Proste, odcinki i mierzenie kątów - Matematyka w punkt 4

1.Punkt

Punkt to najprostsza figura geometryczna. Punkty różnią się tylko położeniem. Rysujemy je jako kropkę i oznaczamy wielkimi literami, np. punkt A, punkt B.

2.Prosta

Prosta to linia, która nie ma ani początku, ani końca. Jest zbudowana z punktów. Prostą oznaczamy dwiema wielkimi literami - nazwami punktów, które do niej należą (np. prosta KL), albo jedną małą literą (np. prosta k).

3.Półprosta

Półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem tej prostej, a z drugiej strony nieograniczona. Ma początek, ale nie ma końca. Oznaczamy ją jedną małą literą albo dwiema wielkimi literami: pierwsza to początek półprostej, a druga - inny punkt na tej półprostej.

4.Czym różni się półprosta AB od półprostej BA?

Półprosta AB zaczyna się w punkcie A, przechodzi przez punkt B i biegnie dalej bez końca. Półprosta BA zaczyna się w punkcie B, przechodzi przez punkt A i biegnie w przeciwną stronę. To dwie różne półproste, bo mają inne początki.

5.Odcinek

Odcinek to część prostej zawarta między dwoma punktami tej prostej, razem z tymi punktami. Te punkty to końce odcinka. Odcinek oznaczamy dwiema wielkimi literami - nazwami jego końców. Odcinek AB to ten sam odcinek co odcinek BA.

6.Ile prostych przechodzi przez jeden punkt, a ile przez dwa punkty?

Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych. Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

7.Ile półprostych wyznacza punkt leżący na prostej?

Punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie półproste. Obie mają początek w tym punkcie i biegną w przeciwne strony.

8.Ile odcinków wyznaczają punkty leżące na prostej?

Każde dwa punkty są końcami jednego odcinka. Trzy punkty A, B i C leżące kolejno na prostej wyznaczają 3 odcinki: AB, BC i AC. Nie zapominaj o odcinku, który łączy skrajne punkty.

9.Kiedy punkt należy do odcinka, a kiedy do półprostej?

Do odcinka AB należą jego końce A i B oraz wszystkie punkty prostej leżące między nimi. Do półprostej AB należy jej początek A oraz wszystkie punkty prostej leżące po tej samej stronie punktu A co punkt B.

10.Łamana

Łamana to figura złożona z kilku odcinków, w której każde dwa kolejne odcinki mają wspólny koniec i żadne dwa kolejne odcinki nie leżą na jednej prostej. Odcinki łamanej nazywamy literami ich końców, np. AB, BC, CD. Figura z linią krzywą nie jest łamaną.

11.Łamana otwarta i łamana zamknięta

W łamanej otwartej początek pierwszego odcinka i koniec ostatniego odcinka to dwa różne punkty. Łamana otwarta KLMN na rysunku ma 3 odcinki: KL, LM i MN. W łamanej zamkniętej koniec ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego. Łamana zamknięta PRST na rysunku ma 4 odcinki: PR, RS, ST i TP.

12.Proste równoległe

Proste są równoległe, jeżeli nie przecinają się albo pokrywają się. Zapisujemy to znakiem $\parallel$. Zapis $a \parallel b$ czytamy: prosta a jest równoległa do prostej b. Wtedy także $b \parallel a$.

13.Proste prostopadłe

Proste są prostopadłe, jeżeli przecinają się pod kątem prostym - tak jak dwa krótsze boki ekierki. Zapisujemy to znakiem $\perp$. Zapis $g \perp h$ czytamy: prosta g jest prostopadła do prostej h. Wtedy także $h \perp g$.

14.Jak narysować proste równoległe?

1. Narysuj prostą. 2. Przyłóż ekierkę do prostej. 3. Przyłóż linijkę do ekierki. 4. Przesuń ekierkę wzdłuż linijki. 5. Narysuj prostą wzdłuż ekierki. 6. Podpisz proste.

15.Jak narysować proste prostopadłe?

1. Narysuj prostą. 2. Przyłóż ekierkę do prostej. 3. Przyłóż linijkę do ekierki. 4. Odsuń ekierkę. 5. Narysuj prostą wzdłuż linijki. 6. Podpisz proste.

16.Odcinki równoległe

Odcinki są równoległe, gdy leżą na prostych równoległych. Równoległe są też odcinki, które leżą na tej samej prostej. Na rysunku każdy z odcinków AB i CD biegnie 4 kratki w prawo i 2 kratki w górę, więc $AB \parallel CD$.

