Sześciany i prostopadłościany - Matematyka w punkt 4

1.Figury płaskie i figury przestrzenne

Figury geometryczne dzielimy na płaskie (oznaczenie 2D) i przestrzenne, czyli bryły (oznaczenie 3D). Figury płaskie, np. kwadrat, prostokąt, trójkąt i koło, leżą w całości na kartce. Bryły, np. sześcian, prostopadłościan i kula, zajmują miejsce w przestrzeni - tak jak pudełko czy piłka.

2.Jak opisujemy bryłę?

Opisując bryłę, podajemy jej cechy charakterystyczne, takie jak liczba ścian, krawędzi i wierzchołków. Ściany to płaskie części powierzchni bryły - jak ścianki pudełka. Krawędź to odcinek, w którym stykają się dwie ściany. Wierzchołek to punkt, w którym schodzą się krawędzie - jak róg pudełka. Na rysunku bryły krawędzie niewidoczne rysujemy linią przerywaną.

3.Szkielet bryły z patyczków i plasteliny

Patyczki w szkielecie bryły są jej krawędziami, a kulki plasteliny - jej wierzchołkami. Potrzeba więc tyle patyczków, ile krawędzi ma bryła, i tyle kulek, ile ma wierzchołków. Na przykład na szkielet bryły, która ma 8 krawędzi i 5 wierzchołków, potrzeba 8 patyczków i 5 kulek.

4.Widoki bryły z różnych stron

Bryłę zbudowaną z klocków można oglądać z przodu, z tyłu, z góry, z dołu, z lewego i z prawego boku. Każdy widoczny klocek wygląda na widoku jak kwadrat, a klocek stojący za innym może być zasłonięty. Na przykład 3 klocki w rzędzie, a na lewym jeszcze 2 klocki, jeden na drugim: z przodu widać 5 kwadratów, z góry 3 kwadraty w rzędzie, a z prawego boku 3 kwadraty, jeden nad drugim.

5.Sześcian

Bryłę, która ma sześć jednakowych ścian będących kwadratami, nazywamy sześcianem. Kształt sześcianu ma np. kostka do gry i kostka Rubika.

6.Własności sześcianu

Sześcian ma 6 jednakowych ścian w kształcie kwadratu, 12 krawędzi równej długości i 8 wierzchołków. Z każdego wierzchołka sześcianu wychodzą 3 krawędzie.

7.Jak narysować sześcian na kartce w kratkę?

1. Narysuj dowolny kwadrat. 2. Dorysuj drugi kwadrat o boku tej samej długości, trochę przesunięty, np. w prawo i do góry. 3. Połącz odpowiednie wierzchołki obu kwadratów. 4. Krawędzie niewidoczne zaznacz linią przerywaną, np. wycierając je częściowo gumką.

8.Suma długości krawędzi sześcianu

Sześcian ma 12 krawędzi równej długości, więc sumę długości wszystkich jego krawędzi obliczamy, mnożąc długość jednej krawędzi przez 12. Na przykład dla krawędzi długości 7 cm: $7~\mathrm{cm} \cdot 12 = 84~\mathrm{cm}$.

9.Jak obliczyć długość krawędzi sześcianu, gdy znamy sumę długości krawędzi?

Podziel sumę długości wszystkich krawędzi przez 12. Na przykład gdy suma wynosi 96 cm: $96~\mathrm{cm} : 12 = 8~\mathrm{cm}$. Sprawdzenie: $8~\mathrm{cm} \cdot 12 = 96~\mathrm{cm}$.

10.Oczka na kostce do gry

Standardowa kostka do gry ma kształt sześcianu. Suma oczek na przeciwległych ściankach jest równa 7: naprzeciwko 1 jest 6, naprzeciwko 2 jest 5, a naprzeciwko 3 jest 4. Na przykład gdy na górnej ściance są 2 oczka, na dolnej jest $7 - 2 = 5$ oczek.

11.Prostopadłościan

Bryłę, która ma sześć prostokątnych ścian, nazywamy prostopadłościanem. Kształt prostopadłościanu ma np. pudełko po butach, kartonik soku albo cegła.

12.Własności prostopadłościanu

Prostopadłościan ma 6 ścian w kształcie prostokąta, 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Krawędzie tworzą 3 grupy po 4 krawędzie równej długości: 4 krawędzie długości a, 4 krawędzie długości b i 4 krawędzie długości c.

13.Ściany prostopadłościanu leżące naprzeciwko siebie

Ściany prostopadłościanu leżące naprzeciwko siebie są identyczne. Prostopadłościan ma więc 3 pary jednakowych ścian: górną i dolną, przednią i tylną oraz lewą i prawą. Górna i dolna ściana to podstawy, a pozostałe 4 ściany to ściany boczne.

