Symetria środkowa - figury środkowosymetryczne

1.Punkty symetryczne względem punktu

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem punktu $O$, gdy $O$ jest środkiem odcinka $AA'$, czyli leży na nim i $|AO| = |OA'|$. Punkt $O$ to środek symetrii.

2.Obraz środka symetrii

W symetrii względem punktu $O$ obrazem punktu $O$ jest on sam. To jedyny punkt, który nie zmienia położenia.

3.Konstrukcja punktu symetrycznego względem punktu

Rysujemy prostą przez punkty $A$ i $O$. Cyrklem bierzemy odległość $|AO|$ i odkładamy ją od $O$ na tej prostej po drugiej stronie punktu $O$. Otrzymany punkt to $A'$.

4.Odcinek symetryczny względem punktu

Wyznaczamy obrazy obu końców i łączymy je: obrazem odcinka $AB$ jest odcinek $A'B'$. Ma tę samą długość i jest równoległy do $AB$ (albo leży na tej samej prostej, gdy $O$ leży na prostej $AB$).

5.Wielokąt symetryczny względem punktu

Wyznaczamy punkty symetryczne do wszystkich wierzchołków i łączymy je w tej samej kolejności. Obraz wielokąta jest do niego przystający - wygląda jak wielokąt obrócony o $180^\circ$ wokół $O$.

6.Własności symetrii środkowej

Symetria środkowa zachowuje długości odcinków i miary kątów, więc figura i jej obraz są przystające. Obrazem prostej jest prosta do niej równoległa albo ta sama prosta, gdy przechodzi przez $O$.

7.Figura środkowosymetryczna

Figura, dla której istnieje taki punkt $O$, że jej obraz w symetrii względem $O$ jest tą samą figurą. Punkt $O$ nazywamy środkiem symetrii figury.

8.Środek symetrii odcinka

Odcinek jest figurą środkowosymetryczną, a jego środkiem symetrii jest środek odcinka: końce odcinka są do siebie symetryczne względem tego punktu.

9.Środek symetrii okręgu i koła

Okrąg i koło są figurami środkowosymetrycznymi. Środkiem symetrii jest środek okręgu: końce każdej średnicy są do siebie symetryczne względem niego.

10.Środek symetrii równoległoboku

Równoległobok jest figurą środkowosymetryczną. Jego środkiem symetrii jest punkt przecięcia przekątnych, bo przekątne dzielą się w nim na połowy.

11.Prostokąt, kwadrat i romb a symetria środkowa

Prostokąt, kwadrat i romb to szczególne równoległoboki, więc każdy z nich ma środek symetrii - punkt przecięcia przekątnych.

12.Sześciokąt foremny a symetria środkowa

Sześciokąt foremny ma środek symetrii - punkt przecięcia najdłuższych przekątnych; przeciwległe wierzchołki są względem niego symetryczne. Środek symetrii ma każdy wielokąt foremny o parzystej liczbie boków.

13.Figury bez środka symetrii

Nie ma środka symetrii żaden trójkąt, trapez, który nie jest równoległobokiem (np. nierównoramienny lub równoramienny), deltoid, który nie jest rombem, ani pięciokąt foremny.

14.Prosta a symetria środkowa

Prosta jest figurą środkowosymetryczną i ma nieskończenie wiele środków symetrii - jest nim każdy jej punkt.

15.Litery środkowosymetryczne

Wśród wielkich liter drukowanych środek symetrii mają m.in. N, S, Z, O, H, X oraz I: po obrocie o $180^\circ$ wokół środka litera wygląda tak samo.

16.Litery, które mają środek symetrii, ale nie mają osi symetrii

N, S i Z - po obrocie o $180^\circ$ wyglądają tak samo, ale żadna prosta nie dzieli ich na dwie lustrzane połowy.

17.Litery, które mają i środek, i oś symetrii

H, I, O i X - mają środek symetrii oraz co najmniej dwie osie symetrii (pionową i poziomą).

18.Litery bez środka symetrii

Np. A, T, M i E. Litery A, T i M mają tylko pionową oś symetrii, a E - tylko poziomą, ale żadna z nich nie ma środka symetrii.

19.Cyfry a symetria środkowa

Środek symetrii mają cyfry 0 i 8 (narysowane symetrycznie). Cyfry 6 i 9 go nie mają - po obrocie o $180^\circ$ cyfra 6 zmienia się w 9.

20.Punkt symetryczny względem początku układu współrzędnych

Obrazem punktu $(a, b)$ w symetrii względem punktu $(0, 0)$ jest punkt $(-a, -b)$: obie współrzędne zmieniamy na liczby przeciwne, np. $(3, 2) \to (-3, -2)$.

21.Symetria względem początku układu a względem osi

Punkt $(a, b)$ przechodzi: względem osi $x$ - na $(a, -b)$, względem osi $y$ - na $(-a, b)$, względem punktu $(0, 0)$ - na $(-a, -b)$.

22.Odcinek symetryczny względem początku układu współrzędnych

Zmieniamy na przeciwne współrzędne obu końców i łączymy otrzymane punkty, np. odcinek o końcach $(1, 2)$ i $(4, 3)$ przechodzi na odcinek o końcach $(-1, -2)$ i $(-4, -3)$.

23.Jak rozpoznać punkty symetryczne względem początku układu?

Punkty są symetryczne względem $(0, 0)$, gdy ich odpowiednie współrzędne są liczbami przeciwnymi: pierwsza z pierwszą i druga z drugą, np. $(2, -7)$ i $(-2, 7)$.

24.Symetria osiowa a symetria środkowa

W symetrii osiowej punkt odbija się względem prostej: oś jest prostopadła do odcinka $AA'$ i dzieli go na połowy. W symetrii środkowej punkt odbija się względem punktu $O$, który jest środkiem odcinka $AA'$.

25.Figury, które mają oś i środek symetrii

Np. odcinek, okrąg, koło, prostokąt, kwadrat, romb i sześciokąt foremny - mają co najmniej jedną oś symetrii i środek symetrii.

26.Figury, które mają tylko jeden rodzaj symetrii

Tylko oś symetrii (bez środka) mają m.in. trójkąt równoramienny, trójkąt równoboczny, trapez równoramienny o różnych podstawach i deltoid, który nie jest rombem. Tylko środek symetrii (bez osi) ma równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem.

27.Dwie prostopadłe osie symetrii

Jeśli figura ma dwie prostopadłe osie symetrii, to ma też środek symetrii - jest nim punkt przecięcia tych osi, np. w prostokącie, rombie i literze H.