Dzielenie pisemne i zadania tekstowe - Matematyka w punkt 4

1.Jak nazywamy liczby w dzieleniu?

Liczbę, którą dzielimy, nazywamy dzielną, liczbę, przez którą dzielimy - dzielnikiem, a wynik - ilorazem. Gdy dzielenie się nie kończy równo, to, co zostaje, nazywamy resztą. Na przykład w $47 : 5 = 9 \text{ r } 2$ liczba 47 to dzielna, 5 to dzielnik, 9 to iloraz, a 2 to reszta.

2.Dzielenie z obliczeniami pośrednimi

Dzielną rozkładamy na części, które łatwo podzielić przez dzielnik, dzielimy każdą część, a wyniki dodajemy. Na przykład $128 : 4 = 120 : 4 + 8 : 4 = 30 + 2 = 32$ albo $76 : 4 = 40 : 4 + 36 : 4 = 10 + 9 = 19$.

3.Jak zapisać dzielenie pisemne?

Dzielenie zapisujemy w kratkach tak, żeby każdy znak stał w oddzielnej kratce: najpierw dzielna, potem dwukropek i dzielnik. Nad dzielną rysujemy kreskę. Nad kreską zapisujemy iloraz, każdą cyfrę w odpowiednim rzędzie.

4.Dzielenie pisemne krok po kroku

Dzielimy dziesiątki przez dzielnik i iloraz zapisujemy nad kreską w rzędzie dziesiątek. Mnożymy go przez dzielnik i wynik odejmujemy od dziesiątek. Obok różnicy dopisujemy cyfrę jedności dzielnej i tak samo dzielimy, mnożymy i odejmujemy. Na przykład w $84 : 3$: $8 : 3 = 2 \text{ r } 2$, $2 \cdot 3 = 6$, $8 - 6 = 2$. Dopisujemy 4: $24 : 3 = 8$, $8 \cdot 3 = 24$, $24 - 24 = 0$. Iloraz to 28.

5.Gdy pierwsza cyfra dzielnej jest mniejsza od dzielnika

Najpierw sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w cyfrze najwyższego rzędu. Jeżeli ani razu, dzielimy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr, a iloraz zapisujemy nad drugą z nich. Na przykład w $256 : 8$ nie podzielimy 2 przez 8, więc dzielimy $25 : 8 = 3 \text{ r } 1$ i 3 piszemy nad cyfrą 5. Potem $16 : 8 = 2$, więc iloraz to 32.

6.Dzielenie pisemne liczby wielocyfrowej

Po każdym odejmowaniu dopisujemy obok różnicy kolejną cyfrę dzielnej. Potem znów dzielimy, mnożymy i odejmujemy, aż dojdziemy do cyfry jedności. Na przykład w $5736 : 4$: $5 : 4 = 1 \text{ r } 1$, $17 : 4 = 4 \text{ r } 1$, $13 : 4 = 3 \text{ r } 1$, $16 : 4 = 4$. Iloraz to 1434.

7.Kiedy w ilorazie piszemy 0?

Gdy po dopisaniu kolejnej cyfry dzielnej otrzymana liczba jest mniejsza od dzielnika, nad kreską piszemy 0. Potem mnożymy 0 przez dzielnik, odejmujemy wynik i dopisujemy następną cyfrę. Na przykład w $624 : 6$: $6 : 6 = 1$, dopisujemy 2, a 2 jest mniejsze od 6, więc piszemy 0. Dalej $24 : 6 = 4$. Iloraz to 104.

8.Dzielenie pisemne z resztą

Liczba, która zostaje z ostatniego odejmowania, to reszta z dzielenia. Zapisujemy ją po ilorazie z literą r. Na przykład w $389 : 7$: $38 : 7 = 5 \text{ r } 3$, dopisujemy 9 i $39 : 7 = 5 \text{ r } 4$. Z ostatniego odejmowania zostaje 4, więc $389 : 7 = 55 \text{ r } 4$. Zero w ilorazie może stać też na końcu: $243 : 6 = 40 \text{ r } 3$.

9.Jaka może być reszta?

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika. Przy dzieleniu przez 5 resztą może być tylko 1, 2, 3 albo 4, a gdy nic nie zostaje, dzielenie wychodzi bez reszty. Jeśli po odejmowaniu zostało tyle co dzielnik albo więcej, iloraz jest za mały. Na przykład zapis $58 : 8 = 6 \text{ r } 10$ jest błędny, bo $58 : 8 = 7 \text{ r } 2$.

10.Typowe błędy w dzieleniu pisemnym

Najczęstsze błędy to: brak zera w ilorazie, reszta większa od dzielnika albo równa dzielnikowi i dzielenie każdej cyfry osobno bez dopisywania różnicy. Na przykład $816 : 8 = 102$, a nie 12, bo nad cyfrą 1 trzeba napisać 0. Każdy wynik warto sprawdzić mnożeniem.

11.Sprawdzanie dzielenia

Aby sprawdzić dzielenie, mnożymy iloraz przez dzielnik. Jeśli wyjdzie dzielna, wynik jest dobry. Na przykład $92 : 4 = 23$, bo $23 \cdot 4 = 92$.

