Rodzaje kątów, wielokąty i obwód - Matematyka w punkt 4

1.Kąt zerowy

Kąt zerowy ma miarę $0^\circ$. Jego ramiona pokrywają się, więc na rysunku widać tylko jedną półprostą wychodzącą z wierzchołka.

2.Kąt ostry

Kąt ostry ma miarę większą niż $0^\circ$, ale mniejszą niż $90^\circ$, np. $25^\circ$ albo $70^\circ$.

3.Kąt prosty

Kąt prosty ma miarę $90^\circ$. Na rysunku oznaczamy go łukiem z kropką w środku. Proste prostopadłe tworzą przy przecięciu kąty proste.

4.Kąt rozwarty

Kąt rozwarty ma miarę większą niż $90^\circ$, ale mniejszą niż $180^\circ$, np. $100^\circ$ albo $165^\circ$.

5.Kąt półpełny

Kąt półpełny ma miarę $180^\circ$. Jego ramiona tworzą prostą, a wierzchołek leży na tej prostej.

6.Kąt wklęsły

Kąt wklęsły ma miarę większą niż $180^\circ$, ale mniejszą niż $360^\circ$, np. $200^\circ$ albo $300^\circ$.

7.Kąt pełny

Kąt pełny ma miarę $360^\circ$. Jego ramiona pokrywają się, a kąt obejmuje całą płaszczyznę wokół wierzchołka - to jeden pełny obrót.

8.Jak ekierką rozpoznać kąt ostry, prosty i rozwarty?

Przyłóż ekierkę tak, aby jej kąt prosty (między dwoma krótszymi bokami) był w wierzchołku kąta, a jeden krótszy bok leżał na ramieniu. Gdy drugie ramię leży wewnątrz ekierki, kąt jest ostry. Gdy pokrywa się z drugim krótszym bokiem ekierki - prosty. Gdy wychodzi poza ekierkę - rozwarty. Gdy ramiona tworzą prostą, kąt jest półpełny.

9.Jakie kąty powstaną, gdy kąt półpełny albo pełny podzielimy na 4 równe części?

Z kąta półpełnego powstaną 4 kąty ostre, bo $180^\circ : 4 = 45^\circ$. Z kąta pełnego powstaną 4 kąty proste, bo $360^\circ : 4 = 90^\circ$.

10.Jak obliczyć kąt między wskazówkami zegara o pełnej godzinie?

Tarcza zegara jest podzielona na 12 równych części po $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Policz odstępy między liczbami, które wskazują wskazówki, i pomnóż ich liczbę przez $30^\circ$. O 15.00 są 3 odstępy: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$, czyli kąt prosty. O 12.00 wskazówki pokrywają się - to kąt zerowy. Podajemy mniejszy z dwóch kątów, które tworzą wskazówki.

11.Jaki kąt zakreśla wskazówka minutowa?

Wskazówka minutowa robi pełny obrót, czyli zakreśla $360^\circ$, w 60 minut. W ciągu 5 minut zakreśla $30^\circ$, a w ciągu 1 minuty - $6^\circ$. Od 8.10 do 8.25 mija 15 minut, więc wskazówka zakreśla $15 \cdot 6^\circ = 90^\circ$.

12.Obrót o $90^\circ$, $180^\circ$ i $360^\circ$

Obrót o $90^\circ$ to ćwierć obrotu w lewo albo w prawo. Obrót o $180^\circ$ to pół obrotu: patrzysz wtedy w stronę, która była za tobą. Obrót o $360^\circ$ to pełny obrót: znowu patrzysz przed siebie.

13.Prostokąt

Prostokąt ma 4 wierzchołki, 4 kąty proste i 4 boki. Jego przeciwległe boki mają jednakową długość: $|AB| = |DC|$ i $|BC| = |AD|$. 2 pary boków są równoległe: $AB \parallel DC$ i $BC \parallel AD$. 4 pary boków są prostopadłe: $AB \perp BC$, $BC \perp CD$, $CD \perp DA$ i $DA \perp AB$.

14.Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Ma 4 wierzchołki i 4 kąty proste. W kwadracie KLMN $|KL| = |LM| = |MN| = |NK|$, 2 pary boków są równoległe: $KL \parallel NM$ i $LM \parallel KN$, a 4 pary boków są prostopadłe: $KL \perp LM$, $LM \perp MN$, $MN \perp NK$ i $NK \perp KL$.

15.Czy każdy kwadrat jest prostokątem?

Tak. Każdy kwadrat jest prostokątem, bo ma 4 kąty proste i przeciwległe boki jednakowej długości. Nie każdy prostokąt jest kwadratem - kwadratem jest tylko prostokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.

