Ułamki dziesiętne i ich porównywanie - Matematyka w punkt 4

1.Ułamek dziesiętny

Ułamki zwykłe, które mają w mianowniku liczbę 10, 100, 1000 itd., nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Możemy je zapisać z przecinkiem zamiast kreski ułamkowej, czyli w postaci dziesiętnej, np. $\frac{4}{10} = 0{,}4$, a $\frac{37}{100} = 0{,}37$. Na rysunku zamalowano 4 z 10 równych części paska, czyli $0{,}4$ paska.

2.Część całkowita i część ułamkowa

Cyfry przed przecinkiem tworzą część całkowitą (całości), a cyfry po przecinku - część ułamkową. Na przykład w liczbie $15{,}82$ część całkowita to 15, a część ułamkowa to 82 setne. Gdy liczba jest mniejsza od 1, przed przecinkiem piszemy 0, np. $0{,}82$.

3.Części dziesiąte, setne i tysięczne

Pierwsza cyfra po przecinku to cyfra części dziesiątych, druga - cyfra części setnych, a trzecia - cyfra części tysięcznych. Na rysunku liczba $5{,}284$: 5 to całości, 2 - części dziesiąte, 8 - części setne, a 4 - części tysięczne.

4.Jak czytamy ułamki dziesiętne?

Najpierw czytamy część całkowitą, potem słowo „i”, a na końcu część ułamkową z nazwą części: dziesiątych (1 cyfra po przecinku), setnych (2 cyfry) albo tysięcznych (3 cyfry). Na przykład $6{,}8$ to sześć i osiem dziesiątych, a $21{,}045$ - dwadzieścia jeden i czterdzieści pięć tysięcznych. Gdy część całkowita to 0, czytamy tylko część ułamkową: $0{,}53$ - pięćdziesiąt trzy setne.

5.Jak zapisać cyframi ułamek dziesiętny podany słowami?

Nazwa części mówi, ile cyfr ma być po przecinku: dziesiąte - 1, setne - 2, tysięczne - 3. Gdy liczba części ma mniej cyfr, puste miejsca zaraz po przecinku wypełniamy zerami. Na przykład osiem i pięć setnych to $8{,}05$, a dwanaście tysięcznych to $0{,}012$.

6.Ułamki dziesiętne na osi liczbowej

Odcinek między dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi dzielimy na 10 równych części. Każda część to $0{,}1$. Na rysunku punkt $1{,}4$ leży na czwartej kresce za liczbą 1, a punkt $2{,}6$ - na szóstej kresce za liczbą 2.

7.Jak zapisać w postaci dziesiętnej ułamek o mianowniku 10, 100 lub 1000?

Ile zer w mianowniku, tyle cyfr po przecinku. Ostatnia cyfra licznika stoi na ostatnim z tych miejsc, a brakujące miejsca zaraz po przecinku wypełniamy zerami. Na przykład $\frac{41}{100} = 0{,}41$, $\frac{6}{100} = 0{,}06$. Na rysunku: $\frac{58}{1000} = 0{,}058$.

8.Liczba mieszana w postaci dziesiętnej

Część całkowitą piszemy przed przecinkiem, a część ułamkową zamieniamy tak jak ułamek: ile zer w mianowniku, tyle cyfr po przecinku. Na przykład $5\frac{27}{100} = 5{,}27$, a $12\frac{4}{1000} = 12{,}004$.

9.Ułamek niewłaściwy w postaci dziesiętnej

Ułamek niewłaściwy zamieniamy najpierw na liczbę mieszaną, a potem zapisujemy w postaci dziesiętnej. Na przykład $\frac{29}{10} = 2\frac{9}{10} = 2{,}9$, a $\frac{347}{100} = 3\frac{47}{100} = 3{,}47$.

10.Ułamek o mianowniku innym niż 10, 100, 1000 w postaci dziesiętnej

Jeśli mianownik da się rozszerzyć albo skrócić do 10, 100, 1000 itd., rozszerzamy albo skracamy ułamek, a potem piszemy przecinek. Na przykład $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$ (licznik i mianownik mnożymy przez 2), a $\frac{18}{200} = \frac{9}{100} = 0{,}09$ (dzielimy przez 2). Ułamka takiego jak $\frac{1}{3}$ nie rozszerzymy ani nie skrócimy do mianownika 10, 100 czy 1000 - jak go zapisać, dowiesz się w kolejnych klasach.

