Pole figury i pole prostokąta - Matematyka w punkt 4

1.Pole figury

Pole figury to miara, która mówi, ile miejsca zajmuje ta figura, np. na kartce papieru. Im więcej miejsca zajmuje figura, tym większe ma pole.

2.Jak wyznaczyć pole wielokąta?

1. Wybierz jednostkę pola, np. jedną kratkę. 2. Policz, z ilu takich jednostek składa się wielokąt. Wielokąt na rysunku ma w dolnym rzędzie 4 kratki, w środkowym 3 kratki, a w górnym 1 kratkę. Razem to $4 + 3 + 1 = 8$ kratek, więc jego pole jest równe 8 jednostek.

3.Jednostka pola

Za jednostkę pola można przyjąć dowolną figurę, np. kratkę, połowę kratki albo prostokąt z dwóch kratek. Pole tej samej figury wyrażone w różnych jednostkach to różne liczby. Figura z 6 kratek ma pole 6 kratek, ale aż 12 połówek kratki, bo w każdej kratce mieszczą się 2 połówki.

4.Jak porównać pola dwóch figur?

Aby porównać pola dwóch figur, trzeba wyrazić je w tej samej jednostce. Na przykład figura A ma pole 10 kratek, a figura B - 14 połówek kratki, czyli $14 : 2 = 7$ kratek. Większe pole ma figura A, choć liczba 14 jest większa niż 10.

5.Czy figury o różnych kształtach mogą mieć równe pola?

Tak. Pole zależy od tego, ile jednostek mieści się w figurze, a nie od jej kształtu. Na przykład figura w kształcie litery L z 7 kratek i pas z 7 kratek ułożonych w jednym rzędzie mają równe pola - po 7 kratek.

6.Pole figury z połówkami kratek

Dwie połówki kratki (np. dwa trójkąty z kratki przeciętej po przekątnej) zajmują tyle miejsca co jedna cała kratka. Policz całe kratki, a połówki połącz w pary - każda para to jedna kratka. Na przykład 5 całych kratek i 4 połówki to $5 + 2 = 7$ kratek.

7.Podstawowe jednostki pola

Podstawowe jednostki pola to $1~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{dm^2}$, $1~\mathrm{m^2}$ i $1~\mathrm{km^2}$. Każda z nich to pole kwadratu o boku długości 1 jednostki długości. Na przykład $1~\mathrm{cm^2}$ to pole kwadratu o boku długości 1 cm, a $1~\mathrm{m^2}$ - pole kwadratu o boku długości 1 m.

8.Jak czytamy jednostki pola?

$1~\mathrm{mm^2}$ czytamy: jeden milimetr kwadratowy, $1~\mathrm{cm^2}$ - jeden centymetr kwadratowy, $1~\mathrm{dm^2}$ - jeden decymetr kwadratowy, $1~\mathrm{m^2}$ - jeden metr kwadratowy, a $1~\mathrm{km^2}$ - jeden kilometr kwadratowy.

9.Jak wybrać jednostkę pola?

Wybór jednostki pola zależy od wielkości mierzonej powierzchni. Bardzo małe powierzchnie (np. główkę od szpilki) podajemy w $\mathrm{mm^2}$, okładkę zeszytu w $\mathrm{cm^2}$, podłogę pokoju w $\mathrm{m^2}$, a powierzchnię miasta w $\mathrm{km^2}$.

10.Pole figury na kratkach o boku 1 cm

Kratka o wymiarach 1 cm na 1 cm ma pole $1~\mathrm{cm^2}$. Dlatego pole figury narysowanej na takich kratkach, wyrażone w $\mathrm{cm^2}$, to liczba kratek, z których składa się ta figura. Na przykład figura z 11 kratek ma pole $11~\mathrm{cm^2}$.

11.Długość a pole

Długość (np. boku, trasy) podajemy w jednostkach długości: mm, cm, dm, m, km. Pole podajemy w jednostkach pola: $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{m^2}$, $\mathrm{km^2}$. Na przykład ścieżka w parku ma długość 3 km, a cały park ma powierzchnię $5~\mathrm{km^2}$.

