Dodawanie, odejmowanie i mnożenie pisemne - Matematyka w punkt 4

1.Rachunki pisemne

Rachunki pisemne to liczenie na kartce: liczby zapisujemy jedna pod drugą i liczymy osobno w każdym rzędzie, zaczynając od rzędu jedności. Ułatwiają obliczenia na większych liczbach, gdy trudno liczyć w pamięci.

2.Dodawanie „po kawałku”

Do pierwszego składnika dodajemy drugi składnik po kawałku: najpierw jego setki, potem dziesiątki, na końcu jedności. Na przykład $245 + 132 = 245 + 100 + 32 = 345 + 30 + 2 = 375 + 2 = 377$.

3.Dodawanie z obliczeniami pośrednimi

Dodajemy osobno setki, osobno dziesiątki i osobno jedności obu składników, a na końcu dodajemy te wyniki. Na przykład dla $236 + 148$: $200 + 100 = 300$, $30 + 40 = 70$ oraz $6 + 8 = 14$, więc $236 + 148 = 300 + 70 + 14 = 384$.

4.Jak zapisać dodawanie pisemne?

Liczby, które dodajemy, to składniki, a wynik to suma. Składniki zapisujemy jeden pod drugim tak, aby cyfry jedności, dziesiątek, setek itd. stały dokładnie jedna pod drugą, czyli wyrównane do prawej strony. Z lewej dopisujemy plus, pod liczbami rysujemy kreskę, a pod kreską zapisujemy sumę.

5.Dodawanie pisemne krok po kroku

Zaczynamy od rzędu jedności: dodajemy jedności i wynik zapisujemy pod kreską w rzędzie jedności. Potem tak samo dodajemy dziesiątki, a następnie setki. Na przykład w $523 + 241$ liczymy $3 + 1 = 4$, $2 + 4 = 6$ i $5 + 2 = 7$, więc suma to 764.

6.Przeniesienie w dodawaniu pisemnym

Jeżeli suma cyfr w rzędzie wynosi 10 lub więcej, pod kreską zapisujemy jej cyfrę jedności, a cyfrę dziesiątek dopisujemy nad kolejnym rzędem i dodajemy razem z nim. Na przykład w $476 + 258$: $6 + 8 = 14$, a 14 jedności to 1 dziesiątka i 4 jedności. Piszemy 4, a 1 dopisujemy nad dziesiątkami. Dalej $1 + 7 + 5 = 13$ i $1 + 4 + 2 = 7$. Suma to 734.

7.Dodawanie liczb o różnej liczbie cyfr

Krótszą liczbę też wyrównujemy do prawej: jej cyfra jedności stoi pod cyfrą jedności dłuższej liczby. W rzędach, w których krótsza liczba nie ma cyfr, liczymy tak, jakby stało tam 0. Na przykład w $3482 + 75$ liczba 75 ma 0 setek i 0 tysięcy, więc suma to 3557.

8.Dodawanie pisemne kilku liczb

Wszystkie składniki zapisujemy jeden pod drugim, wyrównane do prawej, i w każdym rzędzie dodajemy wszystkie cyfry. Nad kolejnym rzędem dopisujemy cyfrę dziesiątek sumy - może to być także 2. Na przykład w $587 + 296 + 49$: $7 + 6 + 9 = 22$, piszemy 2, a 2 dopisujemy nad dziesiątkami. Dalej $2 + 8 + 9 + 4 = 23$ i $2 + 5 + 2 = 9$. Suma to 932.

9.Typowe błędy w dodawaniu pisemnym

Najczęstsze błędy to: liczby wyrównane do lewej zamiast do prawej, zapomniane przeniesienie oraz przeniesienie dopisane nad złym rzędem. Dlatego przed liczeniem sprawdź, czy jedności stoją pod jednościami, a w każdym rzędzie pamiętaj o dopisanej cyfrze.

10.Odejmowanie „po kawałku”

Od pierwszej liczby odejmujemy drugą po kawałku: najpierw jej setki, potem dziesiątki, na końcu jedności. Na przykład $563 - 241 = 563 - 200 - 41 = 363 - 41 = 363 - 40 - 1 = 323 - 1 = 322$.

11.Odejmowanie z obliczeniami pośrednimi

Odejmujemy osobno setki i osobno liczby utworzone z dwóch ostatnich cyfr, a potem dodajemy oba wyniki. Ten sposób jest wygodny, gdy dwie ostatnie cyfry pierwszej liczby tworzą liczbę nie mniejszą niż w drugiej. Na przykład dla $675 - 238$: $600 - 200 = 400$ oraz $75 - 38 = 37$, więc $675 - 238 = 400 + 37 = 437$.

12.Jak zapisać odejmowanie pisemne?

Liczba, od której odejmujemy, to odjemna, a liczba, którą odejmujemy, to odjemnik. Odjemną piszemy na górze, a odjemnik pod nią, tak aby jedności stały pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami itd. Dopisujemy minus, rysujemy kreskę i pod nią zapisujemy wynik, czyli różnicę.

13.Odejmowanie pisemne krok po kroku

Zaczynamy od rzędu jedności: odejmujemy jedności i różnicę zapisujemy pod kreską w rzędzie jedności. Potem odejmujemy dziesiątki, a następnie setki. Na przykład w $875 - 342$ liczymy $5 - 2 = 3$, $7 - 4 = 3$ i $8 - 3 = 5$, więc różnica to 533.