16.Kiedy czworokąt nie jest prostokątem?

Czworokąt nie jest prostokątem, gdy choć jeden jego kąt nie jest prosty - nawet wtedy, gdy jego przeciwległe boki mają jednakową długość. Położenie figury nie ma znaczenia: kwadrat obrócony na kartce nadal jest prostokątem.

17.Co oznacza zapis $3~\mathrm{cm} \times 8~\mathrm{cm}$?

To wymiary prostokąta. Zapis $3~\mathrm{cm} \times 8~\mathrm{cm}$ czytamy: 3 cm na 8 cm. Oznacza on, że boki prostokąta mają 3 cm i 8 cm długości.

18.Jak narysować prostokąt o podanych wymiarach?

1. Narysuj linijką bok AB o długości jednego wymiaru. 2. Przyłóż ekierkę kątem prostym w punkcie A i narysuj bok AD prostopadły do AB, o długości drugiego wymiaru. 3. Tak samo narysuj w punkcie B bok BC tej samej długości co AD. 4. Połącz punkty C i D. Kwadrat rysujemy tak samo, ale wszystkie boki mają tę samą długość.

19.Wielokąt

Wielokąt to obszar ograniczony łamaną zamkniętą razem z tą łamaną. Odcinki tej łamanej nie przecinają się, a początek pierwszego boku jest końcem ostatniego boku.

20.Kiedy figura nie jest wielokątem?

Figura nie jest wielokątem, gdy jej brzeg nie jest łamaną zamkniętą, np. gdy ma choć jeden fragment linii krzywej. Wielokątami nie są np. koło, półkole i serce. Wielokątami są np. gwiazda i strzałka ograniczone samymi odcinkami.

21.Boki, wierzchołki i kąty wielokąta

Boki wielokąta to odcinki łamanej, która go ogranicza, a wierzchołki - końce tych boków. Wielokąt nazywamy literami wierzchołków wymienionymi po kolei. Sześciokąt ABCDEF na rysunku ma boki AB, BC, CD, DE, EF i FA oraz 6 kątów wewnętrznych, np. $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle FAB$.

22.Od czego zależy nazwa wielokąta?

W każdym wielokącie liczba boków, wierzchołków i kątów jest taka sama i od niej zależy nazwa. Trójkąt ma 3 boki, czworokąt - 4, pięciokąt - 5, sześciokąt - 6, a siedmiokąt - 7. Wielokąt o 9 bokach to dziewięciokąt, a o 12 bokach - dwunastokąt.

23.Jakie kąty może mieć wielokąt?

Kąty wewnętrzne wielokąta mogą być ostre, proste, rozwarte, a nawet wklęsłe - gdy wielokąt ma wcięcie. Pięciokąt ABCDE na rysunku ma kąty proste przy wierzchołkach A i B, kąty ostre przy C i E oraz kąt wklęsły przy D.

24.Które punkty należą do wielokąta?

Do wielokąta należą punkty leżące na jego bokach (także wierzchołki) i punkty w jego wnętrzu. Punkty leżące na zewnątrz wielokąta do niego nie należą.

25.Przekątna wielokąta

Przekątna to odcinek, który łączy dwa wierzchołki wielokąta, ale nie jest jego bokiem. Trójkąt nie ma przekątnych, czworokąt ma 2 przekątne, a pięciokąt - 5. Na rysunku z wierzchołka A pięciokąta wychodzą 2 przekątne: AC i AD.

26.Przekątne kwadratu i prostokąta

Kwadrat i prostokąt mają po 2 przekątne. W każdym z nich przekątne mają jednakową długość. W kwadracie przekątne przecinają się pod kątem prostym, a w prostokącie, który nie jest kwadratem - pod innym kątem.

27.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Trójkąt na rysunku ma boki 6 cm, 7 cm i 9 cm, więc jego obwód to: Obw. $= 6~\mathrm{cm} + 7~\mathrm{cm} + 9~\mathrm{cm} = 22~\mathrm{cm}$.

28.Jak obliczyć obwód prostokąta?

Prostokąt na rysunku ma wymiary 6 cm na 2 cm. Sposób 1 - dodaj wszystkie boki: $6~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm} + 6~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm} = 16~\mathrm{cm}$. Sposób 2 - pomnóż każdy wymiar przez 2 i dodaj: $6~\mathrm{cm} \cdot 2 + 2~\mathrm{cm} \cdot 2 = 16~\mathrm{cm}$. Sposób 3 - dodaj dwa sąsiednie boki i pomnóż przez 2: $(6~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm}) \cdot 2 = 16~\mathrm{cm}$.