12.Pole prostokąta ułożonego z kwadratów

Prostokąt ułożony z kwadratów o boku 1 cm ma tyle $\mathrm{cm^2}$, ile ma kwadratów. Nie trzeba liczyć ich po kolei: mnożymy liczbę rzędów przez liczbę kwadratów w rzędzie. Prostokąt na rysunku ma 3 rzędy po 4 kwadraty, więc jego pole to $3 \cdot 4 = 12$ kwadratów, czyli $12~\mathrm{cm^2}$.

13.Wzór na pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach długości a i b obliczamy ze wzoru $P = a \cdot b$, czyli mnożymy długości dwóch sąsiednich boków. Wynik podajemy w jednostkach pola, np. $7~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm} = 28~\mathrm{cm^2}$, bo centymetr razy centymetr daje centymetr kwadratowy.

14.Wzór na pole kwadratu

Kwadrat jest prostokątem, którego wszystkie boki mają równe długości. Dlatego pole kwadratu o boku długości a obliczamy ze wzoru $P = a \cdot a$ lub $P = a^2$. Na przykład kwadrat o boku 10 m ma pole $10~\mathrm{m} \cdot 10~\mathrm{m} = 100~\mathrm{m^2}$. Pamiętaj: $a^2$ to $a \cdot a$, a nie $2 \cdot a$.

15.Boki prostokąta w tych samych jednostkach

Przed obliczeniem pola wyraź oba boki w tej samej jednostce. Na przykład prostokąt ma boki 5 cm i 40 mm: $40~\mathrm{mm} = 4~\mathrm{cm}$, więc $P = 5~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm} = 20~\mathrm{cm^2}$. Mnożenie $5 \cdot 40 = 200$ bez zamiany jednostek daje zły wynik.

16.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy jego pole?

Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie daje pole. Pomaga w tym tabliczka mnożenia. Na przykład kwadrat o polu $16~\mathrm{cm^2}$ ma bok długości 4 cm, bo $4~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm} = 16~\mathrm{cm^2}$.

17.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy pole?

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków, więc drugi bok obliczamy, dzieląc pole przez znany bok. Na przykład prostokąt o polu $24~\mathrm{cm^2}$ i boku 8 cm ma drugi bok długości 3 cm, bo $24 : 8 = 3$. Sprawdzenie: $8~\mathrm{cm} \cdot 3~\mathrm{cm} = 24~\mathrm{cm^2}$.

18.Obwód a pole prostokąta

Obwód to suma długości wszystkich boków - podajemy go w jednostkach długości. Pole to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków - podajemy je w jednostkach pola. Prostokąt o bokach 5 cm i 3 cm ma obwód $5 + 3 + 5 + 3 = 16$ cm i pole $5 \cdot 3 = 15~\mathrm{cm^2}$.

19.Pole kwadratu, gdy znamy jego obwód

Kwadrat ma 4 boki równej długości, więc najpierw dzielimy obwód przez 4 i otrzymujemy długość boku. Potem obliczamy pole. Na przykład kwadrat o obwodzie 28 cm ma bok $28 : 4 = 7$ cm, a pole $7~\mathrm{cm} \cdot 7~\mathrm{cm} = 49~\mathrm{cm^2}$.

20.Pole prostokąta, gdy znamy obwód i jeden bok

Obwód prostokąta to dwa razy jeden bok i dwa razy drugi bok. Od obwodu odejmij dwa razy znany bok, a wynik podziel przez 2 - to długość drugiego boku. Potem pomnóż długości boków. Na przykład obwód 30 cm i bok 6 cm: $30 - 6 - 6 = 18$, $18 : 2 = 9$, więc drugi bok ma 9 cm, a pole $6 \cdot 9 = 54~\mathrm{cm^2}$.

21.Pole wielokąta złożonego z prostokątów

Wielokąt dzielimy na prostokąty, obliczamy pole każdego z nich i dodajemy wyniki. Figurę na rysunku (kratka ma bok 1 cm) można podzielić na prostokąt 5 cm na 2 cm i prostokąt 2 cm na 2 cm. Jej pole to $5 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 10 + 4 = 14~\mathrm{cm^2}$.

