Mnożenie i dzielenie pisemne, liczby pierwsze - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Mnożenie pisemne przez liczbę jednocyfrową

Mnożymy po kolei każdą cyfrę górnej liczby, zaczynając od jedności. Gdy wynik jest większy od 9, piszemy jego cyfrę jedności, a dziesiątki przenosimy i dodajemy do wyniku w następnej kolumnie. Np. $367 \cdot 4$: $4 \cdot 7 = 28$, piszemy 8 i przenosimy 2; $4 \cdot 6 + 2 = 26$, piszemy 6 i przenosimy 2; $4 \cdot 3 + 2 = 14$. Wynik: 1468.

2.Mnożenie pisemne przez liczbę wielocyfrową

Górną liczbę mnożymy osobno przez każdą cyfrę dolnej liczby. Wynik mnożenia przez dziesiątki zapisujemy o jedno miejsce w lewo (z zerem na końcu), a przez setki - o dwa miejsca w lewo. Na koniec wyniki dodajemy. Np. $214 \cdot 35$: $214 \cdot 5 = 1070$, $214 \cdot 30 = 6420$, a $1070 + 6420 = 7490$.

3.Którą liczbę zapisać na dole w mnożeniu pisemnym?

Mnożyć można w dowolnej kolejności, bo wynik jest ten sam. Wygodniej jednak zapisać na dole liczbę, która ma mniej cyfr (nie licząc zer). Wtedy jest mniej wyników do dodania. Np. w mnożeniu $63 \cdot 4718$ na górze piszemy 4718, a na dole 63.

4.Mnożenie pisemne liczb zakończonych zerami

Liczby podpisujemy tak, żeby zera na końcu wystawały w prawo. Mnożymy liczby bez tych zer, a potem do wyniku dopisujemy wszystkie zera z obu czynników. Np. $340 \cdot 2100$: $34 \cdot 21 = 714$, dopisujemy $1 + 2 = 3$ zera, więc wynik to $714\,000$.

5.Mnożenie pisemne, gdy w dolnej liczbie jest zero

Przez zero nie mnożymy osobno. Np. w $315 \cdot 204$ mnożymy przez 4 jedności i przez 2 setki, a wyniki dodajemy. Wynik mnożenia przez setki zapisujemy o dwa miejsca w lewo: $315 \cdot 4 = 1260$, $315 \cdot 200 = 63\,000$, razem $64\,260$.

6.Jak uniknąć błędów w mnożeniu pisemnym?

Sprawdź, czy: dobrze znasz tabliczkę mnożenia, mnożysz przez wszystkie cyfry drugiej liczby, a wyniki mnożenia przez kolejne cyfry zapisujesz w odpowiednim miejscu i nie zapominasz o zerach na końcu.

7.Wielokrotności liczby

Wielokrotności liczby to wyniki mnożenia tej liczby przez 0, 1, 2, 3 itd. Np. wielokrotności liczby 7 to: 0, 7, 14, 21, 28, 35… Każda wielokrotność liczby 7 dzieli się przez 7 bez reszty.

8.Kiedy liczba jest podzielna przez inną liczbę?

Liczba jest podzielna przez inną liczbę, gdy dzieli się przez nią bez reszty, czyli gdy jest jej wielokrotnością. Np. 35 jest podzielne przez 5, bo $35 : 5 = 7$, a $7 \cdot 5 = 35$. Mówimy też, że 5 mieści się w 35 siedem razy.

9.Dzielenie z resztą

Gdy liczba nie dzieli się bez reszty, sprawdzamy, ile razy mieści się w niej dzielnik i ile zostaje. Np. $23 : 5 = 4 \text{ r } 3$, bo $4 \cdot 5 + 3 = 23$: 5 mieści się w 23 cztery razy i zostaje reszta 3. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

10.Co zrobić z resztą w zadaniu tekstowym?

Wynik z resztą trzeba dopasować do pytania. Np. 45 osób, łódka dla 4 osób: $45 : 4 = 11 \text{ r } 1$, więc potrzeba co najmniej 12 łódek, bo jedna osoba też musi popłynąć. A za 45 zł kupimy tylko 11 biletów po 4 zł, bo na dwunasty brakuje pieniędzy.