14.Sprawdzanie odejmowania

Aby sprawdzić odejmowanie, do różnicy dodajemy odjemnik. Jeśli wyjdzie odjemna, wynik jest dobry. Na przykład $914 - 376 = 538$, bo $538 + 376 = 914$.

15.„Pożyczanie” w odejmowaniu pisemnym

Jeżeli od mniejszej cyfry trzeba odjąć większą, 1 jednostkę z wyższego rzędu zamieniamy na 10 jednostek niższego rzędu. Przekreślamy obie cyfry i nad nimi piszemy nowe liczby. Na przykład w $563 - 248$ od 3 nie odejmiemy 8, więc 1 dziesiątkę zamieniamy na 10 jedności. Zostaje 5 dziesiątek i 13 jedności: $13 - 8 = 5$, $5 - 4 = 1$, $5 - 2 = 3$. Różnica to 315.

16.Zero na początku różnicy

Jeżeli w najwyższym rzędzie różnica wynosi 0, nie zapisujemy tego zera pod kreską, bo liczby nie zaczynamy od zera. Na przykład w $534 - 498$: $14 - 8 = 6$, $12 - 9 = 3$, a w setkach $4 - 4 = 0$, więc różnica to 36.

17.„Pożyczanie” od zera

Gdy trzeba pożyczyć z rzędu, w którym jest 0, najpierw zamieniamy jednostkę z kolejnego rzędu w lewo. Na przykład w $703 - 258$ w dziesiątkach jest 0, więc 1 setkę zamieniamy na 10 dziesiątek i zostaje 6 setek. Potem 1 dziesiątkę zamieniamy na 10 jedności: zostaje 9 dziesiątek i 13 jedności. Liczymy $13 - 8 = 5$, $9 - 5 = 4$, $6 - 2 = 4$. Różnica to 445.

18.Odejmowanie od liczby z samymi zerami: sposób „odejmij 1”

Gdy odejmujemy od liczby takiej jak 1000, 6000 czy 10 000, możemy od obu liczb odjąć 1. Różnica się nie zmieni, a zera w odjemnej zamienią się w dziewiątki, więc nie trzeba „pożyczać”. Na przykład $6000 - 2738 = 5999 - 2737 = 3262$.

19.Mnożenie z obliczeniami pośrednimi

Mnożenie można zastąpić dodawaniem: $46 \cdot 3 = 46 + 46 + 46$. Szybciej jest rozłożyć liczbę na dziesiątki i jedności, każdą część pomnożyć i wyniki dodać. Na przykład $40 \cdot 3 = 120$ oraz $6 \cdot 3 = 18$, więc $46 \cdot 3 = 120 + 18 = 138$.

20.Jak zapisać mnożenie pisemne przez liczbę jednocyfrową?

Liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik to iloczyn. Czynnik jednocyfrowy zapisujemy pod cyfrą jedności drugiego czynnika. Z lewej dopisujemy znak mnożenia, rysujemy kreskę i pod nią zapisujemy iloczyn.

21.Mnożenie pisemne krok po kroku

Zaczynamy od rzędu jedności: mnożymy jedności przez czynnik jednocyfrowy i iloczyn zapisujemy pod kreską w rzędzie jedności. Potem tak samo mnożymy dziesiątki, setki itd. Na przykład w $213 \cdot 3$ liczymy $3 \cdot 3 = 9$, $1 \cdot 3 = 3$ i $2 \cdot 3 = 6$, więc iloczyn to 639.

22.Przeniesienie w mnożeniu pisemnym

Jeżeli iloczyn w rzędzie ma dwie cyfry, cyfrę jedności zapisujemy pod kreską, a cyfrę dziesiątek dopisujemy nad kolejnym rzędem. W następnym rzędzie najpierw mnożymy, a potem dodajemy dopisaną liczbę. Na przykład w $356 \cdot 4$: $6 \cdot 4 = 24$, $5 \cdot 4 + 2 = 22$, $3 \cdot 4 + 2 = 14$. W ostatnim rzędzie piszemy cały wynik, więc iloczyn to 1424.

23.Zero w środku czynnika

Gdy w czynniku jest cyfra 0, iloczyn w tym rzędzie wynosi 0, ale trzeba do niego dodać liczbę dopisaną nad tym rzędem. Na przykład w $407 \cdot 6$: $7 \cdot 6 = 42$, piszemy 2, a 4 dopisujemy nad zerem. Dalej $0 \cdot 6 + 4 = 4$ i $4 \cdot 6 = 24$. Iloczyn to 2442.

24.Mnożenie liczby zakończonej zerami

Końcowe zera oddzielamy pionową kreską, a czynnik jednocyfrowy zapisujemy pod ostatnią cyfrą różną od 0. Mnożymy liczbę bez końcowych zer, a do wyniku dopisujemy oddzielone zera. Na przykład $36 \cdot 7 = 252$, więc $3600 \cdot 7 = 25\,200$.

25.Typowe błędy w mnożeniu pisemnym

Najczęstsze błędy to: zapomniane przeniesienie, dodanie przeniesienia przed mnożeniem oraz zgubione zera na końcu wyniku. Na przykład w $54 \cdot 7$ poprawnie liczymy $4 \cdot 7 = 28$ i $5 \cdot 7 + 2 = 37$, więc wynik to 378. Błędne liczenie $(5 + 2) \cdot 7 = 49$ daje 498.