Proste, półproste i kąty - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Płaszczyzna

Płaszczyzna jest nieograniczona - można ją sobie wyobrazić jako niekończącą się płaską kartkę. Prosta, odcinek, trójkąt czy okrąg to figury leżące na płaszczyźnie.

2.Jak oznaczamy punkty, proste i odcinki?

Punkty oznaczamy wielkimi literami, np. $A$, $B$, $C$, a proste - małymi literami, np. $p$, $r$, $a$. Prostą możemy też nazwać dwoma jej punktami, np. prosta $DE$. Odcinek nazywamy, podając jego końce, np. odcinek $KL$.

3.Ile prostych przechodzi przez jeden punkt, a ile przez dwa różne punkty?

Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych. Przez dwa różne punkty można zawsze poprowadzić tylko jedną prostą.

4.Czy przez trzy punkty zawsze można poprowadzić prostą?

Nie zawsze. Prostą przez trzy punkty można poprowadzić tylko wtedy, gdy wszystkie trzy leżą na jednej prostej. Gdy punkt $T$ leży poza prostą $RS$, przez punkty $R$, $S$, $T$ nie poprowadzimy prostej.

5.Proste przecinające się i proste równoległe

Dwie proste na płaszczyźnie przecinają się w jednym punkcie albo się nie przecinają. Proste, które się nie przecinają, nazywamy równoległymi i zapisujemy: $a \parallel b$. Proste mogą się też przecinać poza kartką - wtedy nie są równoległe.

6.Proste prostopadłe

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym. Zapisujemy to tak: $g \perp h$. Proste, które przecinają się pod innym kątem, nie są prostopadłe.

7.Półprosta

Półprosta ma początek, ale nie ma końca. Nazywamy ją dwoma punktami: najpierw jej początek, potem inny jej punkt. Półprosta $AB$ zaczyna się w punkcie $A$ i biegnie przez $B$, a półprosta $BA$ zaczyna się w $B$ - to inna półprosta.

8.Kiedy odcinki i półproste są prostopadłe?

Odcinki i półproste są prostopadłe, gdy leżą na prostych prostopadłych - nie muszą się przy tym stykać. Tak samo odcinek jest prostopadły do prostej, gdy leży na prostej do niej prostopadłej.

9.Kiedy odcinki i półproste są równoległe?

Odcinki i półproste są równoległe, gdy leżą na prostych równoległych. Odcinki i półproste leżące na tej samej prostej też są równoległe. Tak samo jest z równoległością odcinka i prostej.

10.Jak narysować prostą równoległą do prostej $k$ za pomocą linijki i ekierki?

1. Przykładamy ekierkę jednym bokiem do prostej $k$. 2. Do drugiego boku ekierki przykładamy linijkę. 3. Przytrzymujemy linijkę i przesuwamy wzdłuż niej ekierkę. 4. Wzdłuż boku ekierki, który leżał na prostej $k$, rysujemy nową prostą - jest równoległa do $k$.

11.Jak położone są dwie proste prostopadłe do tej samej prostej?

Dwie różne proste prostopadłe do tej samej prostej są do siebie równoległe: gdy $a \perp c$ i $b \perp c$, to $a \parallel b$. Z kolei prosta prostopadła do jednej z dwóch prostych równoległych jest prostopadła także do drugiej.

12.Wierzchołek, ramiona i wnętrze kąta

W kącie $BAC$ punkt $A$ to wierzchołek kąta, a półproste $AB$ i $AC$ to ramiona kąta. Część płaszczyzny między ramionami kąta to wnętrze kąta.

13.Jak oznaczamy kąty?

Kąt oznaczamy trzema literami, np. $\sphericalangle KOL$ lub $\sphericalangle LOK$ - litera wierzchołka stoi zawsze w środku. Można też podać tylko wierzchołek: $\sphericalangle O$. Często używamy małych liter greckich: $\alpha$ - alfa, $\beta$ - beta, $\gamma$ - gamma, $\delta$ - delta.

14.Po co zaznaczamy kąt łukiem?

Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa różne kąty - jeden po jednej stronie ramion, drugi po drugiej. Łukiem przy wierzchołku zaznaczamy, o który z tych kątów chodzi.

15.Jak porównać dwa kąty?

Wyobrażamy sobie, że wycinamy jeden kąt i nakładamy go na drugi tak, żeby pokryły się wierzchołki i jedno ramię. Większy jest ten kąt, którego drugie ramię leży na zewnątrz drugiego kąta. Długość narysowanych ramion nie ma znaczenia.

