Potęgowanie, kolejność działań, zadania tekstowe - Matematyka w punkt 4

1.Jak zapisać sumę jednakowych liczb?

Sumę jednakowych liczb można zapisać w postaci iloczynu. Wystarczy policzyć, ile razy dana liczba występuje w sumie. Na przykład $5 + 5 + 5 + 5 = 4 \cdot 5$.

2.Co to jest potęga?

Iloczyn jednakowych liczb zapisujemy za pomocą potęgi. Na przykład $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4$, bo liczbę 6 mnożymy przez siebie 4 razy.

3.Podstawa i wykładnik potęgi

W potędze $5^4$ liczba 5 to podstawa potęgi, a mała liczba 4 zapisana u góry to wykładnik potęgi. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę przez siebie: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

4.Jak przeczytać potęgi $6^2$ i $6^3$?

$6^2$ czytamy: sześć do potęgi drugiej, druga potęga liczby sześć, sześć do kwadratu albo kwadrat liczby sześć. $6^3$ czytamy: sześć do potęgi trzeciej, trzecia potęga liczby sześć, sześć do sześcianu albo sześcian liczby sześć.

5.Kwadrat liczby

Kwadrat liczby to jej druga potęga, czyli iloczyn dwóch takich samych liczb. Na przykład kwadrat liczby 11 to $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$. Tyle małych kwadratów ma duży kwadrat z 11 rzędów po 11 kwadratów.

6.Sześcian liczby

Sześcian liczby to jej trzecia potęga, czyli iloczyn trzech takich samych liczb. Na przykład sześcian liczby 7 to $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$. Tyle małych kostek ma duża kostka z 7 warstw po 7 rzędów po 7 kostek.

7.Częsty błąd: mnożenie podstawy przez wykładnik

Podstawy potęgi nie mnożymy przez wykładnik. Wykładnik mówi, ile razy podstawa występuje w iloczynie. Na przykład $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$, a nie $8 \cdot 2 = 16$.

8.Jak obliczyć potęgę krok po kroku?

Najpierw mnożymy podstawę przez podstawę. Potem każdy kolejny wynik mnożymy jeszcze raz przez podstawę. Kończymy, gdy podstawa wystąpi w iloczynie tyle razy, ile wynosi wykładnik. Na przykład $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$: najpierw $4 \cdot 4 = 16$, potem $16 \cdot 4 = 64$.

9.Potęgi liczby 1 i potęga z wykładnikiem 1

Liczba 1 podniesiona do każdej potęgi jest równa 1, np. $1^9 = 1$. Jeśli wykładnik potęgi jest równy 1, to wynik potęgowania jest równy podstawie potęgi, np. $37^1 = 37$.

10.Potęga zerowa i potęgi liczby 0

Każda liczba różna od 0 podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1, np. $15^0 = 1$. Zero podniesione do potęgi drugiej, trzeciej i każdej dalszej jest równe 0, np. $0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

11.Jak obliczyć potęgę liczby 10?

Liczbę 10 mnożymy przez siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik. Wynik to jedynka i tyle zer, ile wynosi wykładnik. Na przykład $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

12.Podwajanie a potęgi liczby 2

Gdy ilość czegoś co godzinę się podwaja, to po 1 godzinie jest tego 2 razy więcej niż na początku, po 2 godzinach $2^2 = 4$ razy więcej, a po 3 godzinach $2^3 = 8$ razy więcej. Liczba godzin jest wykładnikiem.

13.Wyrażenie arytmetyczne

Wyrażenie arytmetyczne to pojedyncza liczba lub kilka liczb, także w postaci potęg, połączonych znakami działań oraz nawiasami. Na przykład $7$, $12 - 5$ albo $3^2 + (8 - 2) : 3$.

14.Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgowanie. 3. Mnożenie i dzielenie w kolejności występowania, czyli od lewej do prawej. 4. Dodawanie i odejmowanie w kolejności występowania, czyli od lewej do prawej.

15.Mnożenie przed dodawaniem i odejmowaniem

Gdy w wyrażeniu nie ma nawiasów ani potęg, a są mnożenie lub dzielenie oraz dodawanie lub odejmowanie, najpierw mnożymy i dzielimy. Na przykład $7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$, a nie $10 \cdot 4 = 40$.

