Równania i nierówności kwadratowe - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Jak rozwiązać równanie kwadratowe przez uzupełnienie do kwadratu?

Wyrazy z $x^2$ i z $x$ uzupełniamy do kwadratu dwumianu, a liczby przenosimy na prawą stronę: $(mx + n)^2 = k$. Dla $k > 0$ mamy $mx + n = -\sqrt{k}$ lub $mx + n = \sqrt{k}$, dla $k = 0$ - jeden pierwiastek, a dla $k < 0$ równanie jest sprzeczne. Np. $9x^2 + 6x - 4 = 0 \iff (3x + 1)^2 - 1 - 4 = 0 \iff (3x + 1)^2 = 5$, więc $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{3}$ lub $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{3}$.

2.Jak uzasadnić, że równanie kwadratowe jest sprzeczne?

Uzupełniamy lewą stronę do kwadratu i doprowadzamy równanie do postaci $(mx + n)^2 = k$, gdzie $k < 0$. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc taka równość nie zachodzi dla żadnego $x$. Np. $x^2 - 6x + 11 = 0 \iff (x - 3)^2 + 2 = 0 \iff (x - 3)^2 = -2$, zatem równanie jest sprzeczne.

3.Wzory na pierwiastki równania kwadratowego

Dla równania $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a \neq 0$, i $\Delta = b^2 - 4ac$: jeśli $\Delta > 0$, równanie ma dwa pierwiastki $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$; jeśli $\Delta = 0$ - jeden pierwiastek $x_0 = -\frac{b}{2a}$; jeśli $\Delta < 0$ - nie ma pierwiastków (rysunek).

4.Pierwiastek podwójny

Gdy $\Delta = 0$, jedyny pierwiastek równania kwadratowego $x_0 = -\frac{b}{2a}$ nazywamy pierwiastkiem podwójnym - wzory na $x_1$ i $x_2$ dają wtedy tę samą liczbę. Np. dla $25x^2 - 30x + 9 = 0$: $\Delta = 900 - 900 = 0$, więc $x_0 = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$; lewa strona jest kwadratem $(5x - 3)^2$.

5.Skąd się biorą wzory na pierwiastki równania kwadratowego?

Z postaci kanonicznej: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0 \iff \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$. Mianownik $4a^2$ jest dodatni, więc dla $\Delta < 0$ równanie jest sprzeczne, dla $\Delta = 0$ mamy $x_0 = -\frac{b}{2a}$, a dla $\Delta > 0$: $x + \frac{b}{2a} = \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}$ lub $x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, skąd wzory na $x_1$ i $x_2$.

6.Położenie paraboli $y = ax^2 + bx + c$ względem osi $OX$

Rozwiązania równania $ax^2 + bx + c = 0$ to odcięte punktów wspólnych paraboli z osią $OX$. Dla $a > 0$: przy $\Delta > 0$ parabola przecina oś w dwóch punktach (wierzchołek pod osią), przy $\Delta = 0$ ma wierzchołek na osi, a przy $\Delta < 0$ leży w całości nad osią. Dla $a < 0$: przy $\Delta > 0$ wierzchołek leży nad osią, przy $\Delta = 0$ - na osi, a przy $\Delta < 0$ cała parabola leży pod osią (rysunek).

7.Jak rozwiązać równanie kwadratowe za pomocą wyróżnika?

1) Zapisujemy równanie w postaci ogólnej i odczytujemy $a$, $b$, $c$. 2) Obliczamy $\Delta$ i ustalamy liczbę pierwiastków. 3) Upraszczamy $\sqrt{\Delta}$ i stosujemy wzory. 4) Skracamy ułamki. Np. $2x^2 + 2x - 1 = 0$: $\Delta = 4 + 8 = 12$, $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}$, $x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$ (rysunek).

8.Jak rozwiązać równanie kwadratowe ze współczynnikami niewymiernymi?

Tak samo jak każde inne - ze wzorów z wyróżnikiem; trzeba tylko uważnie podnosić do kwadratu: $(k\sqrt{m})^2 = k^2 \cdot m$. Np. dla $x^2 - 2\sqrt{5}x + 4 = 0$: $\Delta = (2\sqrt{5})^2 - 16 = 20 - 16 = 4$, więc $x = \frac{2\sqrt{5} - 2}{2} = \sqrt{5} - 1$ lub $x = \frac{2\sqrt{5} + 2}{2} = \sqrt{5} + 1$.

9.Jak rozwiązać równanie kwadratowe, które nie jest zapisane w postaci ogólnej?

Wykonujemy mnożenia, przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i redukujemy wyrazy podobne; dopiero wtedy odczytujemy $a$, $b$, $c$. Ułamki usuwamy, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik. Np. $(x + 2)(x - 3) = 3x - 2 \iff x^2 - x - 6 = 3x - 2 \iff x^2 - 4x - 4 = 0$; $\Delta = 32$, $\sqrt{\Delta} = 4\sqrt{2}$, więc $x = 2 - 2\sqrt{2}$ lub $x = 2 + 2\sqrt{2}$.

