Ułamki zwykłe, rozszerzanie i skracanie - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Licznik, mianownik i kreska ułamkowa

W ułamku $\frac{4}{7}$ liczba 4 nad kreską ułamkową to licznik, a liczba 7 pod kreską - mianownik. Mianownik mówi, na ile równych części dzielimy całość, a licznik - ile takich części bierzemy. Na rysunku pasek podzielono na 7 równych części i zamalowano 4, czyli $\frac{4}{7}$ paska.

2.Dlaczego części całości muszą być równe?

Ułamek opisuje część całości tylko wtedy, gdy całość podzielono na równe części. Jeśli kwadrat podzielimy na 3 części różnej wielkości i zamalujemy jedną z nich, to nie możemy powiedzieć, że zamalowano $\frac{1}{3}$ kwadratu.

3.Ułamek właściwy i ułamek niewłaściwy

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika i opisuje część całości, np. $\frac{3}{5}$. Ułamek niewłaściwy ma licznik równy mianownikowi lub większy od mianownika. Oznacza całość lub więcej niż całość, np. $\frac{5}{5} = 1$ i $\frac{7}{5} > 1$. Rysunek pokazuje te trzy ułamki.

4.Jak obliczyć, jaką częścią całości jest grupa?

Liczbę elementów grupy zapisujemy w liczniku, a liczbę wszystkich elementów - w mianowniku. Np. w pudełku jest 9 kredek czerwonych i 5 zielonych, razem $9 + 5 = 14$ kredek. Czerwone stanowią $\frac{9}{14}$, a zielone $\frac{5}{14}$ wszystkich kredek.

5.Jak obliczyć $\frac{1}{4}$ liczby przedmiotów?

$\frac{1}{4}$ to jedna z czterech równych części. Liczbę przedmiotów dzielimy na 4 równe części. Np. $\frac{1}{4}$ z 28 kasztanów to $28 : 4 = 7$ kasztanów, a zostaje $28 - 7 = 21$ kasztanów. Nie da się tak zabrać $\frac{1}{4}$ z 18 kasztanów, bo $18 : 4 = 4 \text{ r } 2$.

6.Liczba mieszana

Liczba mieszana składa się z liczby naturalnej (całości) i ułamka właściwego, np. $1\frac{3}{4}$, $2\frac{1}{6}$, $5\frac{2}{9}$. Na rysunku jest 1 całe koło i $\frac{3}{4}$ koła, czyli 7 ćwiartek koła: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

7.Jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy?

Liczbę całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik. Wynik piszemy w liczniku, a mianownik się nie zmienia. Np. $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$, bo $2 \cdot 6 + 5 = 17$. W 2 całościach jest 12 szóstych części, a razem z $\frac{5}{6}$ - 17 szóstych części.

8.Kiedy ułamek jest równy liczbie naturalnej?

Gdy licznik dzieli się przez mianownik bez reszty, np. $\frac{18}{6} = 18 : 6 = 3$. Ułamek o liczniku równym mianownikowi jest równy 1, np. $\frac{9}{9} = 1$. Liczbę naturalną też można zapisać jako ułamek: $4 = \frac{28}{7}$, bo $4 \cdot 7 = 28$.

9.Ułamek jako iloraz

Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Iloraz dwóch liczb naturalnych (dzielnik różny od 0) można zapisać jako ułamek: dzielna jest licznikiem, a dzielnik - mianownikiem. Np. $7 : 9 = \frac{7}{9}$, a $\frac{11}{4} = 11 : 4$.

10.Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

To zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną. Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to liczba całości, reszta to licznik ułamka, a mianownik się nie zmienia. Np. $\frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}$, bo $23 : 5 = 4 \text{ r } 3$.

11.Jak podzielić kilka całości po równo na części?

Wykonujemy dzielenie, wynik zapisujemy jako ułamek i wyłączamy całości. Np. 4 jednakowe pizze dzielimy po równo między 3 osoby: $4 : 3 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Każda osoba dostaje $1\frac{1}{3}$ pizzy - na rysunku to całe koło i $\frac{1}{3}$ koła.

12.Jak odczytać ułamek na osi liczbowej?

Sprawdzamy, na ile równych odstępów podzielono odcinek od 0 do 1 - to mianownik. Gdy odstępów jest 5, jeden odstęp to $\frac{1}{5}$. Potem odliczamy odstępy od zera: trzecia kreska za zerem to $\frac{3}{5}$, piąta to $\frac{5}{5} = 1$, a siódma to $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.

13.Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach

Z dwóch ułamków o takich samych mianownikach większy jest ten, który ma większy licznik. Np. $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$, bo 5 ósmych części to więcej niż 3 takie same części.

