Ułamki zwykłe i liczby mieszane - Matematyka w punkt 4

1.Ułamek zwykły

Ułamek zwykły opisuje część całości podzielonej na równe części. Zapisujemy go za pomocą dwóch liczb rozdzielonych kreską ułamkową, np. $\frac{2}{5}$ (czytamy: dwie piąte). Na rysunku koło podzielono na 5 równych części i zamalowano 2 z nich, czyli $\frac{2}{5}$ koła.

2.Licznik, mianownik i kreska ułamkowa

Liczba pod kreską ułamkową to mianownik - wskazuje, na ile równych części podzielono całość. Liczba nad kreską to licznik - wskazuje, ile części wybrano spośród tych, na które podzielono całość. Na przykład w ułamku $\frac{3}{7}$ licznik to 3, a mianownik to 7.

3.Dlaczego części całości muszą być równe?

Ułamek opisuje część całości tylko wtedy, gdy całość podzielono na równe części. Jeśli pizzę pokrojono na 3 kawałki różnej wielkości, to jeden z tych kawałków nie jest jedną trzecią pizzy.

4.Jak czytamy ułamki zwykłe?

Najpierw czytamy licznik, a potem mianownik. Na przykład $\frac{1}{6}$ to jedna szósta, $\frac{3}{4}$ to trzy czwarte, $\frac{5}{8}$ to pięć ósmych, $\frac{9}{20}$ to dziewięć dwudziestych, a $\frac{1}{2}$ to jedna druga. Mówimy: jedna piąta, dwie piąte, trzy piąte, cztery piąte, pięć piątych.

5.Ułamek jako część grupy

Ułamkiem opisujemy też część grupy przedmiotów lub osób. Mianownik to liczba wszystkich przedmiotów lub osób, a licznik to liczba tych, o które pytamy. Na przykład gdy w koszyku jest 10 owoców, a 3 z nich to gruszki, to gruszki stanowią $\frac{3}{10}$ wszystkich owoców.

6.Jaka część całości NIE została wybrana?

Części, których nie wybrano, opisuje ułamek o tym samym mianowniku. Jego licznik to liczba niewybranych części. Na przykład gdy figurę podzielono na 8 równych części i zamalowano 3, to niezamalowane jest $\frac{5}{8}$ figury, bo $8 - 3 = 5$.

7.Ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi

Gdy licznik jest równy mianownikowi, wybrano wszystkie części, czyli całość. Na przykład $\frac{6}{6}$ (sześć szóstych) to cała figura podzielona na 6 równych części.

8.Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej?

Odcinek od 0 do 1 (odcinek jednostkowy) dzielimy na tyle równych części, ile wskazuje mianownik. Potem od 0 odliczamy tyle części, ile wskazuje licznik. Na przykład $\frac{3}{5}$ leży na trzeciej kresce za zerem, gdy odcinek jednostkowy podzielono na 5 równych części.

9.Jak odczytać ułamek z osi liczbowej?

Policz, na ile równych części podzielono odcinek od 0 do 1 - to mianownik. Potem policz, o ile takich części punkt leży od zera - to licznik. Na rysunku odcinek od 0 do 1 podzielono na 10 równych części, a punkt A leży na siódmej kresce za zerem, więc A ma współrzędną $\frac{7}{10}$.

10.Jaka to część godziny, minuty, doby?

Godzina ma 60 minut, minuta ma 60 sekund, a doba - 24 godziny. Liczbę minut zapisujemy w liczniku, a 60 w mianowniku: 7 minut to $\frac{7}{60}$ godziny. Tak samo 5 godzin to $\frac{5}{24}$ doby.

11.Jak obliczyć, ile minut to ułamek godziny?

60 minut dzielimy przez mianownik, a wynik mnożymy przez licznik. Na przykład $\frac{2}{3}$ godziny: $60 : 3 = 20$, a $20 \cdot 2 = 40$, więc $\frac{2}{3}$ godziny to 40 minut. Tak samo liczymy sekundy w ułamku minuty i godziny w ułamku doby.

12.Liczba mieszana

Liczba mieszana składa się z części całkowitej (liczby całkowitej) i części ułamkowej (ułamka zwykłego). Na przykład w liczbie $3\frac{2}{5}$ część całkowita to 3, a część ułamkowa to $\frac{2}{5}$. Tak opiszemy np. 3 całe placki i $\frac{2}{5}$ czwartego placka.

13.Jak czytamy liczby mieszane?

Najpierw czytamy część całkowitą, a potem część ułamkową, łącząc je słowem „i”. Na przykład $4\frac{1}{3}$ to cztery i jedna trzecia, a $6\frac{5}{9}$ to sześć i pięć dziewiątych.

14.Jak zaznaczyć liczbę mieszaną na osi liczbowej?

Każdy odcinek jednostkowy (od 0 do 1, od 1 do 2 itd.) dzielimy na tyle równych części, ile wskazuje mianownik. Część całkowita mówi, za którą liczbą zaczynamy, a licznik - ile części odliczamy dalej. Na przykład $2\frac{3}{4}$ leży na trzeciej kresce za liczbą 2, gdy każdy odcinek jednostkowy podzielono na 4 części.

15.Jak zamienić liczbę mieszaną godzin na minuty?

