Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów

1.Twierdzenie Talesa

Jeśli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne. W praktyce pozwala to zapisywać równości ilorazów odpowiednich odcinków i obliczać brakujące długości.

2.Odcinki proporcjonalne

Odcinki są proporcjonalne, gdy stosunek jednej pary jest równy stosunkowi drugiej, np. $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Taki zapis pojawia się w zadaniach z Talesem i podobieństwem.

3.Trójkąty podobne

Dwa trójkąty są podobne, gdy mają takie same kąty oraz odpowiednie boki w tym samym stosunku. Mają ten sam kształt, ale nie muszą mieć tych samych rozmiarów.

4.Skala podobieństwa

Skala podobieństwa $k$ to stosunek długości odpowiednich boków dwóch figur podobnych. Gdy $k>1$, figura jest powiększona, a gdy $0<k<1$, pomniejszona.

5.Cecha podobieństwa $kkk$

Jeśli wszystkie odpowiednie boki dwóch trójkątów są proporcjonalne, to trójkąty są podobne. Wystarczy wykazać równość trzech stosunków odpowiednich boków.

6.Cecha podobieństwa $kbk$

Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

7.Cecha podobieństwa $kk$

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednio dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne. Trzeci kąt też będzie równy, bo suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$.

8.Odpowiednie boki

To boki leżące naprzeciw równych kątów w podobnych trójkątach. Tylko ich długości wolno porównywać w jednej proporcji.

9.Obwody figur podobnych

Obwody figur podobnych są w takim samym stosunku jak odpowiednie boki. Jeśli skala podobieństwa wynosi $k$, to obwód też zmienia się $k$ razy.

10.Pola figur podobnych

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa. Jeśli skala wynosi $k$, to pola są w stosunku $k^2$.

11.Odcinek równoległy do boku

W trójkącie odcinek równoległy do jednego boku wyznacza z pozostałymi bokami mniejszy trójkąt podobny do całego trójkąta. To jedno z najczęstszych zastosowań twierdzenia Talesa.

12.Kolejność w proporcji

Przy zapisie proporcji trzeba zachować zgodność odpowiadających sobie boków, np. $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$, gdy $AB$ odpowiada $DE$, a $AC$ odpowiada $DF$. Błędna kolejność daje zły wynik.