Mnożenie i dzielenie ułamków - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Jak obliczyć ułamek ułamka?

Ułamek ułamka obliczamy mnożeniem. Np. $\frac{1}{2}$ z $\frac{3}{4}$ paska to $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ paska. Na rysunku zamalowano $\frac{3}{4}$ paska, a obok połowę tej części, czyli $\frac{3}{8}$ paska.

2.Mnożenie ułamków zwykłych

Mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Np. $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{8}{35}$. Przy mnożeniu nie szukamy wspólnego mianownika i nie dodajemy mianowników.

3.Skracanie przed mnożeniem

Przed pomnożeniem skracamy, jeśli to możliwe: liczbę z licznika i liczbę z mianownika dzielimy przez tę samą liczbę. Mogą być w tym samym ułamku albo w różnych. Np. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$, bo 4 i 10 skracamy przez 2, a 3 i 9 przez 3.

4.Jak rozpoznać, przez co skracać?

Szukamy liczby, przez którą dzieli się liczba z licznika i liczba z mianownika. Pomaga: ta sama liczba ($\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{5}$ - skracamy 8 z 8), cechy podzielności ($\frac{1}{15} \cdot \frac{25}{7}$ - 15 i 25 przez 5), tabliczka mnożenia ($\frac{7}{18} \cdot \frac{24}{11}$ - 18 i 24 przez 6) albo to, że jedna liczba dzieli się przez drugą ($\frac{5}{13} \cdot \frac{39}{4}$ - 39 i 13 przez 13).

5.Kiedy nie wolno skracać?

Skracamy tylko przy mnożeniu i zawsze liczbę z licznika z liczbą z mianownika. Nie skracamy w dodawaniu ($\frac{3}{8} + \frac{8}{5}$), nie skracamy licznika z licznikiem ani mianownika z mianownikiem ($\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{8}$ - nie skracamy 5 z 5 ani 4 z 8). W liczbie mieszanej najpierw zamieniamy ją na ułamek: $2\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9} = \frac{19}{8} \cdot \frac{8}{9}$, i dopiero wtedy skracamy.

6.Jak pomnożyć liczby mieszane?

Najpierw zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, potem skracamy i mnożymy. Wynik zapisujemy w postaci nieskracalnej i wyłączamy całości. Np. $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 4$. Błędem jest mnożenie samych całości i samych ułamków: $1 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 2\frac{1}{3}$ to zły wynik.

7.Sprytne mnożenie ułamka przez liczbę mieszaną

Liczba mieszana to suma całości i ułamka. Ułamek mnożymy osobno przez całości i osobno przez ułamek, a wyniki dodajemy. Np. $\frac{1}{3} \cdot 6\frac{3}{7} = \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = 2 + \frac{1}{7} = 2\frac{1}{7}$. Ten sposób jest wygodny, gdy całości łatwo pomnożyć przez ułamek.

8.Odwrotność liczby

Jeśli iloczyn dwóch liczb jest równy 1, to jedna z tych liczb jest odwrotnością drugiej. Np. $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = 1$, więc $\frac{8}{3}$ jest odwrotnością liczby $\frac{3}{8}$, a $\frac{3}{8}$ jest odwrotnością liczby $\frac{8}{3}$.

9.Jak znaleźć odwrotność ułamka?

Zamieniamy miejscami licznik i mianownik. Np. odwrotnością liczby $\frac{5}{9}$ jest $\frac{9}{5}$, a odwrotnością liczby $\frac{11}{2}$ jest $\frac{2}{11}$.

10.Odwrotność liczby naturalnej

Liczbę naturalną zapisujemy jako ułamek o mianowniku 1 i zamieniamy miejscami licznik i mianownik. Np. $4 = \frac{4}{1}$, więc odwrotnością liczby 4 jest $\frac{1}{4}$. I odwrotnie: odwrotnością liczby $\frac{1}{10}$ jest $\frac{10}{1}$, czyli 10.

11.Odwrotność liczby mieszanej

Aby znaleźć odwrotność liczby mieszanej, trzeba najpierw zamienić tę liczbę na ułamek niewłaściwy. Potem zamieniamy miejscami licznik i mianownik. Np. $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$, więc odwrotnością liczby $3\frac{1}{4}$ jest $\frac{4}{13}$.

