ile więcej?” lub „o ile wzrosło?” prowadzą do odejmowania. W zadaniu o jeziorach najpierw sumujemy ilości wody w każdej grupie, a potem odejmujemy sumy. W zadaniu o temperaturze wzrost obliczamy przez odjęcie temperatury normalnej od wskazania termometru.

Przy mnożeniu ułamków mnożymy liczniki i mianowniki. Rachunek często ułatwia wcześniejsze skrócenie wspólnych czynników. W działaniu $(5/18)\cdot(9/25)$ można skrócić $9$ z $18$ oraz $5$ z $25$, co prowadzi do $1/10$.

Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność. Zmieniamy tylko dzielnik. Jeśli dzielnik jest liczbą całkowitą, zapisujemy go jako ułamek o mianowniku równym jeden, a następnie odwracamy.

Przed mnożeniem lub dzieleniem liczby mieszanej wygodnie jest utworzyć ułamek niewłaściwy. Na przykład $1+1/3$ zamieniamy na $4/3$. Dzięki temu dalsze obliczenia wykonujemy tak samo jak dla pozostałych ułamków.

W mnożeniu liczb dziesiętnych kontrolujemy miejsca po przecinku. Czynniki $0{,}11$ i $0{,}11$ mają łącznie cztery takie miejsca, dlatego iloczyn to $0{,}0121$. W dzieleniu można jednocześnie przesunąć przecinek w obu liczbach: $0{,}72:0{,}024=720:24=30$.

Obliczenie części liczby wymaga mnożenia przez odpowiedni ułamek. Aby znaleźć $2/3$ liczby $16{,}2$, najpierw można obliczyć jedną trzecią, a następnie podwoić wynik. Otrzymujemy $10{,}8$.

Inaczej postępujemy przy odtwarzaniu całości. Jeśli wiadomo, że $3/4$ pewnej liczby wynosi $27$, dzielimy $27$ przez $3/4$. Możemy też zauważyć, że jedna czwarta to $9$, więc całość wynosi $36$.

Zamiana jednostek opiera się na ustalonych relacjach:

• Kilometr odpowiada $1000$ metrów.
• Kilogram odpowiada $100$ dekagramów lub $1000$ gramów.
• Dekagram odpowiada $10$ gramów.
• Godzina odpowiada $60$ minutom.

Z tego wynika, że $0{,}003$ km to $3$ m, $300$ g to $30$ dag i $0{,}3$ kg, a $2/3$ godziny to $40$ minut. Jeśli pytanie dotyczy tego, jaką częścią kilometra jest $45$ m, obliczamy $45/1000$.

W zadaniach o cenie jednostkowej porównujemy porcje tej samej wielkości. Cena $3{,}20$ zł za $10$ dag oznacza $0{,}32$ zł za dekagram. Kilogram zawiera dziesięć takich porcji, więc kosztuje $32$ zł.

O wartości wyrażenia decyduje kolejność działań:

• Najpierw obliczamy wyrażenia w nawiasach.
• Następnie wykonujemy potęgowanie.
• Potem mnożenie i dzielenie, od lewej do prawej.
• Na końcu dodawanie i odejmowanie, od lewej do prawej.

Dlatego $18+2\cdot8$ daje $34$, ale $(18+2)\cdot8$ daje $160$. Podobnie potęgowanie dotyczy dokładnie wskazanej podstawy: w $46-6^2$ podnosimy do kwadratu tylko $6$, natomiast w $(46-6)^2$ całą różnicę.

Kreska ułamkowa grupuje wyrażenia w liczniku i mianowniku. Najpierw obliczamy każdą z tych części, a dopiero później wykonujemy dzielenie. Przy mnożeniu sumy przez liczbę trzeba uwzględnić każdy składnik: $5\cdot(1/7+3/5)=5/7+3$.

W zadaniach wieloetapowych zapisz, czego dotyczy każda część. Krzysztof zarobił $1176$ zł. Odłożone $3/7$ tej kwoty wynosiło $504$ zł, więc na zakup początkowo przeznaczył $672$ zł. Dopłata stanowiła $0{,}25$ oszczędności, a nie całego zarobku: było to $126$ zł. Ostatecznie tablet kosztował $798$ zł, a oszczędności zmniejszyły się do $378$ zł.