11.Pół, ćwierć i trzy czwarte w postaci dziesiętnej

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$. Dlatego pół metra to $0{,}5$ m, a ćwierć kilograma to $0{,}25$ kg. Rysunek pokazuje pół, ćwierć i trzy czwarte koła.

12.Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Ile cyfr po przecinku, tyle zer w mianowniku. Liczbę zapisaną po przecinku (bez zer na jej początku) piszemy w liczniku, a część całkowita zostaje całościami. Na przykład $0{,}7 = \frac{7}{10}$, $0{,}031 = \frac{31}{1000}$, $4{,}09 = 4\frac{9}{100}$.

13.Skracanie po zamianie na ułamek zwykły

Jeżeli to możliwe, ułamek albo część ułamkową po zamianie skracamy. Na przykład $0{,}64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$ (licznik i mianownik dzielimy przez 4), a $3{,}5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$ (dzielimy przez 5).

14.Dopisywanie zer na końcu ułamka dziesiętnego

Dopisanie zera na końcu ułamka dziesiętnego nie zmienia jego wartości: $0{,}4 = 0{,}40 = 0{,}400$, bo $\frac{4}{10} = \frac{40}{100} = \frac{400}{1000}$. Zero wpisane zaraz za przecinkiem, przed innymi cyframi, zmienia liczbę: $0{,}04$ to cztery setne, a $0{,}4$ - cztery dziesiąte.

15.Jak porównać dwa ułamki dziesiętne?

Porównujemy po kolei: najpierw całości, potem części dziesiąte, potem części setne i tysięczne. Rozstrzyga pierwsze miejsce, na którym cyfry są różne. Gdy całości są różne, większa jest liczba o większych całościach, np. $6{,}9 < 7{,}1$. Na rysunku: $7{,}63 < 7{,}68$, bo całości i części dziesiąte są równe, a w częściach setnych $3 < 8$.

16.Porównywanie liczb o różnej liczbie cyfr po przecinku

Gdy jedna liczba ma mniej cyfr po przecinku niż druga, dopisujemy na jej końcu zera, aż obie będą miały tyle samo cyfr po przecinku. Potem porównujemy jak zwykle. Na przykład $2{,}7$ i $2{,}68$: $2{,}70 > 2{,}68$, więc $2{,}7 > 2{,}68$.

17.Czy liczba z większą liczbą cyfr po przecinku jest większa?

Nie zawsze. Liczba cyfr po przecinku nie mówi, która liczba jest większa. Na przykład $0{,}8 > 0{,}65$, bo $0{,}8 = 0{,}80$, a 80 setnych to więcej niż 65 setnych. Na osi liczbowej na rysunku $0{,}8$ leży dalej w prawo niż $0{,}65$.

18.Porządkowanie ułamków dziesiętnych rosnąco i malejąco

Rosnąco znaczy od najmniejszej liczby do największej, a malejąco - od największej do najmniejszej. Najpierw dopisujemy zera, żeby wszystkie liczby miały tyle samo cyfr po przecinku, a potem je porównujemy. Na przykład $0{,}5$; $0{,}05$; $0{,}55$ to $0{,}50$; $0{,}05$; $0{,}55$, więc rosnąco: $0{,}05 < 0{,}5 < 0{,}55$.

19.Jak znaleźć ułamek większy od jednej liczby i mniejszy od drugiej?

Dopisujemy zera na końcu obu liczb, aż zobaczymy liczby między nimi. Między $0{,}7$ a $0{,}8$ leżą np. $0{,}71$ i $0{,}79$, bo $0{,}70 < 0{,}71$ i $0{,}79 < 0{,}80$. Między $0{,}71$ a $0{,}72$ leży np. $0{,}715$, bo $0{,}710 < 0{,}715 < 0{,}720$.

20.Jak porównać ułamek zwykły z ułamkiem dziesiętnym?

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci dziesiętnej, rozszerzając go do mianownika 10, 100 lub 1000, a potem porównujemy dwa ułamki dziesiętne. Na przykład $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$, a $0{,}60 > 0{,}55$, więc $\frac{3}{5} > 0{,}55$.