11.Cechy podzielności przez 2, 5 i 10

Decyduje ostatnia cyfra liczby. Liczba jest podzielna przez 2 (czyli jest parzysta), gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8. Przez 5 - gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Przez 10 - gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. Np. 4370 dzieli się przez 2, 5 i 10, a 4375 - tylko przez 5.

12.Cecha podzielności przez 100

Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera. Np. 7300 i $15\,000$ dzielą się przez 100, a 7030 - nie. Wielokrotności liczby 100 to 0, 100, 200, 300 itd.

13.Cecha podzielności przez 4

Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Np. 3716 dzieli się przez 4, bo 16 dzieli się przez 4. Liczba 5730 nie dzieli się przez 4, bo 30 nie dzieli się przez 4, choć ostatnia cyfra jest parzysta.

14.Cecha podzielności przez 3

Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. Np. 4281 dzieli się przez 3, bo $4 + 2 + 8 + 1 = 15$, a 15 dzieli się przez 3. Liczba 2741 nie dzieli się przez 3, bo $2 + 7 + 4 + 1 = 14$.

15.Cecha podzielności przez 9

Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. Np. 7353 dzieli się przez 9, bo $7 + 3 + 5 + 3 = 18$. Każda liczba podzielna przez 9 dzieli się też przez 3, ale nie odwrotnie: 1245 ma sumę cyfr 12, więc dzieli się przez 3, ale nie przez 9.

16.Jak sprawdzić podzielność przez dwie liczby naraz?

Sprawdzamy osobno obie cechy podzielności - liczba musi spełniać każdą z nich. Np. 5418 dzieli się przez 2 i przez 9, bo kończy się cyfrą 8 i ma sumę cyfr 18. Liczba 4527 też ma sumę cyfr 18, ale jest nieparzysta, więc dzieli się przez 9, ale nie przez 2.

17.Dzielnik liczby

Dzielnik liczby to liczba, przez którą ta liczba dzieli się bez reszty. Np. liczba 10 dzieli się bez reszty przez 1, 2, 5 i 10, więc liczby 1, 2, 5 i 10 są dzielnikami liczby 10.

18.Jak wypisać wszystkie dzielniki liczby?

Szukamy par liczb, które pomnożone dają tę liczbę. Zaczynamy od 1 i sprawdzamy kolejne liczby. Np. dla 20: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$. Dzielniki liczby 20 to więc: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

19.Liczba pierwsza

Liczba pierwsza to taka liczba naturalna, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Liczbami pierwszymi są np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

20.Liczba złożona

Liczba złożona to liczba naturalna, która ma więcej niż dwa dzielniki. Np. 9 jest liczbą złożoną, bo dzieli się przez 1, 3 i 9, a 10 - bo dzieli się przez 1, 2, 5 i 10.

21.Czy 0 i 1 są liczbami pierwszymi?

Nie. Liczb 0 i 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych, ani do liczb złożonych. Każda inna liczba naturalna jest albo pierwsza, albo złożona.

22.Jak uzasadnić, że liczba jest złożona?

Wystarczy wskazać jej dzielnik inny niż 1 i ona sama. Korzystamy z tabliczki mnożenia lub z cech podzielności. Np. 56 jest złożona, bo $56 = 7 \cdot 8$; 2735 - bo kończy się cyfrą 5, więc dzieli się przez 5; 4371 - bo suma cyfr 15 dzieli się przez 3.

23.Rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych. Np. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, a $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. Każdą liczbę złożoną można tak zapisać.

24.Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Zapisz liczbę jako iloczyn czynników naturalnych różnych od 1. Potem każdy czynnik, który nie jest liczbą pierwszą, znów zapisz jako iloczyn mniejszych liczb. Postępuj tak, aż zostaną same liczby pierwsze, i uporządkuj je. Np. $90 = 9 \cdot 10 = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. Rozkład można też narysować jako drzewko: 90 rozgałęzia się na 9 i 10, a te - na liczby pierwsze 3, 3 oraz 2, 5.

