Cyfry rzymskie, przybliżenia, działania pisemne - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Cyfry rzymskie

W zapisie rzymskim używamy siedmiu cyfr: I to 1, V to 5, X to 10, L to 50, C to 100, D to 500, a M to 1000. Cyfry od 0 do 9, których używamy na co dzień, nazywamy cyframi arabskimi.

2.Jak odczytać liczbę zapisaną cyframi rzymskimi?

Na ogół cyfry stoją w kolejności od największej do najmniejszej i wtedy je dodajemy. Np. XXVII to 27, bo $10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27$, a DCLX to 660, bo $500 + 100 + 50 + 10 = 660$.

3.Kiedy w zapisie rzymskim odejmujemy?

Gdy mniejsza cyfra stoi przed większą, zamiast dodawać, odejmujemy. Tak zapisujemy tylko sześć liczb: IV to 4, IX to 9, XL to 40, XC to 90, CD to 400, CM to 900. Np. CMXC to 990, bo $900 + 90 = 990$.

4.Ile jednakowych cyfr rzymskich może stać obok siebie?

Nigdy nie zapisujemy obok siebie więcej niż trzech jednakowych cyfr. Dlatego 30 to XXX, ale 40 to XL, a nie XXXX. Tak samo 300 to CCC, a 400 to CD. Liczba 3000 to MMM.

5.Jak łatwiej odczytać długą liczbę rzymską?

Oddzielamy w niej, np. kreskami, tysiące, setki, dziesiątki i jedności. Każdą grupę zamieniamy na liczbę i dodajemy. Np. MDCCXLIX dzielimy na M, DCC, XL i IX, czyli $1000 + 700 + 40 + 9 = 1749$.

6.Czym różni się zapis rzymski od arabskiego?

W zapisie arabskim znaczenie cyfry zależy od jej miejsca: w liczbie 111 pierwsza jedynka to 1 setka, druga to 1 dziesiątka, a trzecia to 1 jedność. W zapisie rzymskim każda cyfra I oznacza jedność, więc III to po prostu 3.

7.Jak zapisać liczbę cyframi rzymskimi?

Rozkładamy liczbę na tysiące, setki, dziesiątki i jedności, każdą część zapisujemy cyframi rzymskimi i piszemy je po kolei. Np. $2368 = 2000 + 300 + 60 + 8$, czyli MM, CCC, LX i VIII, więc 2368 to MMCCCLXVIII. Podobnie $1945 = 1000 + 900 + 40 + 5$, czyli MCMXLV.

8.Jak porównać liczby zapisane cyframi rzymskimi?

Zamieniamy je na liczby zapisane cyframi arabskimi i dopiero wtedy porównujemy. Dłuższy zapis nie musi oznaczać większej liczby: MDCCCLXXXVIII to 1888, a krótki zapis MM to 2000, więc liczba MM jest większa.

9.Gdzie spotykamy cyfry rzymskie?

Cyframi rzymskimi zapisuje się m.in. wieki (XXI wiek), numery władców o tym samym imieniu (Kazimierz III Wielki), numery niektórych szkół, daty na starych budowlach, a czasem numery rzędów w kinie.

10.Szacowanie wyniku

Oszacować wynik to obliczyć go w przybliżeniu: liczby zastępujemy pobliskimi pełnymi dziesiątkami, setkami lub tysiącami. Tak szybko sprawdzimy, czy wynik ma sens: $412 \cdot 198$ to około $400 \cdot 200 = 80\,000$, więc wynik 8176 jest na pewno błędny.

11.Jak oszacować, że pieniędzy wystarczy?

Każdą cenę zastępujemy liczbą większą i łatwą do dodania. Jeśli nawet taka suma nie przekracza kwoty, którą mamy, pieniędzy na pewno wystarczy: $386 + 247 + 158 < 400 + 250 + 200 = 850$, więc 850 zł wystarczy.

12.Jak oszacować, że pieniędzy nie wystarczy?

Każdą cenę zastępujemy liczbą mniejszą i łatwą do dodania. Jeśli nawet taka suma jest większa od kwoty, którą mamy, pieniędzy na pewno nie wystarczy: $386 + 247 + 158 > 380 + 240 + 150 = 770$, więc 750 zł nie wystarczy.

13.Szacowanie iloczynu

Jeden czynnik zastępujemy liczbą większą albo mniejszą, łatwą do mnożenia. 12 książek po 28 zł: $12 \cdot 28 < 12 \cdot 30 = 360$, więc 400 zł wystarczy. Z drugiej strony $12 \cdot 28 > 12 \cdot 25 = 300$, więc 300 zł nie wystarczy.

14.Kiedy szacowanie nie rozstrzyga?

