Koła, okręgi, symetria i skala - Matematyka w punkt 4

1.Okrąg

Okrąg tworzą wszystkie punkty, których odległość od środka okręgu jest taka sama. Okrąg to sama linia, bez wnętrza - kształt okręgu ma np. obręcz do hula-hoop.

2.Koło

Koło tworzą punkty, które należą do okręgu, oraz punkty, które leżą wewnątrz tego okręgu. Koło to okrąg razem z jego wnętrzem - kształt koła ma np. moneta.

3.Które punkty należą do okręgu, a które do koła?

Do okręgu należą tylko punkty leżące na jego linii. Do koła należą punkty okręgu i wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu, więc środek należy do koła, ale nie do okręgu. Punkty leżące na zewnątrz okręgu nie należą ani do okręgu, ani do koła.

4.Promień

Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu. Odcinek od środka do punktu leżącego wewnątrz okręgu nie jest promieniem.

5.Cięciwa

Cięciwa to odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu. Cięciwa może przechodzić przez środek okręgu albo go omijać.

6.Średnica

Średnica to najdłuższa cięciwa okręgu. Przechodzi przez środek okręgu, a jej długość jest równa długości dwóch promieni. Na rysunku: O - środek, r - promień, d - średnica, AB - cięciwa.

7.Ile promieni, średnic i cięciw można narysować w okręgu?

W okręgu można narysować nieskończenie wiele promieni, średnic i cięciw. Wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość i wszystkie jego średnice też. Cięciwy mogą mieć różne długości - najdłuższe z nich to średnice.

8.Jak obliczyć średnicę z promienia, a promień ze średnicy?

Średnica jest 2 razy dłuższa od promienia, więc średnicę obliczamy, mnożąc promień przez 2, a promień - dzieląc średnicę przez 2. Na przykład gdy promień ma 6 cm, średnica ma $6~\mathrm{cm} \cdot 2 = 12~\mathrm{cm}$. Gdy średnica ma 3 cm, czyli 30 mm, promień ma $30~\mathrm{mm} : 2 = 15~\mathrm{mm}$, czyli 1 cm 5 mm.

9.Jak narysować okrąg cyrklem?

1. Zaznacz punkt O - środek okręgu. 2. Odmierz na linijce rozwartość cyrkla równą promieniowi, np. 2 cm. 3. Wbij nóżkę cyrkla w punkt O i końcówką z grafitem zatocz okrąg. Nie zmieniaj rozwartości cyrkla podczas rysowania.

10.Jak narysować koło o podanej średnicy?

Rozwartość cyrkla to zawsze promień, więc średnicę najpierw podziel przez 2. Potem narysuj cyrklem okrąg i zamaluj jego wnętrze. Na przykład dla koła o średnicy 9 cm ustaw cyrkiel na 4 cm 5 mm, bo 90 mm : 2 = 45 mm.

11.Figury symetryczne względem prostej

Dwie figury są symetryczne względem prostej, gdy są swoimi lustrzanymi odbiciami względem tej prostej. Mają ten sam kształt i tę samą wielkość, a po złożeniu kartki wzdłuż prostej dokładnie się pokrywają. Na rysunku trójkąty są symetryczne względem prostej l.

12.Oś symetrii figury

Oś symetrii figury to prosta, która dzieli figurę na dwie części będące swoim lustrzanym odbiciem. Po złożeniu figury wzdłuż osi obie części dokładnie się pokrywają. Nie każda prosta przez środek figury jest osią symetrii, np. przekątna prostokąta, który nie jest kwadratem.

13.Figura osiowosymetryczna

Figurę, która ma co najmniej jedną oś symetrii, nazywamy figurą osiowosymetryczną. Figura może też nie mieć żadnej osi symetrii, np. trójkąt różnoboczny - wtedy nie jest osiowosymetryczna.

14.Ile osi symetrii mają trójkąty i czworokąty?

Trójkąt różnoboczny nie ma osi symetrii. Trójkąt prostokątny równoramienny ma 1 oś - przez wierzchołek kąta prostego. Prostokąt, który nie jest kwadratem, ma 2 osie przez środki przeciwległych boków. Kwadrat ma 4 osie: 2 przez środki boków i 2 na przekątnych.

15.Ile osi symetrii mają koło i okrąg?

Koło i okrąg mają nieskończenie wiele osi symetrii. Każda prosta przechodząca przez środek koła lub okręgu jest jego osią symetrii.

16.Ile osi symetrii mają odcinek i kąt?

Odcinek ma 2 osie symetrii: prostą, na której leży, oraz prostą do niego prostopadłą, przechodzącą przez jego środek. Kąt, np. ostry, prosty, rozwarty albo półpełny, ma 1 oś symetrii: prostą przez wierzchołek, która dzieli go na dwa równe kąty, np. kąt $80^\circ$ na dwa kąty po $40^\circ$.

17.Kiedy litera i wyraz mają oś symetrii?

Litera ma pionową oś symetrii, gdy jej lewa i prawa połowa są lustrzanymi odbiciami, np. A, M, T. Ma poziomą oś, gdy tak jest z górną i dolną połową, np. C, D, E. Litery H, I, O, X mają obie osie, a F, N, S, Z - żadnej. Wyraz zapisany poziomo ma poziomą oś, gdy każda jego litera ją ma, np. ECHO.

18.Jak dorysować figurę symetryczną na kratce?

Dla każdego wierzchołka policz kratki do osi symetrii i zaznacz nowy punkt tyle samo kratek po drugiej stronie osi, na tej samej wysokości. Potem połącz punkty. Na rysunku oś przechodzi przez A i D: B leży 3 kratki na lewo od osi, więc B' - 3 kratki na prawo, a C i C' leżą po 2 kratki od osi.