22.Dlaczego $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$?

Zależności między jednostkami pola wynikają z zależności między jednostkami długości. 1 cm = 10 mm, więc $1~\mathrm{cm^2} = 1~\mathrm{cm} \cdot 1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm} \cdot 10~\mathrm{mm} = 100~\mathrm{mm^2}$. W kwadracie o boku 1 cm mieści się 10 rzędów po 10 kwadracików o boku 1 mm.

23.Zależności między jednostkami pola

$1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{dm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{km^2} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$. Na przykład $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{cm} \cdot 100~\mathrm{cm} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, a $1~\mathrm{km^2} = 1000~\mathrm{m} \cdot 1000~\mathrm{m} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$.

24.Zamiana na mniejszą jednostkę pola

Większą jednostkę zamieniamy na mniejszą przez mnożenie. Zapisz liczbę razy 1 jednostkę i wstaw zależność. Na przykład $8~\mathrm{dm^2} = 8 \cdot 1~\mathrm{dm^2} = 8 \cdot 100~\mathrm{cm^2} = 800~\mathrm{cm^2}$, a $3~\mathrm{km^2} = 3 \cdot 1\,000\,000~\mathrm{m^2} = 3\,000\,000~\mathrm{m^2}$.

25.Zamiana na większą jednostkę pola

Mniejszą jednostkę zamieniamy na większą przez dzielenie. Sprawdź, ile razy w liczbie mieści się zależność. Na przykład $900~\mathrm{mm^2} = 9 \cdot 100~\mathrm{mm^2} = 9 \cdot 1~\mathrm{cm^2} = 9~\mathrm{cm^2}$, a $50\,000~\mathrm{cm^2} = 5 \cdot 10\,000~\mathrm{cm^2} = 5~\mathrm{m^2}$.

26.Schodki jednostek pola

Jednostki pola od największej: $\mathrm{km^2}$, $\mathrm{m^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{mm^2}$. Schodząc w dół (na mniejszą jednostkę), mnożymy, a wchodząc w górę (na większą), dzielimy. Między $\mathrm{m^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{cm^2}$ i $\mathrm{mm^2}$ każdy stopień to 100, z $\mathrm{m^2}$ na $\mathrm{cm^2}$ - 10 000, a między $\mathrm{km^2}$ i $\mathrm{m^2}$ - 1 000 000. Na przykład $4~\mathrm{m^2} = 400~\mathrm{dm^2}$, a $2500~\mathrm{cm^2} = 25~\mathrm{dm^2}$.

27.Typowy błąd: zamiana pola jak długości

Przy długości 1 cm = 10 mm, ale przy polu $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$. Błędem jest mnożenie lub dzielenie pola przez 10 tak jak długości. Na przykład $7~\mathrm{cm^2} = 700~\mathrm{mm^2}$, a nie $70~\mathrm{mm^2}$. Podobnie 1 m = 100 cm, ale $1~\mathrm{m^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$.

28.Porównywanie pól wyrażonych w różnych jednostkach

Aby porównać pola wyrażone w różnych jednostkach, zamień je na tę samą jednostkę. Na przykład $2~\mathrm{m^2}$ i $15\,000~\mathrm{cm^2}$: $2~\mathrm{m^2} = 20\,000~\mathrm{cm^2}$, a $20\,000 > 15\,000$, więc większe jest $2~\mathrm{m^2}$, choć liczba 2 jest mniejsza.

29.Ar i hektar

Powierzchnię gruntu (np. działki, pola uprawnego) najczęściej wyrażamy w arach (a) i hektarach (ha). Jeden ar to pole kwadratu o boku długości 10 m, czyli $1~\mathrm{a} = 10~\mathrm{m} \cdot 10~\mathrm{m} = 100~\mathrm{m^2}$. Jeden hektar to pole kwadratu o boku długości 100 m, czyli $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{m} \cdot 100~\mathrm{m} = 10\,000~\mathrm{m^2}$.