12.Odwrotność liczby 1 i liczby 0

Odwrotnością liczby 1 jest 1, bo $1 \cdot 1 = 1$. Liczba 0 nie ma odwrotności, bo 0 pomnożone przez dowolną liczbę daje 0, a nie 1.

13.Czy odwrotność liczby jest od niej większa, czy mniejsza?

Odwrotność ułamka właściwego o liczniku większym od 0, np. $\frac{2}{5}$, jest większa od 1, więc jest większa od tego ułamka: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$. Odwrotność liczby większej od 1, np. 3 albo $\frac{7}{4}$, jest mniejsza od 1, więc jest mniejsza od tej liczby: $\frac{1}{3}$ i $\frac{4}{7}$. Odwrotność liczby 1 jest jej równa.

14.Co oznacza dzielenie przez ułamek?

Dzielenie przez ułamek mówi, ile porcji tej wielkości mieści się w danej liczbie. Np. dwie pizze pokrojone na porcje po $\frac{1}{4}$ pizzy dają 8 porcji, więc $2 : \frac{1}{4} = 8$. Na rysunku każda pizza ma 4 porcje.

15.Dzielenie ułamków

Dzielenie przez liczbę można zastąpić mnożeniem przez odwrotność tej liczby. Dzielną przepisujemy, znak dzielenia zamieniamy na znak mnożenia, a dzielnik - na jego odwrotność. Np. $\frac{2}{5} : \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$.

16.Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek

Liczbę naturalną mnożymy przez odwrotność ułamka i skracamy, jeśli to możliwe. Np. $4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6$ (4 i 2 skracamy przez 2). Gdy liczbę różną od zera dzielimy przez ułamek właściwy, wynik jest większy od dzielnej.

17.Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną

Mnożymy ułamek przez odwrotność liczby naturalnej. Np. $\frac{3}{7} : 2 = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{14}$. Gdy licznik dzieli się przez tę liczbę bez reszty, można od razu podzielić licznik: $\frac{8}{9} : 4 = \frac{2}{9}$.

18.Skracanie przy dzieleniu ułamków

Po zamianie dzielenia na mnożenie przez odwrotność sprawdzamy, czy ułamki można skrócić. Skracamy dopiero po tej zamianie. Np. $\frac{8}{9} : \frac{10}{27} = \frac{8}{9} \cdot \frac{27}{10} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$ (8 i 10 skracamy przez 2, a 27 i 9 przez 9).

19.Jak podzielić liczby mieszane?

Najpierw zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe. Potem dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika, skracamy i mnożymy. Np. $2\frac{1}{4} : 1\frac{1}{2} = \frac{9}{4} : \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

20.Jak obliczyć, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej?

Dzielimy większą liczbę przez mniejszą. Np. $2\frac{1}{4}$ kg to $2\frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} = 3$ razy więcej niż $\frac{3}{4}$ kg. Odejmowanie mówi, o ile więcej: $2\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = 1\frac{1}{2}$ kg.

21.Kiedy potrzebny jest wspólny mianownik, a kiedy zamiana liczb mieszanych na ułamki?

Przy dodawaniu i odejmowaniu potrzebny jest wspólny mianownik, a liczb mieszanych nie trzeba zamieniać na ułamki niewłaściwe. Przy mnożeniu i dzieleniu jest odwrotnie: wspólny mianownik jest niepotrzebny, a liczby mieszane trzeba zamienić na ułamki niewłaściwe.

22.Potęgowanie ułamków

Potęga ułamka to iloczyn jednakowych czynników: wykładnik mówi, ile razy ułamek mnożymy przez siebie. Do potęgi podnosimy i licznik, i mianownik. Np. $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$, a $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

23.Dlaczego ułamek podnoszony do potęgi piszemy w nawiasie?

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, a potęgowanie wykonujemy przed dzieleniem. Bez nawiasu do potęgi podnosimy więc tylko licznik. Np. $\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$, ale $\frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}$.

24.Jak obliczyć serię mnożeń i dzieleń ułamków?

1. Zamieniamy liczby mieszane na ułamki. 2. Każde dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność. 3. Zapisujemy całe działanie pod jedną kreską ułamkową. 4. Skracamy. 5. Obliczamy wynik. Np. $1\frac{1}{2} : \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{5}$.

25.Kolejność wykonywania działań na ułamkach

Najpierw obliczamy wyrażenia w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Np. $2\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = 2\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2$, bo mnożenie wykonujemy przed odejmowaniem.