16.Mnożenie i dzielenie w jednym wyrażeniu

Gdy w wyrażeniu są tylko mnożenie i dzielenie, wykonujemy je w kolejności występowania, od lewej do prawej. Na przykład $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, a nie $24 : 8 = 3$.

17.Dodawanie i odejmowanie w jednym wyrażeniu

Gdy w wyrażeniu są tylko dodawanie i odejmowanie, wykonujemy je w kolejności występowania, od lewej do prawej. Na przykład $20 - 8 + 2 = 12 + 2 = 14$, a nie $20 - 10 = 10$.

18.Potęgowanie przed mnożeniem

Po działaniach w nawiasach potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem. Na przykład $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, a nie $6^2 = 36$.

19.Działania w nawiasach

Działania w nawiasach wykonujemy najpierw. Nawias może zmienić wynik: $(7 + 3) \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$, a bez nawiasu $7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$.

20.Kolejność działań wewnątrz nawiasu

W nawiasie też obowiązuje kolejność działań: najpierw potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Na przykład $(5 + 3 \cdot 4) \cdot 2 = (5 + 12) \cdot 2 = 17 \cdot 2 = 34$.

21.Jak obliczać wyrażenie krok po kroku?

W każdym kroku wyróżniamy działanie, które ma pierwszeństwo, i przepisujemy resztę wyrażenia. Na przykład $40 - (3 + 2^2) \cdot 5 = 40 - (3 + 4) \cdot 5 = 40 - 7 \cdot 5 = 40 - 35 = 5$.

22.Jak zapisać polecenie słowne jednym wyrażeniem?

Gdy sumę lub różnicę trzeba pomnożyć albo podzielić, bierzemy ją w nawias. Na przykład „sumę liczb 4 i 6 pomnóż przez 3” to $(4 + 6) \cdot 3 = 30$, a „do iloczynu liczb 4 i 6 dodaj 3” to $4 \cdot 6 + 3 = 27$.

23.Rozwiązanie zadania jednym wyrażeniem

Obliczenia z zadania można zapisać jednym wyrażeniem arytmetycznym. Na przykład Ola ma 20 zł i kupuje 3 zeszyty po 4 zł i 2 długopisy po 3 zł. Zostanie jej $20 - (3 \cdot 4 + 2 \cdot 3) = 20 - 18 = 2$ zł.

24.Zasady rozwiązywania zadań tekstowych

1. Przeczytaj uważnie treść zadania. 2. Zapisz dane. 3. Zapisz szukane. 4. Zapisz kolejno wszystkie obliczenia. 5. Sprawdź wynik. 6. Zapisz odpowiedź.

25.Dane i szukane

Dane to najważniejsze informacje z zadania. Można je wypisać jedna pod drugą, przedstawić w tabeli albo narysować. Szukane to to, co musisz obliczyć.

26.Jak zapisać dane, które zależą od innych danych?

Brakującą daną obliczamy od razu przy zapisie danych. Na przykład Ola ma 6 naklejek, Ewa 3 razy więcej, czyli $6 \cdot 3 = 18$, a Zosia o 5 mniej niż Ewa, czyli $18 - 5 = 13$. Razem mają $6 + 18 + 13 = 37$ naklejek.

27.Jak sprawdzić wynik zadania tekstowego?

Sprawdzamy, czy wynik spełnia wszystkie warunki z treści zadania i czy jest rozsądny. Wynik niemożliwy, na przykład uczeń wyższy niż 3 metry, oznacza błąd w obliczeniach.

28.Metoda prób i poprawek

Zgadujemy wynik i sprawdzamy go z treścią zadania. Jeśli wychodzi za dużo albo za mało, poprawiamy próbę i znów sprawdzamy, aż wynik będzie dobry. Kolejne próby wygodnie zapisywać w tabeli.

29.Metoda prób i poprawek - przykład

Samochodów na parkingu jest 2 razy więcej niż motocykli, a wszystkich pojazdów jest 45. Próba 10 motocykli: $10 + 20 = 30$, za mało. Próba 17: $17 + 34 = 51$, za dużo. Próba 15: $15 + 30 = 45$, dobrze. Jest 15 motocykli i 30 samochodów.