Część całkowita to pełne godziny po 60 minut. Część ułamkową liczymy jak ułamek godziny: 60 minut dzielimy przez mianownik i mnożymy przez licznik. Na koniec dodajemy oba wyniki. Na przykład $2\frac{1}{4}$ godziny to $2 \cdot 60 = 120$ minut i $60 : 4 = 15$ minut, razem 135 minut.

16.Ułamek jako wynik dzielenia

Każdy iloraz dwóch liczb można zapisać w postaci ułamka, a każdy ułamek - w postaci ilorazu dwóch liczb. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: dzielna staje się licznikiem, a dzielnik - mianownikiem. Na przykład $4 : 9 = \frac{4}{9}$, a $\frac{11}{6} = 11 : 6$.

17.Dlaczego mianownik nie może być zerem?

Ułamek to inny zapis dzielenia, a przez 0 nie można dzielić. Dlatego mianownik ułamka musi być różny od 0. Zapis $\frac{5}{0}$ nie oznacza żadnej liczby.

18.Jak równo podzielić kilka całości między kilka osób?

Każdą całość dzielimy na tyle równych części, ile jest osób, i każda osoba bierze po jednej części z każdej całości. Każdy dostaje ułamek: liczba całości w liczniku, liczba osób w mianowniku. Na przykład 2 pizze dla 5 osób: $2 : 5 = \frac{2}{5}$ pizzy na osobę. Rysunek pokazuje, że jedna osoba dostaje $\frac{1}{5}$ z każdej z 2 pizz.

19.Ile całości podzielono? Ile było osób?

Ułamek $\frac{4}{5}$ to $4 : 5$, czyli tyle dostaje każdy, gdy 4 całości dzielimy między 5 osób. Dlatego gdy 5 osób dostało po $\frac{4}{5}$ ciasta, to podzielono 4 ciasta. A gdy 2 ciasta podzielono tak, że każdy dostał $\frac{2}{7}$ ciasta, to osób było 7.

20.Kto dzieli między siebie i innych - też się liczy

Gdy ktoś dzieli coś między siebie i inne osoby, do liczby osób doliczamy także jego. Na przykład Ola dzieli batonik między siebie i 4 koleżanki, więc dzieli go na 5 osób i każda dostaje $\frac{1}{5}$ batonika. I odwrotnie: gdy wszystkich dziewczynek było 6, to koleżanek Oli było 5.

21.Ułamek właściwy

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac{2}{3}$ albo $\frac{5}{9}$. Taki ułamek opisuje mniej niż jedną całość - na rysunku zamalowano 5 z 9 równych części koła.

22.Ułamek niewłaściwy

Ułamek niewłaściwy ma licznik równy mianownikowi lub większy od mianownika, np. $\frac{6}{6}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{12}{5}$. Rysunek pokazuje $\frac{7}{6}$: dwie jednakowe całości podzielone na 6 części - pierwsza zamalowana cała, a z drugiej 1 część.

23.Kiedy ułamek niewłaściwy jest liczbą całkowitą?

Gdy licznik dzieli się przez mianownik bez reszty, ułamek niewłaściwy jest równy liczbie całkowitej. Na przykład $\frac{15}{5} = 15 : 5 = 3$, $\frac{8}{8} = 1$, $\frac{9}{1} = 9$.

24.Wyłączanie całości (ułamek niewłaściwy → liczba mieszana)

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Iloraz to część całkowita, reszta to licznik części ułamkowej, a mianownik się nie zmienia. Na przykład $\frac{26}{7} = 3\frac{5}{7}$, bo $26 : 7 = 3 \text{ r } 5$.

25.Włączanie całości (liczba mieszana → ułamek niewłaściwy)

Mnożymy mianownik przez część całkowitą i dodajemy licznik - to jest licznik ułamka niewłaściwego. Mianownik się nie zmienia. Na przykład $3\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.

26.Jak zapisać liczbę całkowitą w postaci ułamka niewłaściwego?

Wybieramy mianownik, a licznik obliczamy, mnożąc ten mianownik przez daną liczbę. Na przykład $4 = \frac{12}{3}$, bo $3 \cdot 4 = 12$. Liczbę 4 można też zapisać jako $\frac{4}{1}$.

27.Jak zapisać iloraz w postaci liczby mieszanej?

Iloraz zapisujemy jako ułamek, a gdy ten ułamek jest niewłaściwy, wyłączamy całości. Na przykład $19 : 6 = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$, bo $19 : 6 = 3 \text{ r } 1$.

28.Jak odczytać ułamek niewłaściwy z rysunku?

Mianownik to liczba równych części jednej figury, a nie wszystkich figur razem. Licznik to liczba zamalowanych części we wszystkich figurach. Na rysunku dwa jednakowe koła podzielono na 8 części: pierwsze jest zamalowane całe, a w drugim 3 części. Razem $8 + 3 = 11$ ósmych, czyli $\frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$.

29.Ułamek niewłaściwy na osi liczbowej

Każdy odcinek jednostkowy dzielimy na tyle równych części, ile wskazuje mianownik, i od zera odliczamy tyle części, ile wskazuje licznik. Na przykład $\frac{5}{4}$ leży na piątej kresce za zerem, czyli na pierwszej kresce za liczbą 1. To ten sam punkt co $1\frac{1}{4}$.