Wielokąty - pola i własności

Każdy czworokąt - także nieregularny - można przekątną podzielić na dwa trójkąty. Suma kątów każdego trójkąta wynosi $180^\circ$, a kąty obu trójkątów składają się dokładnie na kąty czworokąta, dlatego suma kątów wewnętrznych czworokąta to $2\cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Ten sam sposób działa dla każdego wielokąta: przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą $n$-kąt na $n-2$ trójkąty.

Wzór pozwala obliczyć brakujący kąt: od sumy odejmujemy znane kąty. Na przykład w czworokącie o kątach $70^\circ$, $110^\circ$ i $95^\circ$ czwarty kąt ma $360^\circ - 275^\circ = 85^\circ$.

Wielokąt jest foremny, gdy spełnia jednocześnie dwa warunki: wszystkie boki ma równe i wszystkie kąty ma równe. Jeden warunek nie wystarcza: romb ma równe boki, ale zwykle różne kąty, a prostokąt ma równe kąty, ale zwykle różne boki. Jedynym czworokątem foremnym jest kwadrat.

Kąt wielokąta foremnego obliczamy, dzieląc sumę kątów przez ich liczbę: $\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$.

Im więcej boków, tym większy kąt wielokąta foremnego i tym bardziej figura przypomina okrąg.

Pole figury mówi, ile kwadratów jednostkowych mieści się w jej wnętrzu. W prostokącie o bokach $a$ i $b$ kwadraty układają się w $b$ rzędów po $a$ kwadratów, stąd wzór $P = a\cdot b$, a w kwadracie $P = a\cdot a = a^2$.

Pole podajemy w jednostkach kwadratowych: jeśli boki mierzymy w centymetrach, pole wychodzi w $\mathrm{cm^2}$, a jeśli w metrach - w $\mathrm{m^2}$.

Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy (albo do prostej, na której ona leży), poprowadzony z przeciwległego wierzchołka. Jej długość to odległość podstawy od przeciwległego boku lub wierzchołka.

Równoległobok można zamienić w prostokąt: odcinamy trójkąt wzdłuż wysokości i dosuwamy go z drugiej strony. Powstaje prostokąt o bokach $a$ i $h$ i tym samym polu, stąd $P = a\cdot h$.

Każdy bok może być podstawą, ale do każdego boku należy inna wysokość, a pole wychodzi to samo: gdy na bok $6$ opada wysokość $4$, a na bok $8$ wysokość $3$, to $6\cdot 4 = 8\cdot 3 = 24$.

Dwa jednakowe trójkąty złożone wzdłuż boku tworzą równoległobok o tej samej podstawie $a$ i wysokości $h$. Trójkąt zajmuje połowę tego równoległoboku, dlatego $P = \frac{a\cdot h}{2}$.

Podstawą może być dowolny bok - trzeba tylko wziąć wysokość opuszczoną właśnie na ten bok. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem: padają na przedłużenia boków.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc każda z nich jest wysokością opuszczoną na drugą. Dlatego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych, np. dla przyprostokątnych $6$ i $5$ pole wynosi $\frac{6\cdot 5}{2} = 15$.

W trójkącie równobocznym wszystkie boki mają długość $a$, a wszystkie kąty po $60^\circ$. Wysokość dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne i trafia w środek podstawy, więc dzieli ją na odcinki długości $\frac{a}{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa w jednym z tych trójkątów: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$, czyli $h^2 = \frac{3a^2}{4}$ i $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Po wstawieniu tej wysokości do wzoru na pole trójkąta dostajemy $P = \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Na przykład dla boku $6$ wysokość wynosi $3\sqrt{3}$, a pole $\frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Jeśli przez wierzchołki rombu poprowadzimy proste równoległe do przekątnych, powstanie prostokąt o bokach $e$ i $f$, a romb zajmie dokładnie jego połowę - stąd $P = \frac{e\cdot f}{2}$.

Romb jest też równoległobokiem, więc jego pole można liczyć także ze wzoru $P = a\cdot h$. Wybór wzoru zależy od danych: gdy znamy przekątne, dzielimy ich iloczyn przez $2$, a gdy znamy bok i wysokość, mnożymy je.

Kwadrat jest rombem o równych przekątnych $d$, więc jego pole to również $P = \frac{d^2}{2}$, np. kwadrat o przekątnej $4$ ma pole $8$.

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych - to jego podstawy $a$ i $b$, a wysokość $h$ to odległość między nimi.

Dwa jednakowe trapezy, z których drugi obrócono, składają się w równoległobok o podstawie $a+b$ i wysokości $h$. Jeden trapez to połowa tej figury, dlatego $P = \frac{(a+b)\cdot h}{2}$. Wzór można też czytać tak: średnia długość podstaw razy wysokość.

Ten sam wzór działa dla każdego trapezu - równoramiennego, prostokątnego i dowolnego - bo zależy tylko od podstaw i wysokości.