Trójkąty i ich wysokości - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Z trzech odcinków można zbudować trójkąt, gdy najdłuższy odcinek jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Np. z odcinków 3 cm, 6 cm i 8 cm można, bo $3 + 6 = 9 > 8$. Z odcinków 4 cm, 6 cm i 10 cm nie można, bo $4 + 6 = 10$ - krótsze odcinki położą się na najdłuższym.

2.Jak to sprawdzić, gdy długości podano w różnych jednostkach?

Najpierw zamieniamy wszystkie długości na tę samą jednostkę, potem szukamy najdłuższego odcinka i porównujemy go z sumą dwóch pozostałych. Np. 5 cm, 38 mm i 1 dm to 50 mm, 38 mm i 100 mm: $50 + 38 = 88 < 100$, więc trójkąta nie zbudujemy.

3.Suma kątów trójkąta

Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Gdy oderwiemy kąty trójkąta i ułożymy je obok siebie przy jednym punkcie, razem utworzą kąt półpełny.

4.Jak obliczyć trzeci kąt trójkąta?

Dodajemy dwa znane kąty i odejmujemy sumę od $180^\circ$. Na rysunku: $\alpha = 180^\circ - (72^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

5.Jak obliczyć kąty trójkąta, gdy znamy kąt przyległy do jednego z nich?

Najpierw obliczamy kąt trójkąta przyległy do danego kąta: odejmujemy go od $180^\circ$. Na rysunku $\sphericalangle C = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Ta sama litera $\alpha$ oznacza równe kąty. Dwa kąty $\alpha$ mają razem $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$, więc $\alpha = 130^\circ : 2 = 65^\circ$.

6.Rodzaje trójkątów ze względu na kąty

W każdym trójkącie przynajmniej dwa kąty są ostre. Gdy trzeci kąt też jest ostry, trójkąt jest ostrokątny. Gdy trzeci kąt jest prosty - prostokątny. Gdy trzeci kąt jest rozwarty - rozwartokątny.

7.Dlaczego trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych?

Dwa kąty proste mają razem $180^\circ$, a dwa kąty rozwarte - więcej niż $180^\circ$. Na trzeci kąt nic by nie zostało, a suma kątów trójkąta wynosi dokładnie $180^\circ$. Dlatego trójkąt ma najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty.

8.Kąty ostre trójkąta prostokątnego

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty i dwa kąty ostre. Dwa kąty ostre mają razem $90^\circ$, bo $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Na rysunku $\alpha = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$.

9.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym boki przy kącie prostym to przyprostokątne, a bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Na rysunku $b$ i $c$ to przyprostokątne, a $a$ - przeciwprostokątna.

10.Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe. Ma też równe wszystkie kąty: każdy z kątów ma $60^\circ$, bo $180^\circ : 3 = 60^\circ$.

11.Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki równe. Dwa boki tej samej długości to ramiona, a trzeci bok to podstawa. Trójkąt równoboczny też jest równoramienny.

12.Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego

W trójkącie równoramiennym kąty leżące przy podstawie są równe. Na rysunku oba kąty przy podstawie oznaczono tą samą literą $\alpha$. Trzeci kąt leży między ramionami.

13.Trójkąt różnoboczny

Jeżeli każdy bok trójkąta ma inną długość, to taki trójkąt nazywamy różnobocznym, np. trójkąt o bokach 4 cm, 5 cm i 7 cm.

14.Rodzaje trójkątów ze względu na boki

Ze względu na boki trójkąty dzielimy na równoramienne (mają przynajmniej dwa boki równe) i różnoboczne (każdy bok ma inną długość). Trójkąty równoboczne są częścią trójkątów równoramiennych.

15.Jak obliczyć kąty trójkąta równoramiennego, gdy znamy kąt przy podstawie?

Drugi kąt przy podstawie jest taki sam. Kąt między ramionami to $180^\circ$ minus suma kątów przy podstawie. Np. gdy kąt przy podstawie ma $35^\circ$: drugi też ma $35^\circ$, a kąt między ramionami $180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ$.

16.Jak obliczyć kąty przy podstawie, gdy znamy kąt między ramionami?

Odejmujemy kąt między ramionami od $180^\circ$ i wynik dzielimy przez 2, bo kąty przy podstawie są równe. Np. gdy kąt między ramionami ma $50^\circ$: $(180^\circ - 50^\circ) : 2 = 130^\circ : 2 = 65^\circ$.

17.Obwód trójkąta równobocznego i równoramiennego

Obwód to suma długości wszystkich boków. W trójkącie równobocznym obwód to 3 razy bok, więc bok = obwód : 3, np. przy obwodzie 27 cm bok ma 9 cm. W trójkącie równoramiennym obwód to 2 razy ramię plus podstawa, np. $2 \cdot 7~\mathrm{cm} + 5~\mathrm{cm} = 19~\mathrm{cm}$.

18.Ile osi symetrii mają trójkąty?

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. Trójkąt, który jest równoramienny, ale nie jest równoboczny, ma jedną oś symetrii - przechodzi przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy. Inne trójkąty nie mają osi symetrii.

19.Jak narysować trójkąt równoboczny cyrklem i linijką?

1. Rysujemy jeden bok trójkąta, np. odcinek $AB$. 2. Wokół każdego z końców tego boku rysujemy okrąg o promieniu równym długości boku. 3. Okręgi przecinają się w dwóch punktach. Wybieramy jeden z nich i łączymy go z końcami pierwszego boku.

20.Kąty trójkąta prostokątnego równoramiennego

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ramionami są przyprostokątne, a kąt prosty leży między nimi. Kąty przy podstawie są równe i mają razem $90^\circ$, więc każdy ma $45^\circ$.

21.Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (albo do jego przedłużenia). Na rysunku wysokość $h$ opuszczono z wierzchołka $C$ na bok $AB$. Z każdego wierzchołka można opuścić wysokość, więc każdy trójkąt ma trzy wysokości.

22.Wysokości w trójkącie ostrokątnym

W trójkącie ostrokątnym wszystkie trzy wysokości leżą wewnątrz trójkąta.

23.Wysokości w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym dwie wysokości są równocześnie bokami tego trójkąta - przyprostokątnymi. Trzecia wysokość, opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, leży wewnątrz trójkąta.

24.Wysokości w trójkącie rozwartokątnym

W trójkącie rozwartokątnym tylko jedną wysokość - z wierzchołka kąta rozwartego - opuszczamy na bok trójkąta. Leży ona wewnątrz trójkąta. Pozostałe dwie wysokości opuszcza się na przedłużenia boków, więc leżą na zewnątrz trójkąta.

25.Jak narysować wysokość trójkąta ekierką?

1. Przykładamy ekierkę jedną przyprostokątną do boku, na który opuszczamy wysokość (albo do jego przedłużenia). 2. Przesuwamy ekierkę wzdłuż boku, aż druga przyprostokątna dotknie wierzchołka. 3. Wzdłuż niej rysujemy odcinek od wierzchołka do boku. Pomaga obrócenie kartki tak, żeby ten bok był na dole.