Dodawanie i odejmowanie ułamków, ułamek liczby - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodajemy lub odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Np. $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$, bo $2 + 5 = 7$, a $\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = \frac{5}{11}$, bo $8 - 3 = 5$. Na rysunku $\frac{2}{9}$ koła i $\frac{5}{9}$ koła to razem $\frac{7}{9}$ koła.

2.Wynik dodawania w najprostszej postaci

Po dodaniu lub odjęciu skracamy ułamek i wyłączamy całości. Np. $\frac{5}{12} + \frac{11}{12} = \frac{16}{12} = 1\frac{4}{12} = 1\frac{1}{3}$, a $\frac{7}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$. Mianowników nie dodajemy: $\frac{7}{10} + \frac{3}{10}$ to nie $\frac{10}{20}$.

3.Jak dodać liczby mieszane?

Osobno dodajemy całości i osobno ułamki. Gdy suma ułamków jest ułamkiem niewłaściwym, wyłączamy z niej całości. Np. $3\frac{4}{7} + 2\frac{5}{7} = 5\frac{9}{7} = 6\frac{2}{7}$, bo $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$.

4.Jak odjąć liczby mieszane?

Gdy ułamek w odjemnej jest większy od ułamka w odjemniku lub mu równy, osobno odejmujemy całości i osobno ułamki. Np. $6\frac{7}{9} - 2\frac{4}{9} = 4\frac{3}{9} = 4\frac{1}{3}$. Wynik doprowadzamy do najprostszej postaci.

5.Działania z nawiasem i z kilkoma ułamkami

Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie: $5\frac{4}{9} - (2\frac{1}{9} + 1\frac{2}{9}) = 5\frac{4}{9} - 3\frac{3}{9} = 2\frac{1}{9}$. Bez nawiasu dodajemy i odejmujemy po kolei od lewej strony. Kilka składników można dodawać w dowolnej kolejności, np. najpierw te, które dają całość: $\frac{2}{5} + 1\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = 1\frac{1}{5} + 1 = 2\frac{1}{5}$.

6.Jak obliczyć, jaka część całości została?

Całość zapisujemy jako ułamek o liczniku równym mianownikowi, np. $1 = \frac{10}{10}$, i odejmujemy od niej wziętą część. Np. Ola zjadła $\frac{3}{10}$ ciasta, a Ela $\frac{4}{10}$. Razem zjadły $\frac{7}{10}$ ciasta, więc zostało $\frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ ciasta.

7.Odejmowanie liczb mieszanych - zamiana całości na ułamek

Gdy ułamek w odjemnej jest mniejszy niż w odjemniku, zamieniamy jedną całość odjemnej na ułamek. Jedna całość to tyle części, ile wynosi mianownik, np. $1 = \frac{5}{5}$. Nie zamieniamy jej na 10 części jak przy odejmowaniu pisemnym. Np. $6\frac{1}{5} - 2\frac{3}{5} = 5\frac{6}{5} - 2\frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$.

8.Odejmowanie liczb mieszanych po kawałku

Najpierw odejmujemy całości, a potem ułamek - po kawałku, tak żeby dojść do pełnej całości. Np. $7\frac{2}{9} - 3\frac{5}{9} = 4\frac{2}{9} - \frac{5}{9} = 4 - \frac{3}{9} = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$. Odjęliśmy 3, potem $\frac{2}{9}$, a na końcu jeszcze $\frac{3}{9}$.

9.Odejmowanie liczb mieszanych przez dopełnianie

Liczymy, ile trzeba dodać do odjemnika, żeby otrzymać odjemną. Np. $5\frac{1}{8} - 2\frac{5}{8}$: do $2\frac{5}{8}$ dodajemy $\frac{3}{8}$ i mamy 3, potem 2 i mamy 5, a potem $\frac{1}{8}$ i mamy $5\frac{1}{8}$. Razem dodaliśmy $\frac{3}{8} + 2 + \frac{1}{8} = 2\frac{4}{8} = 2\frac{1}{2}$.

10.Jak odjąć ułamek od liczby naturalnej?

Zamieniamy jedną całość na ułamek o takim mianowniku, jaki ma odejmowany ułamek. Np. $4 - \frac{2}{7} = 3\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 3\frac{5}{7}$. Tak samo $5 - 1\frac{3}{4} = 4\frac{4}{4} - 1\frac{3}{4} = 3\frac{1}{4}$.

11.Jak sprawdzić wynik odejmowania?

Do wyniku odejmowania (różnicy) dodajemy odjemnik - powinniśmy otrzymać odjemną. Np. sprawdzamy, czy $6\frac{1}{5} - 2\frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$: $3\frac{3}{5} + 2\frac{3}{5} = 5\frac{6}{5} = 6\frac{1}{5}$, więc wynik jest dobry.

12.Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać lub odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika. Np. $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Na rysunku $\frac{1}{3}$ koła to tyle samo co $\frac{2}{6}$ koła, a razem z $\frac{1}{6}$ koła to $\frac{3}{6}$ koła.