19.Skala

Skala informuje nas, czy obiekt na rysunku jest przedstawiony w rzeczywistych wymiarach, czy jego wymiary są powiększone lub pomniejszone w stosunku do wymiarów rzeczywistych. Skala 1 : 1 oznacza rzeczywiste wymiary.

20.Skala powiększająca

Skala powiększająca to taka skala, w której obiekt został powiększony podaną liczbę razy. Na przykład w skali 2 : 1 obiekt powiększono 2 razy, a w skali 4 : 1 - 4 razy.

21.Skala pomniejszająca

Skala pomniejszająca to taka skala, w której obiekt został pomniejszony podaną liczbę razy. Na przykład w skali 1 : 2 obiekt pomniejszono 2 razy, a w skali 1 : 3 - 3 razy.

22.Jak rozpoznać, czy skala jest powiększająca, czy pomniejszająca?

Gdy liczba różna od 1 stoi przed dwukropkiem, skala jest powiększająca. Gdy stoi za dwukropkiem, skala jest pomniejszająca. Ta liczba mówi, ile razy obiekt powiększono albo pomniejszono. Skala 1 : 1 oznacza rzeczywiste wymiary.

23.Jak obliczyć długość na rysunku w podanej skali?

W skali powiększającej mnożymy rzeczywistą długość przez liczbę stojącą przed dwukropkiem. W skali pomniejszającej dzielimy ją przez liczbę stojącą za dwukropkiem. Na przykład odcinek o długości 8 cm w skali 3 : 1 ma $8~\mathrm{cm} \cdot 3 = 24~\mathrm{cm}$, a w skali 1 : 4 ma $8~\mathrm{cm} : 4 = 2~\mathrm{cm}$.

24.Jak zmieniają się w skali boki, obwód, promień i średnica?

W skali wszystkie długości zmieniają się tyle samo razy: boki, obwód, promień i średnica. Na przykład prostokąt o bokach 2 cm i 5 cm w skali 3 : 1 ma boki 6 cm i 15 cm, a obwód $2 \cdot 6~\mathrm{cm} + 2 \cdot 15~\mathrm{cm} = 42~\mathrm{cm}$. To 3 razy więcej niż rzeczywisty obwód 14 cm.

25.Jak obliczyć rzeczywistą długość na podstawie rysunku i skali?

1. Zmierz długość na rysunku. 2. Ustal ze skali, ile razy obiekt pomniejszono albo powiększono. 3. W skali pomniejszającej pomnóż, a w powiększającej podziel. 4. Zamień jednostki. Na przykład 5 cm na rysunku w skali 1 : 300 to $5~\mathrm{cm} \cdot 300 = 1500~\mathrm{cm} = 15~\mathrm{m}$, a 6 cm w skali 3 : 1 to $6~\mathrm{cm} : 3 = 2~\mathrm{cm}$.

26.Jak ustalić, w jakiej skali wykonano rysunek?

Zapisz obie długości w tych samych jednostkach i sprawdź, ile razy rysunek jest większy albo mniejszy od rzeczywistości. Na przykład gdy obiekt ma 2 cm, a na rysunku 14 cm, rysunek jest 7 razy większy - skala 7 : 1. Gdy obiekt ma 60 cm, a na rysunku 3 cm, rysunek jest 20 razy mniejszy - skala 1 : 20.

27.Jak porównać dwie skale pomniejszające?

Im większa liczba za dwukropkiem, tym bardziej pomniejszony jest rysunek albo mapa. Na przykład ten sam obiekt w skali 1 : 3 jest 2 razy większy niż w skali 1 : 6, bo 6 : 3 = 2.

28.Co oznacza skala mapy lub planu, np. 1 : 900?

Skala 1 : 900 oznacza, że odległość na planie jest 900 razy mniejsza niż w terenie. Pierwsza liczba to odległość na planie w centymetrach, a druga - odpowiadająca jej odległość rzeczywista w centymetrach: 1 cm na planie to 900 cm, czyli 9 m w terenie.

29.Jakiej odległości w terenie odpowiada 1 cm na mapie?

Drugą liczbę skali zamieniamy z centymetrów na metry albo kilometry. Pamiętaj: 1 m = 100 cm oraz 1 km = 1000 m = 100 000 cm. Na przykład w skali 1 : 5000 1 cm to 5000 cm, czyli 50 m, a w skali 1 : 2 000 000 1 cm to 2 000 000 cm, czyli 20 km.

30.Jak obliczyć odległość w terenie na podstawie mapy?

Skala 1 : 500 oznacza, że odległość w terenie jest 500 razy większa niż na mapie, dlatego mnożymy odległość na mapie przez 500, a wynik zamieniamy na metry lub kilometry. Na przykład 7 cm na mapie to $7~\mathrm{cm} \cdot 500 = 3500~\mathrm{cm} = 35~\mathrm{m}$.

31.Jak obliczyć odległość na mapie na podstawie odległości w terenie?

Odległość w terenie zamieniamy na centymetry i dzielimy przez drugą liczbę skali, bo na mapie jest ona tyle razy mniejsza. Na przykład 30 m na planie w skali 1 : 600 to $3000~\mathrm{cm} : 600 = 5~\mathrm{cm}$. Wymiary prostokąta, np. pokoju, przeliczamy tak samo, każdy osobno.

32.Jak ustalić, w jakiej skali wykonano mapę?

1. Zamień odległość w terenie na centymetry. 2. Zapisz odległość na mapie i w terenie z dwukropkiem. 3. Podziel obie liczby przez odległość na mapie, aby przed dwukropkiem było 1. Na przykład gdy 4 cm na mapie to 10 m w terenie: 10 m = 1000 cm, a 4 : 1000 to po podzieleniu przez 4 skala 1 : 250.