Gdy nasza kwota leży między oszacowaniem z dołu a oszacowaniem z góry, szacowanie nie daje odpowiedzi i trzeba policzyć dokładnie. Np. $300 < 12 \cdot 28 < 360$, więc dla 340 zł liczymy: $12 \cdot 28 = 336$, a $336 < 340$, czyli pieniędzy wystarczy.

15.Szacowanie różnicy

Różnica jest większa, gdy odjemna jest większa, a odjemnik mniejszy. Dlatego $1572 - 389 < 1600 - 300 = 1300$, bo odjemną zwiększyliśmy, a odjemnik zmniejszyliśmy. Odwrotnie $1572 - 389 > 1500 - 400 = 1100$, bo odjemną zmniejszyliśmy, a odjemnik zwiększyliśmy.

16.Dodawanie pisemne - jak podpisać liczby?

Liczby podpisujemy starannie jedna pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami. Dodajemy kolumnami, zaczynając od jedności, czyli od prawej strony. Np. przy dodawaniu $4207 + 85$ cyfrę 5 piszemy pod cyfrą 7, a cyfrę 8 pod cyfrą 0.

17.Przeniesienie w dodawaniu pisemnym

Gdy suma cyfr w kolumnie jest większa od 9, pod kreską piszemy tylko jej cyfrę jedności, a dziesiątkę przenosimy do następnej kolumny. $568 + 274$: jedności $8 + 4 = 12$, piszemy 2 i przenosimy 1; dziesiątki $6 + 7 + 1 = 14$, piszemy 4 i przenosimy 1; setki $5 + 2 + 1 = 8$. Wynik: 842.

18.Dodawanie pisemne kilku liczb

Gdy dodajemy trzy lub więcej liczb, suma w kolumnie może być większa od 19 - wtedy przenosimy 2. $476 + 358 + 289$: jedności $6 + 8 + 9 = 23$, piszemy 3 i przenosimy 2; dziesiątki $7 + 5 + 8 + 2 = 22$, piszemy 2 i przenosimy 2; setki $4 + 3 + 2 + 2 = 11$. Wynik: 1123.

19.Sprawdzanie wyniku szacowaniem

Po obliczeniu pisemnym warto oszacować wynik. Szacowanie ułatwia sprawdzenie, czy wynik nie jest błędny. Np. $568 + 274$ to około $570 + 270 = 840$, więc wynik 842 jest rozsądny, a wynik 642 albo 8420 jest na pewno błędny.

20.Odejmowanie pisemne

Odjemną piszemy u góry, a odjemnik pod nią: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Odejmujemy kolumnami od prawej strony: od cyfry odjemnej odejmujemy cyfrę odjemnika. Np. $786 - 352$: $6 - 2 = 4$, $8 - 5 = 3$, $7 - 3 = 4$, więc wynik to 434.

21.Pożyczka w odejmowaniu pisemnym

Gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika, pożyczamy 1 z sąsiedniej kolumny po lewej: tamtą cyfrę zmniejszamy o 1, a do naszej dodajemy 10. $752 - 368$: $2 < 8$, więc 5 zmienia się w 4, a 2 w 12, i $12 - 8 = 4$. Dalej $4 < 6$, więc 7 zmienia się w 6, a 4 w 14, i $14 - 6 = 8$. Na końcu $6 - 3 = 3$. Wynik: 384.

22.Pożyczka, gdy w sąsiedniej kolumnie jest zero

Z zera nie da się pożyczyć, więc pożyczamy z dalszej kolumny. $603 - 247$: 6 setek zmienia się w 5, a zero dziesiątek w 10. Potem z tych 10 dziesiątek pożyczamy jedną: 10 zmienia się w 9, a 3 w 13. Teraz $13 - 7 = 6$, $9 - 4 = 5$, $5 - 2 = 3$. Wynik: 356.

23.Jak sprawdzić odejmowanie?

Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: do różnicy dodajemy odjemnik i musi wyjść odjemna. Np. $603 - 247 = 356$, bo $356 + 247 = 603$. Takie sprawdzenie warto robić zwłaszcza wtedy, gdy zdarzają się nam błędy.

24.Jak obliczyć niewiadomą w dodawaniu lub odejmowaniu?

Niewiadomy składnik obliczamy odejmowaniem: gdy $x + 345 = 812$, to $x = 812 - 345 = 467$. Niewiadomą odjemną obliczamy dodawaniem: gdy $x - 129 = 486$, to $x = 486 + 129 = 615$. Niewiadomy odjemnik obliczamy odejmowaniem: gdy $900 - x = 358$, to $x = 900 - 358 = 542$.

25.Jak obliczyć, ile lat minęło?

Od późniejszego roku odejmujemy wcześniejszy: od roku 1410 do roku 1683 minęły $1683 - 1410 = 273$ lata. Gdy wiemy, ile lat później coś się stało, dodajemy: 45 lat po roku 1683 to rok $1683 + 45 = 1728$.