10.Jak rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do równania kwadratowego?

Oznaczamy niewiadomą, układamy równanie, rozwiązujemy je i sprawdzamy, które pierwiastki spełniają warunki zadania (np. długość boku musi być dodatnia, a liczba naturalna - całkowita i nieujemna). Dwie kolejne liczby naturalne oznaczamy $n$ i $n + 1$. Np. prostokąt ma pole $60~\mathrm{cm^2}$, a jeden bok jest o $4~\mathrm{cm}$ dłuższy od drugiego: $x(x + 4) = 60 \iff x^2 + 4x - 60 = 0$, $\Delta = 256$, $x = 6$ lub $x = -10$. Odrzucamy $-10$, więc boki mają $6~\mathrm{cm}$ i $10~\mathrm{cm}$.

11.Jak rozwiązać równanie iloczynowe z czynnikami kwadratowymi?

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru, więc rozwiązujemy osobno każde równanie kwadratowe i zbieramy wszystkie pierwiastki. Np. $(x^2 - x - 2)(x^2 + 4x + 5) = 0$: pierwszy czynnik zeruje się dla $x = -1$ i $x = 2$, a drugi nigdy ($\Delta = 16 - 20 < 0$), więc zbiór rozwiązań to $\{-1, 2\}$.

12.Jak rozwiązać równanie $|f(x)| = |g(x)|$?

Wartości bezwzględne dwóch liczb są równe, gdy te liczby są równe lub przeciwne: $|A| = |B| \iff A = B$ lub $A = -B$. Np. $|x^2 - 6| = |x| \iff x^2 - 6 = x$ lub $x^2 - 6 = -x$, czyli $x^2 - x - 6 = 0$ (pierwiastki $-2$ i $3$) lub $x^2 + x - 6 = 0$ (pierwiastki $-3$ i $2$). Zbiór rozwiązań to $\{-3, -2, 2, 3\}$.

13.Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Postać $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, gdzie $a \neq 0$, nazywamy postacią iloczynową funkcji kwadratowej, a przedstawienie wzoru w tej postaci - rozkładem na czynniki liniowe. Liczby $x_1$ i $x_2$ są miejscami zerowymi (pierwiastkami) trójmianu. Rozkład można zapisać na różne sposoby, np. $y = (2x - 1)(x + 4) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 4)$.

14.Jak odczytać pierwiastki trójmianu z postaci iloczynowej?

Pierwiastkami są liczby, dla których zeruje się któryś czynnik liniowy, więc w nawiasach $(x - x_1)$ zmieniamy znak liczby. Np. $y = -2(x + 5)\left(x - \frac{1}{3}\right)$ ma pierwiastki $-5$ i $\frac{1}{3}$, $y = 3x(x + 2)$ - pierwiastki $0$ i $-2$, a $y = 4(x - 3)^2$ ma czynnik podwójny $x - 3$ i pierwiastek podwójny $3$. Uwaga: czynnik $2x + 1$ zeruje się dla $x = -\frac{1}{2}$.

15.Jak przejść od postaci iloczynowej do postaci ogólnej?

Wykonujemy mnożenie: najpierw mnożymy nawiasy, potem wynik przez współczynnik $a$ i redukujemy wyrazy podobne. Np. $y = -3(x + 2)(x - 4) = -3(x^2 - 4x + 2x - 8) = -3(x^2 - 2x - 8) = -3x^2 + 6x + 24$.

16.Kiedy trójmian kwadratowy można rozłożyć na czynniki liniowe?

Dla trójmianu $y = ax^2 + bx + c$: jeśli $\Delta > 0$, to $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, gdzie $x_1$, $x_2$ to jego pierwiastki; jeśli $\Delta = 0$, to $y = a(x - x_0)^2$, gdzie $x_0$ to pierwiastek podwójny; jeśli $\Delta < 0$, trójmianu nie można rozłożyć na czynniki liniowe. Np. $y = 3x^2 + x + 1$ ma $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$, więc nie ma postaci iloczynowej.

17.Jak przedstawić trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej?

Obliczamy $\Delta$, wyznaczamy pierwiastki i wstawiamy je do wzoru $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, nie zapominając o współczynniku $a$. Np. $y = 2x^2 - 3x - 9$: $\Delta = 9 + 72 = 81$, $x_1 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{3 + 9}{4} = 3$, więc $y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)(x - 3)$. Przy pierwiastkach niewymiernych: $x^2 - 4x + 1 = (x - 2 + \sqrt{3})(x - 2 - \sqrt{3})$.

18.Jak wyznaczyć $b$ i $c$ trójmianu $y = x^2 + bx + c$ o danych pierwiastkach?

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej z $a = 1$ i wykonujemy mnożenie. Np. dla pierwiastków $-2$ i $5$: $y = (x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$, więc $b = -3$ i $c = -10$.