14.Wymiary prostopadłościanu

Wymiary prostopadłościanu to jego długość, szerokość i wysokość. Zapisujemy je np. tak: $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$. Są to długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka, a każda z pozostałych krawędzi ma jedną z tych trzech długości.

15.Czy sześcian jest prostopadłościanem?

Tak. Każdy kwadrat jest prostokątem, więc sześcian ma sześć prostokątnych ścian. Dlatego każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem.

16.Prostopadłościan z kwadratowymi podstawami

Podstawy prostopadłościanu mogą mieć kształt kwadratu. Na przykład prostopadłościan $3~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm} \times 7~\mathrm{cm}$ ma 2 kwadratowe ściany $3~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ i 4 jednakowe prostokątne ściany $3~\mathrm{cm} \times 7~\mathrm{cm}$. Nie jest sześcianem, bo nie wszystkie jego krawędzie mają równą długość.

17.Suma długości krawędzi prostopadłościanu - sposób 1

Najpierw pomnóż przez 4 długość każdej z trzech różnych krawędzi, a potem dodaj otrzymane iloczyny. Na przykład dla prostopadłościanu $7~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm}$: $7~\mathrm{cm} \cdot 4 = 28~\mathrm{cm}$, $2~\mathrm{cm} \cdot 4 = 8~\mathrm{cm}$, $5~\mathrm{cm} \cdot 4 = 20~\mathrm{cm}$, a $28~\mathrm{cm} + 8~\mathrm{cm} + 20~\mathrm{cm} = 56~\mathrm{cm}$.

18.Suma długości krawędzi prostopadłościanu - sposób 2

Najpierw dodaj długości trzech różnych krawędzi, a potem pomnóż otrzymaną sumę przez 4. Dla prostopadłościanu $7~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm}$: $7~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm} + 5~\mathrm{cm} = 14~\mathrm{cm}$, a $14~\mathrm{cm} \cdot 4 = 56~\mathrm{cm}$. Oba sposoby dają ten sam wynik.

19.Wymiary w różnych jednostkach

Zanim obliczysz sumę długości krawędzi albo pole powierzchni, zamień wszystkie wymiary na tę samą jednostkę. Na przykład dla prostopadłościanu $4~\mathrm{cm} \times 30~\mathrm{mm} \times 1~\mathrm{dm}$: $30~\mathrm{mm} = 3~\mathrm{cm}$ i $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$. Suma trzech wymiarów: $4~\mathrm{cm} + 3~\mathrm{cm} + 10~\mathrm{cm} = 17~\mathrm{cm}$, a suma długości krawędzi: $17~\mathrm{cm} \cdot 4 = 68~\mathrm{cm}$.

20.Jak obliczyć trzeci wymiar prostopadłościanu, gdy znamy sumę długości krawędzi?

Podziel sumę długości wszystkich krawędzi przez 4 - otrzymasz sumę trzech wymiarów. Potem odejmij od niej oba znane wymiary. Na przykład suma krawędzi to 60 cm, a dwa wymiary to 4 cm i 5 cm: $60 : 4 = 15$, a $15 - 4 - 5 = 6$, więc trzeci wymiar to 6 cm.

21.Siatka bryły

Siatka bryły powstaje poprzez rozcięcie niektórych jej krawędzi (tak, żeby żadna ze ścian nie odpadła) i rozłożenie ścian płasko.

22.Siatka prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu składa się z 6 prostokątów - po 2 jednakowe dla każdej pary przeciwległych ścian. Na przykład siatka prostopadłościanu $2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm}$ ma po 2 prostokąty o wymiarach $2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$, $2~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm}$ i $3~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm}$.

23.Siatka sześcianu

Siatka sześcianu składa się z 6 jednakowych kwadratów. Bok każdego kwadratu jest równy krawędzi sześcianu, np. siatka sześcianu o krawędzi 3 cm to 6 kwadratów o boku 3 cm.

24.Jak narysować siatkę prostopadłościanu?

1. Narysuj w jednym pasie 4 ściany boczne: prostokąty o wysokości bryły, na przemian o szerokości równej jej długości i szerokości. 2. Nad pasem i pod pasem dorysuj dwie podstawy - każda przylega do prostokąta pasa bokiem tej samej długości. 3. Jeśli chcesz skleić model, dorysuj skrzydełka. Na przykład dla prostopadłościanu $4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ pas ma wysokość 3 cm, prostokąty mają szerokość 4 cm, 2 cm, 4 cm i 2 cm, a podstawy mają wymiary $4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$.

25.Różne siatki tego samego prostopadłościanu

Siatki tego samego prostopadłościanu albo sześcianu mogą mieć różne kształty. Zależy to od tego, które krawędzie rozetniemy. Każda taka siatka składa się jednak z tych samych 6 ścian.