14.Porównywanie ułamków o takich samych licznikach

Z dwóch ułamków o takich samych licznikach większy jest ten, który ma mniejszy mianownik. Gdy dzielimy całość na więcej części, części są mniejsze. Np. $\frac{3}{4} > \frac{3}{8}$: na rysunku 3 czwarte paska zajmują więcej niż 3 ósme takiego samego paska.

15.Jak porównać liczby mieszane?

Najpierw porównujemy całości: większa jest liczba, która ma ich więcej, np. $5\frac{1}{8} > 4\frac{7}{8}$. Gdy całości są równe, porównujemy ułamki, np. $3\frac{4}{9} > 3\frac{2}{9}$. Ułamek niewłaściwy najpierw zamieniamy na liczbę mieszaną: $\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$, więc $\frac{19}{6} < 3\frac{5}{6}$.

16.Czy tę samą część całości można opisać różnymi ułamkami?

Tak. Na rysunku zamalowano tę samą część trzech jednakowych pasków: 1 z 3 części, 2 z 6 części i 4 z 12 części. Dlatego $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12}$. Takie ułamki są równe.

17.Rozszerzanie ułamka

Rozszerzyć ułamek to pomnożyć jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną różną od 0. Otrzymujemy ułamek równy danemu. Np. $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}$ - ułamek rozszerzono przez 3.

18.Jak rozszerzyć ułamek do danego mianownika?

Sprawdzamy, ile razy nowy mianownik jest większy od starego, i przez tę liczbę mnożymy licznik i mianownik. Np. $\frac{3}{8} = \frac{\square}{40}$: $40 : 8 = 5$, więc $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$. Tak samo rozszerzamy do mianownika 10 lub 100: $\frac{9}{20} = \frac{45}{100}$.

19.Skracanie ułamka

Skrócić ułamek to podzielić jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną większą od 1. Otrzymujemy ułamek równy danemu. Np. $\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$. Na rysunku $\frac{12}{18}$ paska i $\frac{2}{3}$ paska to ta sama część.

20.Ułamek nieskracalny

Ułamek nieskracalny to ułamek, którego nie da się skrócić: jego licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Np. $\frac{5}{9}$ i $\frac{8}{15}$ są nieskracalne, a $\frac{6}{9}$ nie jest, bo można go skrócić przez 3.

21.Jak cechy podzielności pomagają skracać ułamki?

Sprawdzamy, czy licznik i mianownik dzielą się przez tę samą liczbę. Oba parzyste - skracamy przez 2. Oba kończą się zerem - przez 10. Oba kończą się cyfrą 0 lub 5 - przez 5. Suma cyfr każdej z liczb dzieli się przez 3 - przez 3. Skracamy, aż ułamek będzie nieskracalny: $\frac{45}{75} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (przez 5, potem przez 3).

22.Najprostsza postać liczby

Liczba jest w najprostszej postaci, gdy ma wyłączone całości, a jej ułamka nie da się skrócić. Np. $\frac{26}{8}$ skracamy przez 2 i otrzymujemy $\frac{13}{4}$. Potem wyłączamy całości: $13 : 4 = 3 \text{ r } 1$, więc najprostsza postać to $3\frac{1}{4}$.

23.Jak porównać ułamki o różnych mianownikach?

Sprowadzamy je do wspólnego mianownika, czyli rozszerzamy lub skracamy tak, żeby miały jednakowe mianowniki, i porównujemy liczniki. Czasem wystarczy zmienić jeden ułamek: $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ i $\frac{10}{12} < \frac{11}{12}$, więc $\frac{5}{6} < \frac{11}{12}$. Albo: $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ i $\frac{3}{7} > \frac{2}{7}$, więc $\frac{9}{21} > \frac{2}{7}$.

24.Jak znaleźć wspólny mianownik dowolnych dwóch ułamków?

Wspólnym mianownikiem zawsze może być iloczyn mianowników. Każdy ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka. Np. dla $\frac{3}{4}$ i $\frac{4}{5}$: $4 \cdot 5 = 20$, $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$, $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$, więc $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$.

25.Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik?

Sprawdzamy kolejne wielokrotności większego mianownika, aż trafimy na liczbę, która dzieli się przez mniejszy mianownik. Np. dla $\frac{5}{12}$ i $\frac{3}{8}$: 12 nie dzieli się przez 8, a 24 się dzieli. Zatem $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$ i $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, więc $\frac{5}{12} > \frac{3}{8}$. Iloczyn mianowników to aż 96.

26.Jak porównać ułamki bez wspólnego mianownika?

Czasem wystarczy porównać ułamki z 1 lub z $\frac{1}{2}$: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{13}{14}$, a $\frac{5}{11} < \frac{1}{2} < \frac{7}{12}$. Gdy obu ułamkom brakuje do całości jednej części, większy jest ten, któremu brakuje mniej: $\frac{5}{6} < \frac{8}{9}$, bo $\frac{1}{9} < \frac{1}{6}$.