Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej

1.Funkcja kwadratowa

Funkcja postaci $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. To znak współczynnika $a$ decyduje, czy parabola jest skierowana ramionami w górę, czy w dół, a więc czy funkcja ma minimum czy maksimum.

2.Postać ogólna

Postać funkcji kwadratowej zapisana jako $f(x)=ax^2+bx+c$. Z tej postaci można obliczyć współrzędną $x$ wierzchołka ze wzoru $x_w=-\frac{b}{2a}$, a następnie wyznaczyć wartość największą lub najmniejszą funkcji.

3.Postać kanoniczna

Postać $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p,q)$. W tej postaci od razu widać wartość największą albo najmniejszą funkcji: jest nią $q$. Zależy to od znaku współczynnika $a$.

4.Wierzchołek paraboli

Punkt wykresu funkcji kwadratowej, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą albo największą. Dla $f(x)=ax^2+bx+c$ ma współrzędne $\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$.

5.Wartość najmniejsza

Najmniejsza wartość przyjmowana przez funkcję. Funkcja kwadratowa ma ją wtedy, gdy $a>0$, czyli parabola jest skierowana ramionami w górę. Wartość najmniejsza jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka.

6.Wartość największa

Największa wartość przyjmowana przez funkcję. Funkcja kwadratowa ma ją wtedy, gdy $a<0$, czyli parabola jest skierowana ramionami w dół. Wartość największa to druga współrzędna wierzchołka.

7.Oś symetrii paraboli

Prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek paraboli. Ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$ albo w postaci kanonicznej $x=p$. Po obu stronach tej prostej wartości funkcji układają się symetrycznie.

8.Znak współczynnika $a$

Jeśli $a>0$, parabola ma ramiona skierowane w górę i funkcja ma minimum. Jeśli $a<0$, parabola ma ramiona w dół i funkcja ma maksimum. Sam znak $a$ nie daje wartości ekstremum, ale mówi, jakiego typu ono jest.

9.Ekstremum na przedziale domkniętym

Na przedziale domkniętym $[m,n]$ wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej porównuje się w punktach: $m$, $n$ oraz w wierzchołku, jeśli jego współrzędna $x_w$ należy do tego przedziału.

10.Odczyt z wykresu

Wartość największą lub najmniejszą funkcji kwadratowej można odczytać z wykresu jako rzędną wierzchołka, czyli jego drugą współrzędną. Trzeba też sprawdzić, czy pytanie dotyczy całej dziedziny, czy tylko podanego przedziału.