Działania pamięciowe, potęgi i kolejność działań - Matematyka z kluczem 5 cz. 1

1.Zamiana kolejności liczb w dodawaniu

W dodawaniu można zamieniać kolejność liczb i łączyć je w pary - suma się nie zmienia. Najpierw dodajemy liczby, które razem dają pełne dziesiątki lub setki: $37 + 48 + 63 = 37 + 63 + 48 = 100 + 48 = 148$.

2.Zamiana kolejności liczb w mnożeniu

W mnożeniu też można zamieniać kolejność liczb - iloczyn się nie zmienia. Najpierw mnożymy pary, które dają 10 lub 100, np. 2 i 5 albo 4 i 25: $5 \cdot 19 \cdot 2 = 10 \cdot 19 = 190$, $4 \cdot 13 \cdot 25 = 100 \cdot 13 = 1300$.

3.Mnożenie „po kawałku”

Większy czynnik rozkładamy na dziesiątki i jedności, mnożymy każdą część osobno i dodajemy wyniki: $7 \cdot 34 = 7 \cdot 30 + 7 \cdot 4 = 210 + 28 = 238$.

4.Mnożenie z pomocą odejmowania

Gdy czynnik jest bliski pełnej dziesiątce lub setce, mnożymy przez tę pełną liczbę i odejmujemy to, co dodaliśmy za dużo: $39 \cdot 4 = 40 \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 160 - 4 = 156$. Podobnie $98 \cdot 3 = 100 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 300 - 6 = 294$.

5.Dzielenie „po kawałku”

Dzielną rozkładamy na części, które łatwo podzielić przez dzielnik, dzielimy każdą część i dodajemy wyniki: $486 : 2 = 400 : 2 + 80 : 2 + 6 : 2 = 200 + 40 + 3 = 243$. Czasem trzeba sprytnie dobrać części: $312 : 6 = 300 : 6 + 12 : 6 = 50 + 2 = 52$.

6.Mnożenie i dzielenie przez 4 w pamięci

Mnożenie przez 4 to dwa razy mnożenie przez 2: $36 \cdot 4 = 36 \cdot 2 \cdot 2 = 72 \cdot 2 = 144$. Dzielenie przez 4 to dwa razy dzielenie przez 2: $92 : 4 = 92 : 2 : 2 = 46 : 2 = 23$.

7.Mnożenie i dzielenie przez 5 w pamięci

Mnożąc przez 5, mnożymy przez 10 i dzielimy przez 2: $46 \cdot 5 = 46 \cdot 10 : 2 = 460 : 2 = 230$. Dzieląc przez 5, mnożymy przez 2 i dzielimy przez 10: $85 : 5 = 85 \cdot 2 : 10 = 170 : 10 = 17$.

8.Działania z zerem i jedynką

Dodanie zera nie zmienia liczby: $315 + 0 = 315$. Iloczyn z zerem to zero: $0 \cdot 315 = 0$. Mnożenie i dzielenie przez 1 nie zmienia liczby: $315 \cdot 1 = 315$, $315 : 1 = 315$. Liczba różna od zera podzielona przez samą siebie daje 1: $315 : 315 = 1$, a zero podzielone przez liczbę daje 0: $0 : 315 = 0$. Przez zero nie dzielimy.

9.Mnożenie liczb dwucyfrowych „po kawałku”

Jeden czynnik rozkładamy na dziesiątki i jedności: $14 \cdot 13 = 14 \cdot 10 + 14 \cdot 3 = 140 + 42 = 182$. Można też rozłożyć oba czynniki i dodać cztery iloczyny: $14 \cdot 13 = 10 \cdot 10 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 10 + 4 \cdot 3 = 100 + 30 + 40 + 12 = 182$.

