Równoległoboki, trapezy i czworokąty - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. W równoległoboku ABCD bok AB jest równoległy do boku CD, a bok AD - do boku BC: $AB \parallel CD$ i $AD \parallel BC$. Na rysunku boki równoległe oznaczono jednakowymi znaczkami.

2.Boki równoległoboku

Przeciwległe boki równoległoboku mają tę samą długość: $AB = CD$ i $AD = BC$. Na rysunku $AB = CD = 6$ cm, a $AD = BC = 4$ cm.

3.Kąty równoległoboku leżące naprzeciwko siebie

Kąty równoległoboku leżące naprzeciwko siebie są równe: $\sphericalangle A = \sphericalangle C$ i $\sphericalangle B = \sphericalangle D$. Na rysunku równe kąty oznaczono tą samą literą.

4.Kąty leżące przy jednym boku równoległoboku

Kąty leżące przy jednym boku równoległoboku mają w sumie $180^\circ$, np. $\sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ$ i $\sphericalangle A + \sphericalangle D = 180^\circ$. Dlatego gdy jeden z nich jest ostry, drugi jest rozwarty, np. $70^\circ$ i $110^\circ$.

5.Jak obliczyć pozostałe kąty równoległoboku, gdy znamy jeden kąt?

Kąt leżący naprzeciwko danego kąta jest mu równy. Dwa pozostałe kąty obliczamy, odejmując dany kąt od $180^\circ$. Na rysunku $\sphericalangle A = 64^\circ$, więc $\gamma = 64^\circ$, a $\beta = \delta = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

6.Obwód równoległoboku i obwód rombu

Obwód to suma długości wszystkich boków. Równoległobok ma dwie pary równych boków, więc jego obwód to dwa razy jeden bok plus dwa razy drugi bok, np. dla boków 7 cm i 4 cm: $2 \cdot 7 + 2 \cdot 4 = 22$ (cm). Romb ma cztery równe boki, więc jego obwód to cztery razy bok.

7.Jak obliczyć boki równoległoboku, gdy znamy obwód i jeden bok?

Od obwodu odejmujemy dwa razy znany bok, a wynik dzielimy przez 2. Np. obwód 40 cm i bok 12 cm: $40 - 2 \cdot 12 = 16$, $16 : 2 = 8$, więc boki mają 12 cm, 8 cm, 12 cm i 8 cm. Bok rombu obliczamy, dzieląc obwód przez 4.

8.Prostokąt

Prostokąt także jest równoległobokiem. Jest to równoległobok, który ma wszystkie kąty proste.

9.Romb

Romb to równoległobok, który ma wszystkie boki równe. Jak w każdym równoległoboku, jego przeciwległe boki są równoległe, a kąty leżące naprzeciwko siebie są równe. Na rysunku kreski na bokach oznaczają boki równej długości.

10.Przekątne rombu

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a punkt przecięcia dzieli każdą z nich na połowy.

11.Dlaczego kwadrat jest rombem i prostokątem?

Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc jest rombem, i ma wszystkie kąty proste, więc jest prostokątem. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. W odróżnieniu od innych rombów kwadrat ma przekątne równej długości.

12.Przekątne równoległoboku i prostokąta

Przekątne każdego równoległoboku przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich na połowy. W prostokącie przekątne mają też równą długość.

13.Jak narysować równoległobok w zeszycie w kratkę?

Rysujemy wzdłuż linii kratek dwa równe odcinki, np. jeden nad drugim, przesunięte względem siebie. Potem łączymy ich końce i otrzymujemy równoległobok.

14.Jak narysować romb w zeszycie w kratkę?

Zaczynamy od przekątnych. Muszą być prostopadłe i dzielić się na połowy, więc rysujemy odcinek poziomy i odcinek pionowy, które przecinają się w swoich środkach. Potem łączymy końce tych odcinków. Np. dla przekątnych 8 cm i 2 cm punkt przecięcia leży 4 cm od końców poziomej i 1 cm od końców pionowej.

15.Wysokość równoległoboku

Wysokość równoległoboku to odcinek, który łączy dwa równoległe boki i jest do nich prostopadły. Wysokość może też łączyć bok z przedłużeniem drugiego boku. Na rysunku wysokość $h$ poprowadzono z wierzchołka D do boku AB.

16.Wysokość opuszczona na bok

Wysokość jest opuszczona na dany bok, jeśli jest do tego boku prostopadła. Wysokość opuszczona na bok AB jest też opuszczona na bok CD, bo te boki są równoległe. Wszystkie wysokości opuszczone na ten sam bok mają tę samą długość.

