Funkcja kwadratowa z parametrem - liczba i znaki rozwiązań

1.Równanie kwadratowe z parametrem

Równanie, w którym współczynniki zależą od litery, np. $m$, czyli parametru, np. $(m-1)x^2 + 2x + 1 = 0$. Zadanie polega na wyznaczeniu wszystkich wartości $m$, dla których równanie ma żądaną własność; odpowiedzią jest zbiór wartości $m$.

2.Wyróżnik i liczba rozwiązań

Dla równania $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a \neq 0$, liczymy $\Delta = b^2 - 4ac$. Gdy $\Delta > 0$, są dwa różne rozwiązania; gdy $\Delta = 0$, jedno (podwójne); gdy $\Delta < 0$, nie ma rozwiązań.

3.Przypadek $a = 0$

Gdy współczynnik przy $x^2$ zależy od $m$, najpierw sprawdzamy wartość $m$, dla której $a = 0$. Równanie staje się wtedy liniowe $bx + c = 0$: dla $b \neq 0$ ma jedno rozwiązanie, dla $b = 0$ i $c \neq 0$ - żadnego, dla $b = 0$ i $c = 0$ - nieskończenie wiele.

4.Wyróżnik z parametrem

Do wzoru $\Delta = b^2 - 4ac$ wstawiamy współczynniki razem ze znakiem i w nawiasach. Na przykład dla $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ mamy $b = -2m$, więc $b^2 = 4m^2$ i $\Delta = 4m^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$.

5.Dokładnie jedno rozwiązanie

Równanie z parametrem przy $x^2$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ (równanie liniowe) albo gdy $a \neq 0$ i $\Delta = 0$. Odpowiedź to suma wartości $m$ z obu przypadków.

6.Dwa różne rozwiązania

Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy $a \neq 0$ i $\Delta > 0$. Wartość $m$, dla której $a = 0$, trzeba wykluczyć, bo równanie liniowe nie ma dwóch rozwiązań. Np. dla $mx^2 + 4x + 2 = 0$: $m \neq 0$ i $\Delta = 16 - 8m > 0$, więc $m \in (-\infty, 0) \cup (0, 2)$.

7.Brak rozwiązań

Równanie nie ma rozwiązań, gdy $a \neq 0$ i $\Delta < 0$ albo gdy $a = 0$, $b = 0$ i $c \neq 0$ (równanie sprzeczne).

8.Co najmniej jedno rozwiązanie

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy $a \neq 0$ i $\Delta \geq 0$ albo gdy $a = 0$ i równanie liniowe ma rozwiązanie. Słowa „co najmniej jedno” oznaczają nierówność nieostrą $\Delta \geq 0$.

9.Wzory Viète'a

Jeśli $a \neq 0$ i $\Delta \geq 0$, to pierwiastki $x_1$, $x_2$ równania $ax^2 + bx + c = 0$ spełniają: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania.

10.Warunek $\Delta \geq 0$ przy wzorach Viète'a

Wzory Viète'a opisują pierwiastki rzeczywiste, więc stosujemy je dopiero przy założeniu $\Delta \geq 0$ (albo $\Delta > 0$, gdy pierwiastki mają być różne). Wartości $m$ wyliczone z wzorów trzeba porównać z tym warunkiem.

11.Suma kwadratów pierwiastków

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. Za sumę i iloczyn wstawiamy wyrażenia z wzorów Viète'a i otrzymujemy równanie z niewiadomą $m$.

12.Suma odwrotności pierwiastków

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$. Wzór ma sens tylko wtedy, gdy $x_1 x_2 \neq 0$, czyli żaden pierwiastek nie jest zerem.

13.Schemat zadania z wzorami Viète'a

1) Warunek istnienia pierwiastków: $a \neq 0$ i $\Delta \geq 0$ (lub $\Delta > 0$). 2) Zapis wyrażenia przez $x_1 + x_2$ i $x_1x_2$. 3) Wstawienie wzorów Viète'a i rozwiązanie równania lub nierówności z $m$. 4) Część wspólna z warunkiem z kroku 1.

14.Pierwiastki różnych znaków

Równanie ma pierwiastki różnych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy $a \neq 0$ i $x_1 x_2 = \frac{c}{a} < 0$. Warunku $\Delta > 0$ nie trzeba sprawdzać osobno: gdy $\frac{c}{a} < 0$, to $ac < 0$, więc $\Delta = b^2 - 4ac > 0$.

15.Dwa różne pierwiastki dodatnie

Warunki: $a \neq 0$, $\Delta > 0$, $x_1 x_2 > 0$ i $x_1 + x_2 > 0$. Dodatni iloczyn mówi, że pierwiastki mają ten sam znak, a dodatnia suma - że są dodatnie.

16.Dwa różne pierwiastki ujemne

Warunki: $a \neq 0$, $\Delta > 0$, $x_1 x_2 > 0$ i $x_1 + x_2 < 0$. Dodatni iloczyn mówi, że pierwiastki mają ten sam znak, a ujemna suma - że są ujemne.

17.Koniunkcja warunków

Wszystkie warunki zadania z parametrem muszą zachodzić jednocześnie, więc łączymy je spójnikiem „i”. Rozwiązujemy każdy z nich osobno, a odpowiedzią jest część wspólna otrzymanych zbiorów.

18.Nierówność kwadratowa z niewiadomą m

Warunek typu $\Delta > 0$ często daje nierówność kwadratową, np. $m^2 - m - 2 > 0$. Liczymy jej pierwiastki ($m = -1$, $m = 2$), szkicujemy parabolę (ramiona w górę, bo współczynnik przy $m^2$ jest dodatni) i odczytujemy $m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

19.Część wspólna na osi liczbowej

Każdy warunek zaznaczamy na jednej osi i bierzemy tylko te wartości $m$, które należą do wszystkich zbiorów. Kółko puste oznacza nierówność ostrą, zamalowane - nieostrą. Np. dla $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ z dwoma różnymi pierwiastkami dodatnimi: $\Delta > 0$ daje $m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$, iloczyn $m > -2$, suma $m > 0$, więc $m \in (2, +\infty)$.

20.Błąd: pominięcie przypadku $a = 0$

Gdy przy $x^2$ stoi wyrażenie z $m$, uczeń od razu liczy $\Delta$ i gubi rozwiązanie z przypadku liniowego. Np. $mx^2 - 2x + 1 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla $m = 0$ i dla $m = 1$, a nie tylko dla $m = 1$.

21.Błąd: pominięcie warunku $\Delta \geq 0$

Uczeń wylicza $m$ z wzorów Viète'a i nie sprawdza, czy pierwiastki w ogóle istnieją. Np. dla $x^2 + mx + 4 = 0$ i $x_1^2 + x_2^2 = 1$ wychodzi $m = \pm 3$, ale wtedy $\Delta = 9 - 16 < 0$, więc takiego $m$ nie ma.

22.Błąd: zamiana $\geq$ i $>$

„Dwa różne rozwiązania” wymagają $\Delta > 0$, a „co najmniej jedno” albo „dwa rozwiązania, niekoniecznie różne” - $\Delta \geq 0$. Pomylenie znaków dodaje albo gubi wartość $m$, dla której $\Delta = 0$.

23.Błąd znaku w sumie pierwiastków

Suma pierwiastków to $-\frac{b}{a}$, a nie $\frac{b}{a}$. Np. dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ suma wynosi $5$ (pierwiastki $2$ i $3$), a iloczyn $6$.