Skracanie, porównywanie, dodawanie i odejmowanie ułamków - Matematyka w punkt 4

1.Różne ułamki - ta sama część całości

Tę samą część całości można opisać różnymi ułamkami. Na rysunku pierwsze koło podzielono na 3 równe części i zamalowano 1, a takie samo koło - na 6 części i zamalowano 2. Zamalowano tyle samo, więc $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

2.Rozszerzanie ułamka

Rozszerzanie ułamka to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0. Wartość ułamka się nie zmienia. Na przykład $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

3.Skracanie ułamka

Skracanie ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0. Wartość ułamka się nie zmienia. Na przykład $\frac{10}{15} = \frac{10 : 5}{15 : 5} = \frac{2}{3}$.

4.Jak rozszerzyć ułamek do danego mianownika?

Dzielimy nowy mianownik przez stary - tak dowiemy się, przez jaką liczbę rozszerzyć ułamek. Potem mnożymy przez nią licznik. Na przykład $\frac{3}{4}$ do mianownika 20: $20 : 4 = 5$, a $3 \cdot 5 = 15$, więc $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$.

5.Jak rozszerzyć ułamek do danego licznika?

Dzielimy nowy licznik przez stary, a potem mnożymy przez otrzymaną liczbę mianownik. Na przykład $\frac{2}{7}$ do licznika 10: $10 : 2 = 5$, a $7 \cdot 5 = 35$, więc $\frac{2}{7} = \frac{10}{35}$.

6.Kiedy nie da się rozszerzyć ułamka do danego mianownika?

Ułamek da się rozszerzyć do danego mianownika tylko wtedy, gdy nowy mianownik dzieli się bez reszty przez stary mianownik. Na przykład $\frac{2}{5}$ nie rozszerzymy do mianownika 12, bo 12 nie dzieli się przez 5. Tak samo nowy licznik musi dzielić się przez stary licznik.

7.Ułamek nieskracalny

Każdy ułamek możemy rozszerzyć, ale nie każdy możemy skrócić. Ułamek nieskracalny to taki, którego nie da się skrócić: jego licznik i mianownik nie dzielą się jednocześnie przez żadną liczbę większą od 1. Na przykład $\frac{4}{9}$ i $\frac{7}{10}$ są nieskracalne.

8.Jak zapisać ułamek w postaci nieskracalnej?

Skracamy ułamek tak długo, aż nie da się go już skrócić. Można skracać w kilku krokach albo od razu przez większą liczbę. Na przykład $\frac{18}{42} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ (najpierw przez 2, potem przez 3) albo od razu przez 6.

9.Część grupy jako ułamek nieskracalny

Najpierw zapisujemy ułamek: w liczniku liczba wybranych, w mianowniku liczba wszystkich. Potem skracamy go do postaci nieskracalnej. Na przykład z 30 jabłek zjedzono 12, więc zjedzono $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ jabłek, a zostało $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ jabłek.

10.Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach

Jeżeli dwa ułamki mają jednakowe mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik. Na przykład $\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$, bo $7 > 4$ - na rysunku zamalowano więcej takich samych części.

11.Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach

Jeżeli dwa ułamki mają jednakowe liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik. Na przykład $\frac{2}{5} > \frac{2}{9}$: gdy całość dzielimy na mniej części, każda część jest większa.

12.Porównywanie liczb mieszanych

Gdy części całkowite są różne, większa jest liczba mieszana z większą częścią całkowitą, np. $4\frac{1}{6} > 2\frac{5}{6}$. Gdy części całkowite są takie same, większa jest liczba z większą częścią ułamkową, np. $5\frac{2}{9} < 5\frac{7}{9}$.

13.Który ułamek leży bliżej liczby 1?

Gdy w obu ułamkach licznik jest o 1 mniejszy od mianownika, sprawdzamy na osi liczbowej, który leży bliżej 1. Większy jest ten z większym mianownikiem. Na przykład $\frac{3}{4} < \frac{7}{8}$, bo do 1 brakuje im $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{8}$, a $\frac{1}{8}$ to mniej niż $\frac{1}{4}$.