10.Mnożenie liczb z zerami na końcu

Najpierw mnożymy liczby otrzymane po odrzuceniu zer, a potem do wyniku dopisujemy z prawej strony wszystkie odrzucone zera: $30 \cdot 700 = 21\,000$, bo $3 \cdot 7 = 21$ i dopisujemy 3 zera. Uwaga: $40 \cdot 50 = 2000$, bo $4 \cdot 5 = 20$ i dopisujemy jeszcze 2 zera. Tak samo $34 \cdot 20 = 680$, bo $34 \cdot 2 = 68$.

11.Dzielenie liczby z zerami na końcu

Gdy zera na końcu ma tylko dzielna, dzielimy liczbę bez tych zer i dopisujemy je do wyniku: $3500 : 7 = 500$, bo $35 : 7 = 5$ i dopisujemy 2 zera. Gdy liczba bez zer nie dzieli się przez dzielnik, odrzucamy mniej zer: $300 : 6 = 50$, bo $30 : 6 = 5$.

12.Pomijanie zer w dzielnej i dzielniku

Jeżeli i dzielna, i dzielnik mają zera na końcu, możemy pominąć tyle samo zer w dzielnej i w dzielniku, a iloraz się nie zmieni: $18\,000 : 300 = 180 : 3 = 60$, $5600 : 70 = 560 : 7 = 80$. Wynik sprawdzamy mnożeniem: $300 \cdot 60 = 18\,000$.

13.Odejmowanie przez dopełnianie

Gdy odjemnik jest bliski odjemnej, liczymy, ile brakuje od odjemnika do odjemnej, najlepiej przez pełną dziesiątkę lub setkę. $203 - 197$: od 197 do 200 brakuje 3, a od 200 do 203 jeszcze 3, więc różnica to $3 + 3 = 6$. Rysunek pokazuje oba kawałki na osi liczbowej.

14.Potęga - iloczyn jednakowych czynników

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej, stosując potęgowanie: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125$. Mała liczba u góry mówi, ile jest jednakowych czynników, np. $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ to 4 czynniki.

15.Potęga, podstawa potęgi i wykładnik potęgi

Cały zapis $8^5$ to potęga. Liczba 8, którą mnożymy przez siebie, to podstawa potęgi. Mała liczba 5 u góry to wykładnik potęgi - mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik: $8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.

16.Jak czytamy potęgi?

$6^2$ czytamy: sześć do potęgi drugiej lub sześć do kwadratu. $6^3$ czytamy: sześć do potęgi trzeciej lub sześć do sześcianu. Wyższe potęgi czytamy z numerem potęgi: $6^4$ to sześć do potęgi czwartej, a $6^5$ - sześć do potęgi piątej.

17.Pierwsza potęga liczby

Pierwsza potęga dowolnej liczby to ta sama liczba, bo jest w niej tylko jeden czynnik: $9^1 = 9$, $25^1 = 25$.

18.Potęgi liczb 1 i 0

Dowolna potęga liczby 1 jest równa 1, bo mnożymy same jedynki: $1^6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Dowolna potęga liczby 0 jest równa 0, bo mnożymy same zera: $0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

19.Potęgi liczby 10

Potęga liczby 10 to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik: $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$ (tysiąc). Milion to $10^6$, miliard to $10^9$, a bilion to $10^{12}$.

20.Jak obliczyć potęgę krok po kroku?

Mnożymy podstawę przez siebie po kolei - każda następna potęga jest tyle razy większa od poprzedniej, ile wynosi podstawa. $4^4$: $4 \cdot 4 = 16$, $16 \cdot 4 = 64$, $64 \cdot 4 = 256$. Dlatego potęgi rosną bardzo szybko.

21.Potęga to nie mnożenie przez wykładnik

Wykładnik mówi, ile jest jednakowych czynników, a nie przez ile mnożymy: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, a $5 \cdot 3 = 15$. Nie wolno też zamieniać podstawy z wykładnikiem: $6^2 = 36$, a $2^6 = 64$.

22.Potęga w zadaniu tekstowym

Gdy coś powtarza się tyle samo razy na kolejnych poziomach, wynik zapisujemy jako potęgę. Np. 4 pudła, w każdym 4 paczki, a w każdej paczce 4 batony: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$ batony. Kwadrat o boku 9 kratek ma $9^2 = 81$ kratek.