16.Kąt prosty, kąt półpełny i kąt pełny

Kąt prosty ma ramiona prostopadłe; zaznaczamy go łukiem z kropką. Dwa kąty proste tworzą kąt półpełny - jedno jego ramię jest przedłużeniem drugiego. Cztery kąty proste tworzą kąt pełny - jego ramiona się pokrywają.

17.Kąt ostry i kąt rozwarty

Kąty mniejsze od kąta prostego to kąty ostre. Kąty większe od kąta prostego, ale mniejsze od kąta półpełnego, to kąty rozwarte. Na rysunku: kąt ostry, prosty, rozwarty i półpełny.

18.Kąty przyległe

Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię, a razem tworzą kąt półpełny. Ich pozostałe ramiona leżą na jednej prostej. Na rysunku kąty $\alpha$ i $\beta$ są przyległe.

19.Kąty wierzchołkowe

Dwie przecinające się proste tworzą cztery kąty. Kąty leżące naprzeciw siebie to kąty wierzchołkowe - są równe. Na rysunku dwa kąty $\alpha$ są wierzchołkowe i dwa kąty $\beta$ też. Są tu 2 pary kątów wierzchołkowych i 4 pary kątów przyległych.

20.Co to jest 1 stopień?

Kąty mierzymy w stopniach. Gdy kąt prosty podzielimy na 90 równych kątów, każdy z nich ma 1 stopień ($1^\circ$). Kąt prosty ma więc $90^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt pełny $360^\circ$.

21.Ile stopni mają kąty różnych rodzajów?

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$, a kąt pełny $360^\circ$.

22.O ile stopni obracają się wskazówki zegara?

Wskazówka minutowa obraca się o kąt pełny, czyli $360^\circ$, w ciągu godziny, więc w ciągu minuty - o $360^\circ : 60 = 6^\circ$. Wskazówka godzinowa obraca się o $360^\circ$ w ciągu 12 godzin, więc w ciągu godziny - o $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Np. w 10 minut minutowa obraca się o $60^\circ$, a w 3 godziny godzinowa - o $90^\circ$.

23.Kąt wklęsły

Kąt wklęsły jest większy od kąta półpełnego, ale mniejszy od kąta pełnego: ma więcej niż $180^\circ$ i mniej niż $360^\circ$. Aby go zmierzyć, mierzymy kąt między tymi samymi ramionami po drugiej stronie i odejmujemy jego miarę od $360^\circ$, np. $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.

24.Jak zmierzyć kąt kątomierzem?

1. Ustawiamy kątomierz tak, żeby wierzchołek kąta był w zaznaczonym środku kątomierza. 2. Jedno ramię kąta ma przechodzić przez $0^\circ$ na jednej ze skal - z tej skali korzystamy. 3. Na tej samej skali odczytujemy liczbę przy drugim ramieniu - to miara kąta.

25.Która skala kątomierza jest właściwa?

Kątomierz ma dwie skale: jedna rośnie od lewej, druga od prawej. Liczby stojące przy tej samej kresce dają razem $180^\circ$, np. 40 i 140. Odczytujemy liczbę ze skali, na której pierwsze ramię leży na 0. Przed pomiarem sprawdź, czy kąt jest ostry, czy rozwarty - to chroni przed odczytem ze złej skali.

26.Jak narysować kąt o podanej mierze?

1. Zaznaczamy wierzchołek i rysujemy jedno ramię. 2. Przykładamy kątomierz jak przy mierzeniu: środek w wierzchołku, ramię na 0 jednej skali. 3. Na tej skali zaznaczamy punkt przy podanej liczbie, np. 115. 4. Linijką rysujemy drugie ramię przez wierzchołek i zaznaczony punkt.

27.Jak obliczyć kąt przyległy do danego kąta?

Kąty przyległe razem tworzą kąt półpełny, więc mają razem $180^\circ$. Drugi kąt obliczamy odejmowaniem. Na rysunku jeden kąt ma $63^\circ$, więc kąt do niego przyległy ma $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.

28.Jak obliczyć kąty przy dwóch przecinających się prostych?

Wystarczy znać jeden kąt, np. $75^\circ$. Kąt do niego wierzchołkowy też ma $75^\circ$. Każdy z dwóch kątów przyległych ma $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

29.Jak obliczyć brakujący kąt, gdy kilka kątów tworzy kąt półpełny lub pełny?

Kąty, które razem tworzą kąt półpełny, mają razem $180^\circ$, a kąty, które razem tworzą kąt pełny - $360^\circ$. Brakujący kąt to $180^\circ$ (albo $360^\circ$) minus suma znanych kątów, np. $180^\circ - (40^\circ + 65^\circ) = 75^\circ$.