17.Ile różnych wysokości ma równoległobok?

Wysokości opuszczone na sąsiednie boki równoległoboku, np. na AB i na BC, są na ogół różnej długości. Dlatego równoległobok ma zwykle dwie różne wysokości: jedną prostopadłą do boków AB i CD, a drugą prostopadłą do boków AD i BC.

18.Wysokości rombu i prostokąta

W rombie wysokości opuszczone na sąsiednie boki są równe. W prostokącie sąsiednie boki są prostopadłe, więc wysokość opuszczona na jeden bok jest równa bokowi sąsiedniemu, np. w prostokącie o bokach 8 cm i 3 cm wysokość opuszczona na bok 8 cm ma 3 cm.

19.Jak narysować wysokość równoległoboku?

Najłatwiej narysować wysokość pionową. Gdy dwa boki leżą poziomo wzdłuż linii kratek, wysokość prowadzimy wzdłuż pionowej linii kratek od jednego boku do drugiego albo do jego przedłużenia. Gdy bok nie jest poziomy, obracamy kartkę albo przykładamy ekierkę do boku, na który opuszczamy wysokość.

20.Trapez, jego podstawy i ramiona

Trapez to czworokąt, który ma jedną parę lub dwie pary boków równoległych. Równoległe boki trapezu nazywamy podstawami, a pozostałe boki - ramionami.

21.Kąty leżące przy jednym ramieniu trapezu

Kąty leżące przy jednym ramieniu trapezu mają w sumie $180^\circ$: $\sphericalangle A + \sphericalangle D = 180^\circ$ i $\sphericalangle B + \sphericalangle C = 180^\circ$. Na rysunku $62^\circ + 118^\circ = 180^\circ$ oraz $77^\circ + 103^\circ = 180^\circ$.

22.Wysokość trapezu

W trapezie wysokość rysujemy tylko między bokami równoległymi, czyli między podstawami. Łączy ona podstawy (albo ich przedłużenia) i jest do nich prostopadła. Na rysunku wysokość $h$ poprowadzono z wierzchołka D do podstawy AB.

23.Trapez równoramienny

Trapez równoramienny ma równe ramiona i oś symetrii. Kąty przy tej samej podstawie są w nim równe: $\sphericalangle A = \sphericalangle B$ i $\sphericalangle C = \sphericalangle D$. Na rysunku równe kąty oznaczono tą samą literą, a kreski oznaczają równe ramiona.

24.Jak obliczyć kąty trapezu równoramiennego, gdy znamy jeden kąt?

Drugi kąt przy tej samej podstawie jest taki sam. Każdy kąt przy drugiej podstawie ma $180^\circ$ minus dany kąt, bo kąty przy jednym ramieniu mają razem $180^\circ$. Na rysunku: $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$, więc kąty mają $72^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$ i $108^\circ$.

25.Trapez prostokątny i jego kąty

Trapez prostokątny ma przynajmniej jedno ramię prostopadłe do podstaw. To ramię jest jednocześnie wysokością trapezu, a przy nim leżą dwa kąty proste. Dwa pozostałe kąty leżą przy drugim ramieniu, więc mają razem $180^\circ$. Na rysunku ramię AD to wysokość $h$, a $180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$.

26.Czy równoległobok jest trapezem?

Tak. Trapez ma jedną parę lub dwie pary boków równoległych, a równoległobok ma dwie pary. Dlatego każdy równoległobok - także prostokąt, romb i kwadrat - jest trapezem. Nie każdy trapez jest równoległobokiem.

27.Klasyfikacja czworokątów

Każdy trapez jest czworokątem, każdy równoległobok jest trapezem, a każdy romb i każdy prostokąt jest równoległobokiem. Kwadraty to czworokąty, które są jednocześnie rombami i prostokątami.

28.Każdy… ale nie każdy… - zależności między czworokątami

Każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem. Każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Każdy romb jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest rombem. Każdy równoległobok jest trapezem, ale nie każdy trapez jest równoległobokiem.

29.Suma kątów czworokąta

Suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. Przekątna dzieli każdy czworokąt na dwa trójkąty, a suma kątów każdego trójkąta jest równa $180^\circ$, więc $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

30.Jak obliczyć czwarty kąt czworokąta?

Dodajemy trzy znane kąty i odejmujemy ich sumę od $360^\circ$. Np. dla kątów $95^\circ$, $70^\circ$ i $115^\circ$: $360^\circ - (95^\circ + 70^\circ + 115^\circ) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$.