17.Odcinki prostopadłe

Odcinki są prostopadłe, gdy leżą na prostych prostopadłych. Odcinki prostopadłe nie muszą się przecinać. Na rysunku odcinki AB i CD nie stykają się, ale $AB \perp CD$, bo proste, na których leżą, przecinają się pod kątem prostym.

18.Proste prostopadłe lub równoległe do tej samej prostej

Jeżeli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej, to są do siebie równoległe: gdy $a \perp b$ i $c \perp b$, to $a \parallel c$. Jeżeli dwie proste są równoległe do tej samej prostej, to też są do siebie równoległe: gdy $a \parallel b$ i $b \parallel c$, to $a \parallel c$.

19.Jak sprawdzić, czy odcinki są równoległe albo prostopadłe?

Równoległość: przyłóż ekierkę bokiem do jednego odcinka, do drugiego boku ekierki przyłóż linijkę i przesuwaj ekierkę wzdłuż linijki. Jeśli bok ekierki pokryje się z drugim odcinkiem, odcinki są równoległe. Prostopadłość: przyłóż linijkę do jednego odcinka, a do linijki - ekierkę. Jeśli drugi bok ekierki pokrywa się z drugim odcinkiem, odcinki są prostopadłe.

20.Prosta prostopadła i prosta równoległa przez dany punkt

Przez dowolny punkt można narysować prostą prostopadłą do danej prostej - także wtedy, gdy punkt leży na tej prostej. Przez punkt leżący poza prostą można narysować prostą do niej równoległą. Gdy punkt leży na prostej, prosta równoległa przez ten punkt pokrywa się z daną prostą.

21.Jak zmierzyć długość odcinka?

Przyłóż linijkę tak, aby początek odcinka znajdował się dokładnie przy kresce 0. Potem dokładnie odczytaj, przy której kresce leży koniec odcinka. Na przykład gdy koniec leży przy kresce 3 cm 4 mm, odcinek ma długość 3 cm 4 mm.

22.Jak zapisujemy długość odcinka?

Nazwę odcinka wpisujemy między dwie pionowe kreski. Zapis $|KM| = 6~\mathrm{cm}~3~\mathrm{mm}$ czytamy: długość odcinka KM jest równa 6 cm 3 mm.

23.Jak odczytać długość, gdy odcinek nie zaczyna się przy kresce 0?

Odejmij liczbę przy początku odcinka od liczby przy jego końcu. Na rysunku odcinek leży na linijce od kreski 3 cm do kreski 10 cm, więc ma długość $10~\mathrm{cm} - 3~\mathrm{cm} = 7~\mathrm{cm}$, a nie 10 cm.

24.Jak dodawać i odejmować długości w centymetrach i milimetrach?

Pamiętaj, że 1 cm = 10 mm. Dodawaj osobno centymetry i osobno milimetry. Gdy milimetrów jest 10 albo więcej, zamień 10 mm na 1 cm, np. 3 cm 6 mm + 2 cm 7 mm = 5 cm 13 mm, czyli 6 cm 3 mm. Odejmuj tak samo. Gdy brakuje milimetrów, zamień 1 cm na 10 mm, np. 5 cm 2 mm - 1 cm 6 mm = 4 cm 12 mm - 1 cm 6 mm = 3 cm 6 mm.

25.Jak narysować odcinek o podanej długości?

1. Zaznacz punkt, który będzie początkiem odcinka. 2. Przyłóż linijkę tak, aby 0 pokrywało się z tym punktem. 3. Znajdź na linijce podaną długość i zaznacz punkt - koniec odcinka. 4. Połącz oba punkty. 5. Oznacz literami końce odcinka. 6. Zapisz nad odcinkiem jego długość.

26.Odcinek dłuższy lub krótszy „o ..." i „... razy"

Odcinek o 2 cm dłuższy: do długości dodaj 2 cm. Odcinek o 2 cm krótszy: odejmij 2 cm. Odcinek 2 razy dłuższy: pomnóż długość przez 2. Odcinek 2 razy krótszy: podziel długość przez 2. Na przykład odcinek 2 razy krótszy od odcinka o długości 4 cm 6 mm ma 2 cm 3 mm.

