Matematyka

Ułamki, liczby dziesiętne i liczby przeciwne

autor: OTOmójPSEUDONIM

100% pozytywnych (2 oceny)uczy się 19 osób8 fiszek16 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1: Porównywanie ułamków zwykłych
Etap 1 · 3 fiszki · 6 pytań
Etap 2: Działania i liczby przeciwne
Etap 2 · 5 fiszek · 10 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Rozwinięcia dziesiętne ułamków - skończone i okresoweKlasy 6-7

Otwórz kartę pracy

Ułamki dziesiętne - dodawanie i odejmowanieKlasy 4-5

Otwórz kartę pracy

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnychKlasy 6-7

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Liczby przeciwne oraz odwrotność danej liczbyWideo, 6 min · Kurs E8 - Matematyka 2027

Obejrzyj lekcję

Mnożenie liczb dziesiętnych sposobem pisemnymWideo, 13 min · Kurs E8 - Matematyka 2027

Obejrzyj lekcję

Dodawanie liczb dziesiętnych sposobem pisemnymWideo, 7 min · Kurs E8 - Matematyka 2027

Obejrzyj lekcję

1.Porównywanie ułamków zwykłych

Aby porównać ułamki, sprowadza się je do wspólnego mianownika. Gdy mianowniki są takie same, większy jest ułamek z większym licznikiem.

2.Wspólny mianownik

To taki sam mianownik, do którego sprowadza się porównywane ułamki. Dzięki temu można łatwo sprawdzić, który ułamek jest większy.

3.Większy ułamek przy tym samym mianowniku

Jeśli ułamki mają ten sam mianownik, większy jest ten, którego licznik jest większy.

4.Dodawanie pisemne liczb dziesiętnych

W dodawaniu pisemnym trzeba zapisać liczby pod sobą tak, by jedności były pod jednościami, a części dziesiąte pod częściami dziesiątymi.

5.Odejmowanie pisemne liczb dziesiętnych

W odejmowaniu pisemnym liczby zapisuje się pod sobą w odpowiednich rzędach, tak aby jedności były pod jednościami, a części dziesiąte pod częściami dziesiątymi.

6.Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do liczby a to liczba -a.

7.Odejmowanie jako dodawanie liczby przeciwnej

Odejmowanie liczby można zapisać jako dodawanie jej liczby przeciwnej. Na przykład: -6 - 14 = -6 + (-14).

8.Zasada liczb dziesiętnych w zapisie pisemnym

W działaniach pisemnych ważne jest odpowiednie ustawienie rzędów, czyli zgodne zapisanie jednostek, części dziesiątych i kolejnych miejsc po przecinku.

Notatka

Ułamki o tym samym mianowniku

Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik - ile takich części bierzemy. Gdy mianowniki są równe, części mają ten sam rozmiar, więc większy jest ułamek, który zawiera ich więcej.

Na przykład $\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$ , bo pięć siódmych części to więcej niż trzy takie same części.

3/7 i 5/7: części tej samej wielkości

Podobnie można porównać ułamki o równych licznikach: im większy mianownik, tym mniejsze części, a więc mniejszy ułamek, np. $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ .

Sprowadzanie do wspólnego mianownika

Gdy mianowniki są różne, części mają różne rozmiary i nie da się ich od razu porównać. Wtedy rozszerzamy ułamki: mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Wartość ułamka się nie zmienia - całość dzielimy na drobniejsze części, ale bierzemy ich odpowiednio więcej.

Wspólny mianownik musi dzielić się przez oba mianowniki, czyli być ich wspólną wielokrotnością. Najwygodniej wybrać najmniejszą taką liczbę - wtedy rachunki są najprostsze.

Przykład

Porównujemy $\frac{3}{4}$ i $\frac{5}{6}$ . Wspólny mianownik to $12$ : $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ i $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ , więc $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

3/4 = 9/12, a 5/6 = 10/12

Iloczyn mianowników zawsze jest wspólnym mianownikiem, ale często niepotrzebnie dużym - dla mianowników $4$ i $6$ dałby $24$ zamiast $12$ .

Porównywanie liczb mieszanych

Liczby mieszane porównujemy w dwóch krokach. Najpierw całości: większa część całkowita oznacza większą liczbę bez względu na ułamki, np. $3\frac{1}{4} > 2\frac{7}{8}$ , bo $3 > 2$ .

liczba 3 oddziela obie liczby mieszane

Dopiero gdy całości są równe, porównujemy części ułamkowe - tak jak zwykłe ułamki, po sprowadzeniu do wspólnego mianownika. Na przykład przy $2\frac{1}{3}$ i $2\frac{2}{5}$ porównujemy $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ i $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ , więc $2\frac{1}{3} < 2\frac{2}{5}$ .

Dodawanie i odejmowanie pisemne liczb dziesiętnych

W zapisie dziesiętnym każde miejsce ma swoją wartość: po przecinku są kolejno części dziesiąte, części setne i części tysięczne. Dodawać i odejmować można tylko cyfry tego samego rzędu, dlatego liczby zapisujemy tak, by przecinek stał pod przecinkiem - wtedy wszystkie rzędy wyrównują się same.

Brakujące miejsca po przecinku uzupełniamy zerami, bo zero dopisane na końcu części dziesiętnej nie zmienia wartości: $5{,}4 = 5{,}40$ . Na przykład w działaniu $5{,}4 + 2{,}75$ cyfry ustawiają się w rzędach tak:

Działanie	Jedności	Dziesiąte	Setne
pierwsza liczba	$5$	$4$	$0$
druga liczba	$2$	$7$	$5$
suma	$8$	$1$	$5$

W rzędzie części dziesiątych $4 + 7 = 11$ : zapisujemy $1$ , a jedną całość przenosimy do jedności, tak samo jak w liczbach naturalnych. Wynik to $8{,}15$ , a przecinek stoi w nim dokładnie pod przecinkami składników.

Ważne

Przy odejmowaniu również dopisujemy zera, np. $7 - 2{,}36$ liczymy jako $7{,}00 - 2{,}36 = 4{,}64$ .

Liczby przeciwne

Dwie liczby są przeciwne, gdy na osi liczbowej leżą w tej samej odległości od zera, ale po przeciwnych stronach, np. $4$ i $-4$ albo $2{,}5$ i $-2{,}5$ . Ich suma zawsze wynosi $0$ .

pary liczb przeciwnych

Zapis $-a$ czytamy „liczba przeciwna do $a$ ”. Nie musi to być liczba ujemna: gdy $a = -3$ , to $-a = 3$ . Liczbą przeciwną do zera jest samo zero.

Liczba przeciwna do liczby przeciwnej to liczba wyjściowa: $-(-a) = a$ , np. $-(-7) = 7$ .

Odejmowanie jako dodawanie liczby przeciwnej

Każde odejmowanie można zamienić na dodawanie: zamiast odejmować liczbę, dodajemy liczbę do niej przeciwną. Dzięki temu w działaniach z liczbami ujemnymi wystarczą reguły dodawania.

Zapamiętaj

$a - b = a + (-b)$ - odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną.

Na przykład $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$ : od $5$ przesuwamy się na osi o $8$ jednostek w lewo.

5 + (-8) = -3: osiem jednostek w lewo

Zasada działa także przy odejmowaniu liczby ujemnej: $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$ . Odjęcie liczby ujemnej zwiększa wynik, a dodanie liczby ujemnej go zmniejsza.