25.Krótszy zapis rozkładu za pomocą potęg

Jednakowe czynniki w rozkładzie można zapisać krócej za pomocą potęgi. Podstawa to powtarzany czynnik, a wykładnik mówi, ile razy się powtarza. Np. $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, a $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

26.Jak obliczyć liczbę z jej rozkładu na czynniki pierwsze?

Mnożymy wszystkie czynniki. Wygodnie jest najpierw połączyć 2 i 5, bo $2 \cdot 5 = 10$. Np. $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 5) = 10 \cdot 45 = 450$.

27.Co mówi rozkład na czynniki pierwsze o podzielności liczby?

Liczba dzieli się przez każdy czynnik ze swojego rozkładu i przez iloczyn kilku z tych czynników. Nie dzieli się przez liczbę pierwszą, której w rozkładzie nie ma. Np. $294 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ dzieli się przez 6 i przez 49, ale nie przez 5. Nie dzieli się też przez 4, bo w rozkładzie jest tylko jedna dwójka.

28.Dzielenie pisemne - jakie czynności powtarzamy?

Dzielimy od lewej strony i wciąż powtarzamy: podziel, pomnóż, odejmij, spisz następną cyfrę. Np. $756 : 3$: 3 mieści się w 7 dwa razy, $2 \cdot 3 = 6$, $7 - 6 = 1$; spisujemy 5 i mamy 15. 3 mieści się w 15 pięć razy, $15 - 15 = 0$; spisujemy 6, a 3 mieści się w 6 dwa razy. Wynik: 252.

29.Dzielenie pisemne z resztą i sprawdzenie wyniku

Gdy po ostatnim odejmowaniu nie wychodzi 0, ta liczba to reszta. Wynik sprawdzamy mnożeniem: iloraz mnożymy przez dzielnik i dodajemy resztę - musi wyjść dzielna. Np. $586 : 4 = 146 \text{ r } 2$, bo $146 \cdot 4 = 584$, a $584 + 2 = 586$.

30.Dzielenie pisemne przez liczbę jednocyfrową, gdy pierwsza cyfra dzielnej jest mniejsza od dzielnika

Dzielnik nie mieści się wtedy w pierwszej cyfrze, więc od razu bierzemy dwie pierwsze cyfry dzielnej. Np. $296 : 8$: 8 nie mieści się w 2, więc dzielimy 29 - 8 mieści się w 29 trzy razy i zostaje 5. Spisujemy 6, a 8 mieści się w 56 siedem razy. Wynik: 37. Przy dzielniku dwucyfrowym czasem trzeba wziąć aż trzy cyfry, np. w $1068 : 12$ dzielimy najpierw 106.

31.Zero w ilorazie

Gdy po spisaniu cyfry dzielnik nie mieści się w otrzymanej liczbie, w ilorazie piszemy 0 i spisujemy następną cyfrę. Tego zera nie wolno pominąć. Np. $1854 : 6$: 6 mieści się w 18 trzy razy i zostaje 0. Spisujemy 5 - 6 nie mieści się w 5, więc piszemy 0. Spisujemy 4, a 6 mieści się w 54 dziewięć razy. Wynik: 309.

32.Dzielenie pisemne przez liczbę dwucyfrową

Dzielimy tak samo jak przez liczbę jednocyfrową. Pomaga wypisanie kolejnych wielokrotności dzielnika. Np. $3984 : 16$ (wielokrotności: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144): 16 mieści się w 39 dwa razy, zostaje 7; w 78 cztery razy, zostaje 14; w 144 dziewięć razy. Wynik: 249.

33.Jak obliczyć niewiadomą w mnożeniu i dzieleniu?

Niewiadomy czynnik obliczamy dzieleniem: gdy $8 \cdot x = 1736$, to $x = 1736 : 8 = 217$. Niewiadomą dzielną obliczamy mnożeniem: gdy $x : 14 = 23$, to $x = 23 \cdot 14 = 322$. Niewiadomy dzielnik obliczamy dzieleniem: gdy $945 : x = 5$, to $x = 945 : 5 = 189$.