27.Długość łamanej

Długość łamanej to suma długości wszystkich jej odcinków. Zmierz kolejne odcinki i dodaj wyniki. Na rysunku bok kratki ma 1 cm: $|AB| = 3~\mathrm{cm}$, $|BC| = 4~\mathrm{cm}$, $|CD| = 2~\mathrm{cm}$, więc łamana ABCD ma długość $3 + 4 + 2 = 9$ cm.

28.Jak obliczyć odległość między dwoma miejscami przy jednej drodze?

Gdy oba miejsca leżą w tę samą stronę od nas, odejmij mniejszą odległość od większej, np. 650 m - 200 m = 450 m. Gdy leżą w przeciwne strony, dodaj odległości, np. 650 m + 200 m = 850 m.

29.Kąt

Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę (np. kartkę) na dwie części - dwa kąty. Te półproste to ramiona kąta, a ich wspólny początek to wierzchołek kąta.

30.Jakimi literami greckimi nazywamy kąty?

Kąty można nazywać literami alfabetu greckiego: $\alpha$ - alfa, $\beta$ - beta, $\gamma$ - gamma, $\delta$ - delta, $\omega$ - omega.

31.Jak nazwać kąt wielkimi literami?

Piszemy trzy wielkie litery: w środku nazwę wierzchołka, a po bokach nazwy punktów leżących na ramionach (po jednym z każdego ramienia). Kąt o wierzchołku O z punktami K i T na ramionach to $\measuredangle KOT$ albo $\measuredangle TOK$.

32.Jednostka miary kąta

Jednostką miary kąta jest $1^\circ$, czyli 1 stopień. Miara kąta mówi, jak szeroko rozwarte są jego ramiona (jaka jest rozwartość kąta). Kąty mierzymy kątomierzem.

33.Jak zmierzyć kąt kątomierzem?

1. Przyłóż kątomierz tak, by wierzchołek kąta znalazł się w jego celowniku, a jedno ramię pokrywało się z miarą $0^\circ$. 2. Na podziałce, która zaczyna się od $0^\circ$ przy tym ramieniu, odczytaj wskazanie drugiego ramienia. Kątomierz ma dwie podziałki - nie pomyl ich, np. $50^\circ$ i $130^\circ$ są w tym samym miejscu.

34.Jak zapisujemy miarę kąta?

Zapis $|\measuredangle ABC| = 40^\circ$ czytamy: miara kąta ABC jest równa 40 stopni. Gdy kąt nazywa się np. $\alpha$, piszemy krócej: $\alpha = 40^\circ$.

35.Kąt ostry, prosty, rozwarty i półpełny

Kąt ostry ma więcej niż $0^\circ$, ale mniej niż $90^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$, ale mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$ - jego ramiona tworzą prostą.

36.Kąt zerowy, wklęsły i pełny

Kąt zerowy ma $0^\circ$ - jego ramiona pokrywają się. Kąt wklęsły ma więcej niż $180^\circ$, ale mniej niż $360^\circ$. Kąt pełny ma $360^\circ$ - jego ramiona też się pokrywają, ale kąt obejmuje całą płaszczyznę wokół wierzchołka.

37.Jak porównać kąty bez kątomierza?

Kąt jest tym większy, im szerzej rozwarte są jego ramiona. Długość ramion na rysunku nie ma znaczenia. Pomaga porównanie z kątem prostym: kąt ostry jest od niego mniejszy, a kąt rozwarty - większy.

38.Jak narysować kąt o podanej mierze?

1. Zaznacz wierzchołek i narysuj jedno ramię. 2. Do wierzchołka przyłóż celownik kątomierza. 3. Ustaw kątomierz tak, aby ramię wskazywało $0^\circ$. 4. Odszukaj podaną miarę i zaznacz punkt. 5. Linijką połącz wierzchołek z tym punktem - to drugie ramię. 6. Zaznacz kąt łukiem i wpisz jego miarę.

39.Ile stopni mają razem dwa kąty o tych samych ramionach?

Dwie półproste o wspólnym początku tworzą dwa kąty, które razem mają $360^\circ$. Jeśli jeden z nich ma $75^\circ$, to drugi ma $360^\circ - 75^\circ = 285^\circ$.

40.Jak narysować kąt większy niż 180°?

Sposób 1: odejmij $180^\circ$, narysuj kąt półpełny i dorysuj do niego kąt o otrzymanej mierze, np. $200^\circ = 180^\circ + 20^\circ$. Sposób 2: odejmij miarę od $360^\circ$ i narysuj kąt o otrzymanej mierze, np. $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$. Drugi kąt o tych samych ramionach ma wtedy $200^\circ$.