14.Porównywanie ułamków na rysunku

Gdy ułamki mają różne liczniki i różne mianowniki, możemy narysować dwie jednakowe figury lub odcinki i zaznaczyć na nich oba ułamki. Na rysunku widać, że $\frac{3}{5}$ paska to więcej niż $\frac{1}{2}$ takiego samego paska, więc $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$.

15.Komu zostało więcej do zrobienia?

Kto wykonał większą część pracy, temu zostało mniej. Na przykład Ola przeczytała $\frac{4}{5}$ książki, a Ewa $\frac{4}{7}$ takiej samej książki. $\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$, więc Ola przeczytała więcej, a Ewie zostało więcej stron do przeczytania.

16.Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach

Aby dodać ułamki o jednakowych mianownikach, dodajemy ich liczniki, a mianownik przepisujemy. Mianowników nie dodajemy. Na przykład $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$. Tak samo dodajemy kilka ułamków: $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$.

17.Najprostsza postać wyniku

Wynik podajemy w najprostszej postaci. Gdy wyjdzie ułamek niewłaściwy, wyłączamy całości, a ułamek skracamy, aż będzie nieskracalny. Na przykład $\frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{12}{10} = 1\frac{2}{10} = 1\frac{1}{5}$.

18.Dodawanie liczb mieszanych

Dodajemy osobno całości i osobno części ułamkowe o jednakowych mianownikach. Na przykład $3\frac{1}{7} + 2\frac{4}{7} = 5\frac{5}{7}$, bo $3 + 2 = 5$, a $\frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5}{7}$.

19.Gdy suma części ułamkowych jest ułamkiem niewłaściwym

Wyłączamy z niego całości i dodajemy je do części całkowitej, a potem skracamy część ułamkową. Na przykład $2\frac{5}{8} + 1\frac{7}{8} = 3\frac{12}{8} = 4\frac{4}{8} = 4\frac{1}{2}$.

20.Gdy suma jest liczbą całkowitą

Gdy w wyniku licznik jest równy mianownikowi, otrzymujemy całość. Na przykład $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1$, a $1\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5} = 3\frac{5}{5} = 4$.

21.Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach

Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach, odejmujemy ich liczniki, a mianownik przepisujemy. Wynik podajemy w najprostszej postaci. Na przykład $\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

22.Jak odjąć ułamek od 1 albo od liczby całkowitej?

Całość zamieniamy na ułamek niewłaściwy o takim mianowniku jak mianownik odjemnika: $1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$. Gdy odejmujemy od większej liczby, na ułamek zamieniamy tylko jedną całość, a reszta zostaje: $4 = 3\frac{7}{7}$, więc $4 - \frac{2}{7} = 3\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 3\frac{5}{7}$.

23.Odejmowanie liczb mieszanych

Odejmujemy osobno całości i osobno części ułamkowe, a wynik zapisujemy w najprostszej postaci. Na przykład $6\frac{5}{9} - 2\frac{2}{9} = 4\frac{3}{9} = 4\frac{1}{3}$.

24.Gdy nie można odjąć części ułamkowych - włączamy całość

Gdy część ułamkowa odjemnej jest mniejsza od części ułamkowej odjemnika, włączamy jedną całość odjemnej do jej części ułamkowej. Na przykład $4\frac{2}{7} - 1\frac{5}{7} = 3\frac{9}{7} - 1\frac{5}{7} = 2\frac{4}{7}$, bo $4\frac{2}{7} = 3 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$.

25.Odejmowanie przez zamianę na ułamki niewłaściwe

Liczbę mieszaną można też zamienić na ułamek niewłaściwy i odjąć liczniki. Na przykład $1\frac{2}{9} - \frac{5}{9} = \frac{11}{9} - \frac{5}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

26.Jaka część całości została?

Całość to 1, czyli ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi. Od całości odejmujemy sumę znanych części. Na przykład warzywa zajmują $\frac{5}{12}$ ogródka, a kwiaty $\frac{4}{12}$. Trawnik zajmuje resztę, czyli $1 - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ogródka.

27.O ile więcej? O ile cięższy?

Tak jak przy liczbach naturalnych, od większej liczby odejmujemy mniejszą. Na przykład arbuz waży $3\frac{3}{4}$ kg, a melon $1\frac{1}{4}$ kg, więc arbuz jest cięższy o $3\frac{3}{4} - 1\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ kg.