21.Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenie dwumianowane to zapis wielkości, w którym pojawiają się dwie jednostki, np. 3 m 25 cm albo 8 zł 40 gr. Tę samą wielkość możemy podać jedną jednostką w postaci ułamka dziesiętnego - to zapis dziesiętny, np. 3 m 25 cm = $3{,}25$ m.

22.Ile mniejszych jednostek ma jednostka większa?

Długość: 1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 10 dm = 100 cm, 1 km = 1000 m. Masa: 1 dag = 10 g, 1 kg = 100 dag = 1000 g, 1 t = 1000 kg. Pieniądze: 1 zł = 100 gr. Stąd np. 1 mm = $0{,}1$ cm, 1 cm = $0{,}01$ m, 1 g = $0{,}001$ kg.

23.Jak zamienić wyrażenie dwumianowane na ułamek dziesiętny?

Sprawdzamy, ile mniejszych jednostek ma większa: 10, 100 czy 1000. Ile zer ma ta liczba, tyle cyfr piszemy po przecinku. Większe jednostki stoją przed przecinkiem, mniejsze - po przecinku, a puste miejsca zaraz po przecinku wypełniamy zerami. Na przykład 6 m 8 cm = $6{,}08$ m, bo 1 m = 100 cm, więc 8 cm = $0{,}08$ m.

24.Złote i grosze w postaci dziesiętnej

1 zł = 100 gr, więc 1 gr = $0{,}01$ zł, a grosze zajmują dwa miejsca po przecinku. Na przykład 12 zł 35 gr = $12{,}35$ zł, 7 zł 4 gr = $7{,}04$ zł, a 7 zł 40 gr = $7{,}40$ zł = $7{,}4$ zł.

25.Długości w postaci dziesiętnej

1 cm = 10 mm, więc milimetry zajmują jedno miejsce po przecinku: 9 cm 6 mm = $9{,}6$ cm. 1 m = 100 cm, więc centymetry zajmują dwa miejsca: 4 m 52 cm = $4{,}52$ m. 1 km = 1000 m, więc metry zajmują trzy miejsca: 3 km 70 m = $3{,}070$ km = $3{,}07$ km.

26.Masy w postaci dziesiętnej

1 kg = 100 dag, więc dekagramy zajmują dwa miejsca po przecinku: 2 kg 45 dag = $2{,}45$ kg. 1 kg = 1000 g i 1 t = 1000 kg, więc gramy w kilogramach i kilogramy w tonach zajmują trzy miejsca: 6 kg 230 g = $6{,}230$ kg = $6{,}23$ kg, 1 t 15 kg = $1{,}015$ t. 1 dag = 10 g, więc 8 dag 3 g = $8{,}3$ dag.

27.Częsty błąd: zgubione zera po przecinku

Gdy mniejszych jednostek jest mało, zaraz po przecinku trzeba wpisać zera. 9 zł 6 gr = $9{,}06$ zł, a nie $9{,}6$ zł, bo $9{,}6$ zł = 9 zł 60 gr. Tak samo 5 km 4 m = $5{,}004$ km, a nie $5{,}4$ km ani $5{,}04$ km.

28.Jak zamienić ułamek dziesiętny na wyrażenie dwumianowane?

Część całkowita to większe jednostki, a cyfry po przecinku - mniejsze. Najpierw dopisujemy zera na końcu, żeby po przecinku było tyle cyfr, ile zer ma 10, 100 albo 1000. Na rysunku: $4{,}6$ kg = $4{,}60$ kg = 4 kg 60 dag. Tak samo $2{,}3$ km = $2{,}300$ km = 2 km 300 m.

29.Ułamek mniejszy od 1 w mniejszej jednostce

Gdy część całkowita to 0, zostają same mniejsze jednostki. Dopisujemy zera na końcu i odczytujemy liczbę po przecinku bez zer z jej początku: $0{,}6$ m = $0{,}60$ m = 60 cm, $0{,}08$ zł = 8 gr, $0{,}25$ t = $0{,}250$ t = 250 kg.

30.Porównywanie wielkości zapisanych na dwa sposoby

Najpierw zapisujemy obie wielkości w ten sam sposób, np. obie w postaci dziesiętnej w tej samej jednostce, a potem je porównujemy. Na przykład 2 kg 8 dag = $2{,}08$ kg, a $2{,}08 < 2{,}10$, więc 2 kg 8 dag to mniej niż $2{,}1$ kg.