Obliczenia procentowe - najważniejsze wzory

Procent (znak $\%$) to jedna setna część całości: $1\% = \frac{1}{100}$, więc $p\% = \frac{p}{100}$. Całość to zawsze $100\%$. Procent mówi, ile części ze stu równych części całości bierzemy - bez względu na to, czy całością jest klasa, cena towaru czy powierzchnia działki.

Procenty pozwalają porównywać części różnych całości. Trzy osoby z dwunastu i pięć osób z dwudziestu to różne liczby, ale w obu przypadkach ta sama część całości, czyli $25\%$.

Procent może przekraczać $100\%$ - oznacza wtedy więcej niż całość, np. $150\%$ liczby to półtora raza ta liczba. Część mniejszą niż $1\%$ zapisujemy ułamkiem dziesiętnym, np. $0{,}5\%$ to połowa jednej setnej.

Procent zamieniamy na ułamek zwykły, zapisując go z mianownikiem $100$ i skracając, np. $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$. Zamiana na ułamek dziesiętny to dzielenie przez $100$, czyli przesunięcie przecinka o dwa miejsca w lewo: $7\% = 0{,}07$, $130\% = 1{,}3$.

W drugą stronę ułamek mnożymy przez $100\%$: $\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\%$, a $0{,}6 = 60\%$.

Kilka zamian warto znać na pamięć, bo skracają rachunki:

„Procent z liczby" liczymy tak samo jak ułamek z liczby: zamieniamy procent na ułamek i mnożymy go przez tę liczbę. Najwygodniej użyć ułamka dziesiętnego, np. $35\%$ liczby $60$ to $0{,}35 \cdot 60 = 21$.

Drugi sposób prowadzi przez jeden procent: dzielimy liczbę przez $100$, a wynik mnożymy przez $p$. Dla tej samej liczby $1\%$ to $0{,}6$, więc $35\%$ to $35 \cdot 0{,}6 = 21$. Ten sposób przydaje się przy liczeniu w pamięci.

Niektóre procenty liczy się bez mnożenia: $50\%$ to połowa liczby, $25\%$ to jej ćwierć, a $10\%$ to jedna dziesiąta (przecinek przesuwamy o jedno miejsce w lewo). Z nich łatwo złożyć inne procenty.

Czasem znamy tylko część i wiemy, jakim procentem całości ona jest. Szukamy wtedy całej liczby, czyli jej $100\%$. Jeśli $p\%$ szukanej liczby $x$ równa się $w$, to $\frac{p}{100} \cdot x = w$, skąd $x = w \cdot \frac{100}{p}$.

Ten sam wynik daje proporcja: $p\%$ odpowiada wartości $w$, a $100\%$ odpowiada $x$, więc $\frac{p}{100} = \frac{w}{x}$. Najprościej liczyć przez jeden procent: znaną wartość dzielimy przez $p$ (to jest $1\%$ liczby), a wynik mnożymy przez $100$.

Wynik warto sprawdzić: obliczamy $p\%$ otrzymanej liczby i porównujemy ze znaną wartością.

Żeby ustalić, jaki procent liczby $a$ stanowi liczba $b$, tworzymy ułamek $\frac{b}{a}$ (część przez całość) i zamieniamy go na procent, mnożąc przez $100\%$. Całością jest liczba, o której procent pytamy - stojąca po słowach „jakim procentem liczby".

Na przykład $12$ to $\frac{12}{48} = \frac{1}{4} = 25\%$ liczby $48$. Gdy część jest większa od całości, wynik przekracza $100\%$: $27$ to $\frac{27}{18} \cdot 100\% = 150\%$ liczby $18$.

Ułamek warto przed mnożeniem skrócić albo rozszerzyć do mianownika $100$, np. $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 36\%$.

Pytanie „o ile procent" dotyczy różnicy dwóch liczb: najpierw obliczamy, o ile jedna jest większa od drugiej, a potem sprawdzamy, jakim procentem liczby odniesienia jest ta różnica. Liczbą odniesienia jest ta, z którą porównujemy, czyli liczba po słowie „od" (większa od..., mniejsza od...).

Dlatego wynik zależy od kierunku porównania. Dla liczb $50$ i $40$ różnica wynosi $10$:

Pytanie „o ile procent więcej" różni się od pytania „jakim procentem": $50$ to $125\%$ liczby $40$, czyli o $25\%$ więcej niż $40$.

Zwiększenie liczby o $p\%$ oznacza dodanie do niej $p\%$ jej samej, więc nowa wartość to $(100 + p)\%$ liczby wyjściowej. Po podwyżce ceny $80$ zł o $15\%$ płacimy $115\%$ starej ceny: $1{,}15 \cdot 80 = 92$ zł.

Zmniejszenie o $p\%$ zostawia $(100 - p)\%$ liczby: ta sama cena obniżona o $15\%$ to $0{,}85 \cdot 80 = 68$ zł. Mnożenie od razu przez $(100 \pm p)\%$ zastępuje dwa kroki: obliczenie zmiany i jej dodanie lub odjęcie.

Kolejne zmiany procentowe liczymy zawsze od aktualnej wartości, a nie od wyjściowej. Dlatego podwyżka o $10\%$, a po niej obniżka o $10\%$ nie przywracają ceny: $100$ zł rośnie do $110$ zł, obniżka liczona od $110$ zł wynosi $11$ zł, więc zostaje $99$ zł.