13.Kiedy wystarczy rozszerzyć jeden ułamek?

Gdy większy mianownik dzieli się przez mniejszy, rozszerzamy tylko ułamek o mniejszym mianowniku. Np. $\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$, bo 8 dzieli się przez 4, więc $\frac{1}{4}$ rozszerzamy przez 2.

14.Jak dodać dwa ułamki, gdy nie widać wspólnego mianownika?

Pierwszy ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego, a drugi - przez mianownik pierwszego. Np. $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$.

15.Dlaczego warto szukać jak najmniejszego wspólnego mianownika?

Bo liczby są wtedy mniejsze i łatwiej doprowadzić wynik do najprostszej postaci. Np. $\frac{3}{10} + \frac{1}{4}$: wielokrotności 10 to 10, 20, a 20 dzieli się przez 4. $\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}$. Z mianownikiem $10 \cdot 4 = 40$ wychodzi $\frac{22}{40}$ i trzeba jeszcze skracać.

16.Jak dodać liczby mieszane o różnych mianownikach?

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem osobno dodajemy całości i ułamki. Np. $1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} = 1\frac{9}{12} + 2\frac{8}{12} = 3\frac{17}{12} = 4\frac{5}{12}$.

17.Jak odjąć liczby mieszane o różnych mianownikach?

Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Gdy ułamek w odjemnej jest mniejszy, zamieniamy jedną całość na ułamek. Np. $5\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3} = 5\frac{3}{12} - 1\frac{8}{12} = 4\frac{15}{12} - 1\frac{8}{12} = 3\frac{7}{12}$.

18.Ułamki egipskie (ułamki proste)

Ułamki o liczniku 1, np. $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{8}$, nazywamy ułamkami prostymi albo egipskimi. W starożytnym Egipcie inne ułamki zapisywano jako sumy różnych ułamków prostych, np. $\frac{3}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$, bo $\frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$.

19.Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Mnożymy licznik ułamka przez liczbę naturalną, a mianownik pozostaje bez zmian. Np. $4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9}$. To tyle, co dodać 4 razy po $\frac{2}{9}$. Kolejność czynników można zamieniać: $\frac{2}{9} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{2}{9}$.

20.Wynik mnożenia w najprostszej postaci

Gdy wyjdzie ułamek niewłaściwy, wyłączamy całości: $5 \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$. Gdy licznik dzieli się przez mianownik, wynik jest liczbą naturalną: $\frac{3}{5} \cdot 15 = \frac{45}{5} = 9$.

21.Skracanie przed mnożeniem

Jeśli to możliwe, skracamy przed obliczeniem iloczynu: liczbę naturalną i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę. Np. $10 \cdot \frac{7}{15} = \frac{2 \cdot 7}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ (10 i 15 skróciliśmy przez 5). Bez skracania wychodzi $\frac{70}{15}$ i trzeba więcej liczyć.

22.Jak pomnożyć liczbę mieszaną przez liczbę naturalną?

Sposób 1: mnożymy osobno całości i osobno ułamek: $4 \cdot 1\frac{2}{3} = 4\frac{8}{3} = 6\frac{2}{3}$, bo $4 \cdot 1 = 4$ i $4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Sposób 2: zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $4 \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.

23.Jak obliczyć ułamek liczby?

Sposób 1: liczbę dzielimy przez mianownik, a wynik mnożymy przez licznik. Np. $\frac{5}{6}$ z 30: $30 : 6 = 5$, $5 \cdot 5 = 25$. Sposób 2: mnożymy ułamek przez tę liczbę: $\frac{5}{6} \cdot 30 = 25$. Aby obliczyć ułamek danej liczby, można pomnożyć ułamek przez tę liczbę.

24.Jak obliczyć ułamek godziny albo metra?

Zamieniamy jednostkę na mniejszą i obliczamy ułamek liczby. Godzina ma 60 minut, więc $\frac{3}{4}$ godziny to $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ minut. Metr ma 100 cm, więc $\frac{2}{5}$ m to $\frac{2}{5} \cdot 100 = 40$ cm.

25.Jak obliczyć resztę, gdy znamy ułamek liczby?

Obliczamy ułamek liczby i odejmujemy wynik od całej liczby. Np. w sadzie rośnie 28 drzew, a $\frac{3}{7}$ z nich to jabłonie: $\frac{3}{7} \cdot 28 = 12$. Pozostałych drzew jest $28 - 12 = 16$. Można też obliczyć od razu $\frac{4}{7}$ z 28, bo $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.

26.Czy ułamek liczby jest mniejszy od tej liczby?

Gdy liczbę naturalną różną od 0 mnożymy przez ułamek właściwy, wynik jest mniejszy od tej liczby: $\frac{3}{4} \cdot 8 = 6$, a $6 < 8$. Gdy mnożymy ją przez ułamek niewłaściwy większy od 1, wynik jest większy: $\frac{5}{4} \cdot 8 = 10$.