23.Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgowanie. 3. Dzielenie i mnożenie - w takiej kolejności, w jakiej występują. 4. Odejmowanie i dodawanie - w takiej kolejności, w jakiej występują. Np. $(9 - 5)^2 : 2 + 3 = 4^2 : 2 + 3 = 16 : 2 + 3 = 8 + 3 = 11$.

24.Działania jednego rodzaju - w kolejności występowania

Gdy w wyrażeniu są tylko odejmowanie i dodawanie albo tylko dzielenie i mnożenie, wykonujemy je w takiej kolejności, w jakiej występują, czyli od lewej: $15 - 7 + 4 = 8 + 4 = 12$, $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$.

25.Działanie w nawiasie wykonujemy najpierw

Nawias zmienia kolejność działań - działanie w nawiasie wykonujemy najpierw: $15 - (7 + 4) = 15 - 11 = 4$, a bez nawiasu $15 - 7 + 4 = 12$. Podobnie $24 : (4 \cdot 2) = 24 : 8 = 3$, a bez nawiasu $24 : 4 \cdot 2 = 12$.

26.Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem

Gdy w wyrażeniu nie ma nawiasów ani potęg, najpierw wykonujemy dzielenie i mnożenie, a potem odejmowanie i dodawanie: $9 + 3 \cdot 4 = 9 + 12 = 21$, ale $(9 + 3) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$. Tak samo $30 - 12 : 3 = 30 - 4 = 26$.

27.Potęgowanie przed mnożeniem

Potęgowanie wykonujemy przed dzieleniem, mnożeniem, odejmowaniem i dodawaniem: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$, $100 - 2 \cdot 5^2 = 100 - 2 \cdot 25 = 100 - 50 = 50$. Gdy potęgujemy nawias, najpierw liczymy w nawiasie: $(3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216$.

28.Nawiasy w nawiasie

Gdy jeden nawias jest wewnątrz drugiego, najpierw liczymy działanie w nawiasie, w którym nie ma już innych nawiasów. Nawias zewnętrzny zapisujemy zwykle jako kwadratowy: $3 \cdot [20 - (4 + 6)] = 3 \cdot [20 - 10] = 3 \cdot 10 = 30$.

29.Jak liczyć dłuższe wyrażenie bez błędów?

Zapisujemy obliczenia linijka pod linijką: w każdej linijce wykonujemy jedno działanie i dokładnie przepisujemy wszystkie liczby z działań jeszcze niewykonanych. Np. $[(40 - 6 \cdot 5) \cdot 4 + 2] : 7 = [(40 - 30) \cdot 4 + 2] : 7 = [10 \cdot 4 + 2] : 7 = [40 + 2] : 7 = 42 : 7 = 6$.

30.Rozwiązanie zadania w postaci jednego wyrażenia

Zamiast liczyć osobno każdy krok, zapisujemy całe rozwiązanie jako jedno wyrażenie. Kasia kupiła 3 zeszyty po 5 zł i długopis za 4 zł, a zapłaciła banknotem 50 zł. Reszta: $50 - (3 \cdot 5 + 4) = 50 - 19 = 31$ [zł]. Nawias obejmuje całą zapłaconą kwotę. Ten sam wynik daje $50 - 3 \cdot 5 - 4$, bo odjęcie sumy to odjęcie po kolei każdego jej składnika.

31.Kiedy w wyrażeniu potrzebny jest nawias?

Nawias stawiamy, gdy jakieś działanie trzeba wykonać wcześniej, niż wynika z kolejności działań, np. dodawanie przed mnożeniem. Czworo dzieci kupiło po bułce za 2 zł i po soku za 3 zł: razem $4 \cdot (2 + 3) = 4 \cdot 5 = 20$ [zł]. Bez nawiasu $4 \cdot 2 + 3 = 11$ to cena 4 bułek i tylko jednego soku.