26.Które ściany siatki leżą po złożeniu naprzeciwko siebie?

Gdy w siatce 4 ściany leżą w jednym pasie, jedna obok drugiej, to po złożeniu pierwsza ściana pasa leży naprzeciwko trzeciej, a druga - naprzeciwko czwartej. Dwie pozostałe ściany, dorysowane nad pasem i pod pasem, to podstawy - też leżą naprzeciwko siebie. W każdej siatce ściany przeciwległe nie mają wspólnego boku.

27.Czy każde 6 kwadratów tworzy siatkę sześcianu?

Nie. Siatką sześcianu jest tylko taki układ 6 kwadratów, który po złożeniu zakrywa bryłę ze wszystkich stron. Na przykład 6 kwadratów w jednym rzędzie nie jest siatką: 4 pierwsze tworzą ściany boczne, a 5. i 6. nakładają się na 1. i 2., więc góra i dół zostają odkryte.

28.Długości boków w siatce prostopadłościanu

Każdy bok prostokąta w siatce jest krawędzią prostopadłościanu, więc ma długość równą jednemu z wymiarów bryły. Boki, które po złożeniu tworzą jedną krawędź, mają równe długości. Dzięki temu brakujące długości w siatce odczytasz z boków, które są już opisane.

29.Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian, czyli suma pól 6 prostokątów jego siatki. Wynik podajemy w jednostkach pola, np. w $\mathrm{cm^2}$.

30.Pole powierzchni sześcianu

Wystarczy: 1. obliczyć pole jednej ściany, 2. pomnożyć wynik przez 6. Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a obliczamy więc ze wzoru $P = 6 \cdot a^2$, gdzie $a^2$ oznacza $a \cdot a$ (a nie $2 \cdot a$). Na przykład dla krawędzi 5 cm: $5~\mathrm{cm} \cdot 5~\mathrm{cm} = 25~\mathrm{cm^2}$, a $25~\mathrm{cm^2} \cdot 6 = 150~\mathrm{cm^2}$.

31.Pole powierzchni prostopadłościanu - sposób 1

Oblicz pole ściany każdego rodzaju. Pomnóż każdy z wyników przez 2, a następnie dodaj otrzymane iloczyny. Na przykład dla prostopadłościanu $2~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm} \times 6~\mathrm{cm}$ pola ścian to $10~\mathrm{cm^2}$, $12~\mathrm{cm^2}$ i $30~\mathrm{cm^2}$, a $2 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 30 = 20 + 24 + 60 = 104$, czyli $104~\mathrm{cm^2}$.

32.Pole powierzchni prostopadłościanu - sposób 2

Oblicz pole ściany każdego rodzaju. Dodaj do siebie obliczone pola, a następnie pomnóż otrzymaną sumę przez 2. Dla prostopadłościanu $2~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm} \times 6~\mathrm{cm}$: $10 + 12 + 30 = 52$, a $2 \cdot 52 = 104$, czyli pole powierzchni to $104~\mathrm{cm^2}$.

33.Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c można obliczyć ze wzoru $P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$. Na przykład dla krawędzi 1 cm, 3 cm i 4 cm: $P = 2 \cdot (3 + 4 + 12) = 2 \cdot 19 = 38$, czyli $38~\mathrm{cm^2}$.

34.Jak obliczyć krawędź sześcianu, gdy znamy jego pole powierzchni?

Podziel pole powierzchni przez 6 - otrzymasz pole jednej ściany. Potem znajdź liczbę, która pomnożona przez siebie daje to pole. Na przykład dla pola $54~\mathrm{cm^2}$: $54 : 6 = 9$, a $3 \cdot 3 = 9$, więc krawędź ma długość 3 cm.

35.Pole powierzchni sześcianu, gdy znamy sumę długości krawędzi

Najpierw podziel sumę długości krawędzi przez 12 - otrzymasz długość jednej krawędzi. Potem oblicz pole jednej ściany i pomnóż je przez 6. Na przykład gdy suma wynosi 120 cm: $120 : 12 = 10$, więc krawędź ma 10 cm, ściana ma pole $100~\mathrm{cm^2}$, a pole powierzchni to $6 \cdot 100~\mathrm{cm^2} = 600~\mathrm{cm^2}$.

36.Suma długości krawędzi a pole powierzchni

Sumę długości krawędzi podajemy w jednostkach długości (np. cm), a pole powierzchni w jednostkach pola (np. $\mathrm{cm^2}$). Sześcian o krawędzi 3 cm ma sumę długości krawędzi $3~\mathrm{cm} \cdot 12 = 36~\mathrm{cm}$ i pole powierzchni $6 \cdot 9~\mathrm{cm^2} = 54~\mathrm{cm^2}$. To dwie różne wielkości, mierzone w różnych jednostkach.