Stereometria na maturze - przekątne, kąty nachylenia i bryły

1.Graniastosłup prosty

Graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Jego ściany boczne są prostokątami, a wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

2.Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym. W prawidłowym trójkątnym podstawą jest trójkąt równoboczny, w prawidłowym czworokątnym - kwadrat, a w prawidłowym sześciokątnym - sześciokąt foremny.

3.Przekątna kwadratu

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

4.Przekątna prostokąta

Przekątna prostokąta o bokach $a$ i $b$ ma długość $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ i $b$.

5.Przekątna sześcianu

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $D = a\sqrt{3}$. Liczymy ją z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a\sqrt{2}$ (przekątna podstawy) i $a$ (krawędź boczna): $D^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

6.Przekątna prostopadłościanu

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$ i $c$ ma długość $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Wzór łączy dwa razy twierdzenie Pitagorasa: najpierw przekątna podstawy, potem przekątna bryły.

7.Przekątna podstawy a przekątna graniastosłupa

Przekątna podstawy leży w płaszczyźnie podstawy i łączy dwa niesąsiednie wierzchołki podstawy. Przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy, które nie leżą w jednej ścianie. W graniastosłupie prostym przekątna podstawy, krawędź boczna i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny.

8.Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prostego

Ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem o bokach $a$ (krawędź podstawy) i $H$ (wysokość), więc jej przekątna ma długość $\sqrt{a^2 + H^2}$.

9.Przekątne sześciokąta foremnego

W sześciokącie foremnym o boku $a$ krótsza przekątna ma długość $a\sqrt{3}$, a dłuższa $2a$. Dłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta, który składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$.

10.Kąt między prostą a płaszczyzną

Kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny, kąt ma miarę $90^\circ$.

11.Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

$\sin\alpha$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, $\cos\alpha$ - przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej, a $\mathrm{tg}\,\alpha$ - przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie.

12.Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy

To kąt $\alpha$ między przekątną bryły $D$ a przekątną podstawy $d$ (jej rzutem na podstawę). Leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $d$ i $H$, więc $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{H}{d}$, $\sin\alpha = \frac{H}{D}$, $\cos\alpha = \frac{d}{D}$.

13.Kąt nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy

Przyprostokątne trójkąta to $a\sqrt{2}$ (przekątna podstawy) i $a$ (krawędź), a przeciwprostokątna to $a\sqrt{3}$. Stąd $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Ten kąt nie jest równy $45^\circ$.

14.Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

To kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy, która jest jej rzutem na podstawę. W graniastosłupie prostym $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{H}{a}$, gdzie $a$ to krawędź podstawy, a $H$ - wysokość. W sześcianie ten kąt ma miarę $45^\circ$.

15.Kąt między przekątną prostopadłościanu a jego ścianą

Rzutem przekątnej bryły na ścianę boczną jest przekątna tej ściany. Przyprostokątna naprzeciw kąta to krawędź prostopadła do tej ściany, więc $\sin\beta = \frac{b}{D}$, gdzie $b$ to ta krawędź, a $D$ - przekątna bryły.

16.Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45° i 60°

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}\,30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$; $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\mathrm{tg}\,45^\circ = 1$; $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}$.

17.Trójkąt prostokątny o kątach 30° i 60°

Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ jest połową przeciwprostokątnej. Jeśli ma długość $a$, to przeciwprostokątna ma $2a$, a druga przyprostokątna $a\sqrt{3}$.

18.Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy (środku okręgu opisanego na podstawie). Jego krawędzie boczne są równe, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

19.Apotema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej)

Odcinek $h$ łączący wierzchołek ostrosłupa ze środkiem krawędzi podstawy, prostopadły do tej krawędzi (wysokość trójkąta ściany bocznej). Nie jest to wysokość ostrosłupa $H$, która opada prostopadle na podstawę. Zachodzi $h^2 = H^2 + r^2$, gdzie $r$ to promień okręgu wpisanego w podstawę.

20.Twierdzenie Pitagorasa w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Przy krawędzi podstawy $a$, wysokości $H$, wysokości ściany bocznej $h$ i krawędzi bocznej $b$: $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$, $H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2$ oraz $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$.

21.Wysokość trójkąta równobocznego

W trójkącie równobocznym o boku $a$ wysokość ma długość $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, a pole $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

22.Promienie okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny

Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w jego środku i dzielą się w stosunku $2 : 1$. Promień okręgu opisanego $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, a wpisanego $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Tu leży spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.

23.Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa

Kąt $\alpha$ między krawędzią boczną $b$ a odcinkiem łączącym spodek wysokości z końcem tej krawędzi (promieniem okręgu opisanego $R$). Z trójkąta prostokątnego: $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{H}{R}$, $\cos\alpha = \frac{R}{b}$. W ostrosłupie czworokątnym $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

24.Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa (kąt dwuścienny)

Kąt $\beta$ między wysokością ściany bocznej $h$ a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy (promieniem okręgu wpisanego $r$). Z trójkąta prostokątnego: $\mathrm{tg}\,\beta = \frac{H}{r}$, $\cos\beta = \frac{r}{h}$. W ostrosłupie czworokątnym $r = \frac{a}{2}$.

25.Porównanie kątów nachylenia w ostrosłupie

W ostrosłupie prawidłowym kąt nachylenia ściany bocznej $\beta$ jest zawsze większy od kąta nachylenia krawędzi bocznej $\alpha$. Oba trójkąty mają tę samą wysokość $H$, ale $r < R$, więc $\frac{H}{r} > \frac{H}{R}$, czyli $\mathrm{tg}\,\beta > \mathrm{tg}\,\alpha$.

26.Objętość graniastosłupa

$V = P_p \cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ - wysokość graniastosłupa.

27.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_c = 2P_p + P_b$: suma pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej. W graniastosłupie prostym $P_b$ to obwód podstawy razy wysokość, bo ściany boczne są prostokątami.

28.Objętość ostrosłupa

$V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ - wysokość ostrosłupa (nie wysokość ściany bocznej).

29.Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

$P_c = P_p + P_b$: pole jednej podstawy i suma pól ścian bocznych. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h = 2ah$, gdzie $h$ to wysokość ściany bocznej.

30.Przekrój osiowy walca

Przekrój walca płaszczyzną zawierającą jego oś. Jest prostokątem o bokach $2r$ i $h$, więc jego przekątna ma długość $\sqrt{(2r)^2 + h^2}$. Gdy $h = 2r$, przekrój osiowy jest kwadratem.

31.Przekrój osiowy stożka

Przekrój stożka płaszczyzną zawierającą jego oś. Jest trójkątem równoramiennym o podstawie $2r$, ramionach $l$ (tworzących) i wysokości $h$, przy czym $l^2 = r^2 + h^2$.

32.Kąt rozwarcia stożka

Kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w przekroju osiowym, czyli kąt przy wierzchołku tego przekroju. Jeśli $\alpha$ to kąt nachylenia tworzącej do podstawy ($\cos\alpha = \frac{r}{l}$), to kąt rozwarcia ma miarę $180^\circ - 2\alpha$.