12.Sprawdzanie dzielenia z resztą

Mnożymy iloraz przez dzielnik i do wyniku dodajemy resztę. Jeśli wyjdzie dzielna, dzielenie jest wykonane dobrze. Na przykład $146 : 4 = 36 \text{ r } 2$, bo $36 \cdot 4 = 144$ i $144 + 2 = 146$.

13.Kiedy w zadaniu tekstowym dzielimy?

Dzielimy, gdy coś rozdzielamy na równe części, np. szukamy ceny jednej z kilku takich samych rzeczy: 6 jednakowych zeszytów za 42 zł, więc jeden kosztuje $42 : 6 = 7$ zł. Dzielimy też, gdy sprawdzamy, ile razy jedna wielkość mieści się w drugiej: z 72 m sznurka wytniemy $72 : 8 = 9$ kawałków po 8 m.

14.Co oznacza reszta w zadaniu tekstowym?

Iloraz mówi, ile jest pełnych grup, a reszta - ile sztuk zostało i nie wystarczyło na kolejną grupę. Na przykład 70 jajek pakujemy po 8: $70 : 8 = 8 \text{ r } 6$, więc zapełnimy 8 pełnych opakowań, a 6 jajek zostanie.

15.Jak rozwiązać zadanie tekstowe?

Rozwiązujemy je w czterech krokach. 1. Zapisujemy dane, czyli liczby i informacje z treści. 2. Zapisujemy szukane, czyli to, co mamy obliczyć. 3. Zapisujemy obliczenia. 4. Zapisujemy odpowiedź pełnym zdaniem.

16.Dane i szukane

Dane to liczby i informacje z treści zadania, które są potrzebne do obliczeń, razem z tym, co oznaczają. Szukane to wielkość, o którą pyta zadanie. Na przykład w zadaniu „Ola kupiła 3 zeszyty po 4 zł. Ile zapłaciła?” dane to 3 zeszyty i cena 4 zł, a szukane to kwota za wszystkie zeszyty.

17.Zadanie tekstowe z kilkoma obliczeniami

Najpierw zapisujemy słowami, co trzeba policzyć, np. koszt biletów dla dorosłych + koszt biletów dla dzieci = całkowity koszt biletów. Potem obliczamy każdą część osobno i łączymy wyniki. Na przykład 4 bilety po 23 zł i 2 bilety po 15 zł: $4 \cdot 23 = 92$, $2 \cdot 15 = 30$, $92 + 30 = 122$ zł.

18.„O ile więcej” czy „ile razy więcej”?

„O tyle więcej” oznacza dodawanie, a „o tyle mniej” - odejmowanie. „Tyle razy więcej” oznacza mnożenie, a „tyle razy mniej” - dzielenie. „O połowę mniej” to dzielenie przez 2. Na przykład dla 12: o 5 więcej to 17, 3 razy więcej to 36, 3 razy mniej to 4. Pytanie „o ile więcej?” rozwiązujemy odejmowaniem.

19.Jednostki czasu w zadaniach

1 minuta to 60 sekund, 1 kwadrans to 15 minut, 1 godzina to 60 minut, 1 doba to 24 godziny, a tydzień to 7 dni. Gdy zamieniamy na mniejszą jednostkę, mnożymy. Na przykład 5 minut to $5 \cdot 60 = 300$ sekund, a 2 tygodnie to $2 \cdot 7 = 14$ dni.

20.Tony i kilogramy

1 tona to 1000 kilogramów: $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$. Aby wyrazić masę w tonach i kilogramach, sprawdzamy, ile pełnych tysięcy kilogramów mieści się w wyniku. Na przykład $3450~\mathrm{kg} = 3~\mathrm{t}~450~\mathrm{kg}$.

21.Od którego rzędu zaczynamy rachunki pisemne?

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie pisemne zaczynamy od rzędu jedności. Dzielenie pisemne zaczynamy od najwyższego rzędu dzielnej, czyli od pierwszej cyfry z lewej strony.

22.Zasada dodawania pisemnego

Jeżeli suma cyfr w rzędzie wynosi 10 lub więcej, pod kreską zapisujemy cyfrę jedności tej sumy, a cyfrę dziesiątek dopisujemy nad kolejnym rzędem. Na przykład w $5368 + 457$: $8 + 7 = 15$, $1 + 6 + 5 = 12$, $1 + 3 + 4 = 8$, więc suma to 5825.

23.Zasada odejmowania pisemnego

Jeżeli od mniejszej cyfry trzeba odjąć większą, 1 jednostkę z wyższego rzędu zamieniamy na 10 jednostek niższego rzędu. Na przykład w $4152 - 738$: $12 - 8 = 4$, $4 - 3 = 1$, $11 - 7 = 4$, a w tysiącach zostaje 3. Różnica to 3414.

24.Zasada mnożenia pisemnego

Każdą cyfrę mnożymy przez czynnik jednocyfrowy, zaczynając od jedności. Jeżeli iloczyn wynosi 10 lub więcej, cyfrę jedności zapisujemy pod kreską, a cyfrę dziesiątek nad kolejnym rzędem i dodajemy ją do następnego iloczynu. Na przykład w $2647 \cdot 3$: $7 \cdot 3 = 21$, $4 \cdot 3 + 2 = 14$, $6 \cdot 3 + 1 = 19$, $2 \cdot 3 + 1 = 7$, więc iloczyn to 7941.