29.Obwód kwadratu i wielokąta o równych bokach

Kwadrat ma 4 równe boki, więc jego obwód to długość boku pomnożona przez 4, np. bok 3 cm: $3~\mathrm{cm} \cdot 4 = 12~\mathrm{cm}$. Obwód trójkąta o wszystkich bokach równych to bok razy 3, a pięciokąta o równych bokach - bok razy 5.

30.Jak obliczyć obwód, gdy boki mają różne jednostki?

Najpierw wyraź długości wszystkich boków w tych samych jednostkach: $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$. Prostokąt o bokach 1 m i 40 cm ma boki 100 cm i 40 cm, więc jego obwód to $(100~\mathrm{cm} + 40~\mathrm{cm}) \cdot 2 = 280~\mathrm{cm}$, czyli 2 m 80 cm.

31.Jak obliczyć obwód, gdy boki mają centymetry i milimetry?

Zamień długości na milimetry albo licz osobno centymetry i milimetry, a potem zamień 10 mm na 1 cm. Kwadrat o boku 2 cm 7 mm ma obwód $27~\mathrm{mm} \cdot 4 = 108~\mathrm{mm}$, czyli 10 cm 8 mm.

32.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znasz jego obwód?

Kwadrat ma 4 równe boki, więc obwód dzielimy przez 4. Gdy obwód kwadratu to 36 cm, jego bok ma $36~\mathrm{cm} : 4 = 9~\mathrm{cm}$. Bok trójkąta o wszystkich bokach równych obliczamy tak samo, ale obwód dzielimy przez 3.

33.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znasz obwód i jeden bok?

1. Podziel obwód przez 2 - otrzymasz sumę dwóch sąsiednich boków. 2. Od tej sumy odejmij znany bok. Obwód 30 cm, bok 9 cm: $30~\mathrm{cm} : 2 = 15~\mathrm{cm}$, $15~\mathrm{cm} - 9~\mathrm{cm} = 6~\mathrm{cm}$. Prostokąt ma wymiary 9 cm na 6 cm.

34.Jak obliczyć obwód prostokąta, gdy drugi bok jest „o ..." albo „... razy" dłuższy?

Najpierw oblicz drugi bok, potem obwód. Bok 4 cm, drugi o 3 cm dłuższy: $4~\mathrm{cm} + 3~\mathrm{cm} = 7~\mathrm{cm}$, obwód $(4~\mathrm{cm} + 7~\mathrm{cm}) \cdot 2 = 22~\mathrm{cm}$. Bok 4 cm, drugi 3 razy dłuższy: $4~\mathrm{cm} \cdot 3 = 12~\mathrm{cm}$, obwód $(4~\mathrm{cm} + 12~\mathrm{cm}) \cdot 2 = 32~\mathrm{cm}$.

35.Jak obliczyć bok kwadratu, który ma taki sam obwód jak prostokąt?

1. Oblicz obwód prostokąta. 2. Podziel go przez 4. Prostokąt 7 cm na 3 cm ma obwód $(7~\mathrm{cm} + 3~\mathrm{cm}) \cdot 2 = 20~\mathrm{cm}$, więc bok kwadratu ma $20~\mathrm{cm} : 4 = 5~\mathrm{cm}$. Gdy zamiast kwadratu jest trójkąt o równych bokach, obwód dzielimy przez 3.

36.Czy wycięcie prostokąta z rogu prostokąta zmienia obwód?

Nie. Gdy z rogu prostokąta wytniemy mniejszy prostokąt, dwa odcinki wcięcia mają razem tyle samo, ile brakujące części boków. Na rysunku bok kratki ma 1 cm. Obwód sześciokąta ABCDEF to $5 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 = 18$, czyli 18 cm - tyle samo co obwód prostokąta 5 cm na 4 cm: $(5 + 4) \cdot 2 = 18$. Działa to tylko przy prostokątnym wycięciu w rogu.

37.Kiedy w zadaniu trzeba obliczyć obwód?

Obwód obliczamy, gdy coś biegnie dookoła figury: sznurek wokół obrazka, płot wokół działki, listwa wzdłuż ścian. Gdy część brzegu zostaje wolna, np. na drzwi, odejmij jej długość. Pokój 5 m na 3 m z drzwiami szerokimi na 1 m: $(5~\mathrm{m} + 3~\mathrm{m}) \cdot 2 - 1~\mathrm{m} = 15~\mathrm{m}$ listwy.

38.Punkt, odcinek, półprosta i prosta - czym się różnią?

Punkt oznaczamy kropką. Odcinek ma dwa końce. Półprosta ma początek, ale nie ma końca. Prosta nie ma ani początku, ani końca.