19.Wierzchołek paraboli a miejsca zerowe funkcji

Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ leżą symetrycznie względem osi paraboli, więc $x_w = \frac{x_1 + x_2}{2}$, a osią symetrii jest prosta $x = x_w$. Drugą współrzędną obliczamy jako $y_w = f(x_w)$. Np. dla $y = -2(x - 2)(x - 6)$: $x_w = 4$, $y_w = -2 \cdot 2 \cdot (-2) = 8$, więc wierzchołkiem jest punkt $(4, 8)$ (rysunek).

20.Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, gdy znamy jej miejsca zerowe i jeszcze jeden punkt wykresu?

Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, podstawiamy współrzędne danego punktu i obliczamy $a$. Np. dla miejsc zerowych $-2$ i $4$ oraz punktu $(0, 4)$: $4 = a \cdot 2 \cdot (-4)$, więc $a = -\frac{1}{2}$ i $f(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 4) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ (rysunek).

21.Którą postać funkcji kwadratowej wybrać, gdy trzeba wyznaczyć jej wzór?

Gdy zadanie nie określa postaci, wybieramy najwygodniejszą: kanoniczną $y = a(x - p)^2 + q$, gdy znamy wierzchołek (albo wartość największą lub najmniejszą i argument, dla którego jest przyjmowana); iloczynową $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, gdy znamy miejsca zerowe; ogólną $y = ax^2 + bx + c$, gdy znamy trzy punkty wykresu albo punkt przecięcia z osią $OY$, czyli $(0, c)$ (rysunek).

22.Jak wyznaczyć drugie miejsce zerowe, gdy znamy wierzchołek paraboli i jedno miejsce zerowe?

Miejsca zerowe są symetryczne względem prostej $x = x_w$, więc $\frac{x_1 + x_2}{2} = x_w$, czyli $x_2 = 2x_w - x_1$. Np. dla wierzchołka $(-1, 9)$ i miejsca zerowego $2$: $x_2 = -2 - 2 = -4$. Wtedy $f(x) = a(x - 2)(x + 4)$, a z warunku $f(-1) = 9$ mamy $a \cdot (-3) \cdot 3 = 9$, czyli $a = -1$.

23.Jak odczytać z wykresu rozwiązania nierówności kwadratowej?

Nierówność $ax^2 + bx + c > 0$ spełniają argumenty, dla których parabola $y = ax^2 + bx + c$ leży nad osią $OX$, a nierówność $ax^2 + bx + c < 0$ - argumenty, dla których leży pod osią; przy $\geq$ i $\leq$ dochodzą miejsca zerowe. Np. parabola $y = x^2 - 2x - 8$ ma miejsca zerowe $-2$ i $4$ (rysunek), więc $x^2 - 2x - 8 > 0$ dla $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$, a $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ dla $x \in [-2; 4]$.

24.Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

1) Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, tak aby po drugiej było $0$. 2) Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu. 3) Zaznaczamy je na osi $OX$ i szkicujemy parabolę: ramiona do góry, gdy $a > 0$, w dół, gdy $a < 0$. 4) Odczytujemy zbiór rozwiązań; przy $\geq$ i $\leq$ miejsca zerowe do niego należą. Np. $-3x^2 + 5x + 2 \geq 0$: miejsca zerowe $-\frac{1}{3}$ i $2$, ramiona w dół, więc $x \in \left[-\frac{1}{3}; 2\right]$ (rysunek).

25.Jak przesunięcie paraboli o wektor $[p, q]$ zmienia jej zbiór wartości i miejsca zerowe?

Przesunięcie o wektor $[p, q]$ przenosi wierzchołek $(x_w, y_w)$ do punktu $(x_w + p, y_w + q)$, a współczynnik $a$ (kształt i kierunek ramion) się nie zmienia. Dlatego dla $a > 0$ zbiór wartości $[y_w; \infty)$ zmienia się na $[y_w + q; \infty)$, a dla $a < 0$ zbiór $(-\infty; y_w]$ na $(-\infty; y_w + q]$. Przy $q = 0$ każde miejsce zerowe $x_0$ przechodzi na $x_0 + p$. Np. $y = x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4$ ma zbiór wartości $[-4; \infty)$, a po przesunięciu o wektor $[2, 5]$ otrzymujemy $y = (x + 1)^2 + 1$ o zbiorze wartości $[1; \infty)$ (rysunek).

26.Nierówność kwadratowa, gdy $\Delta = 0$

Trójmian jest wtedy kwadratem dwumianu pomnożonym przez $a$, a parabola dotyka osi $OX$ wierzchołkiem. Np. $25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$ (rysunek): nierówność $(5x - 1)^2 > 0$ spełnia każde $x \neq \frac{1}{5}$, czyli $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{5}\right\}$; $(5x - 1)^2 \geq 0$ spełnia każde $x \in \mathbb{R}$; $(5x - 1)^2 < 0$ jest sprzeczna, a $(5x - 1)^2 \leq 0$ spełnia tylko $x = \frac{1}{5}$.

27.Nierówność kwadratowa, gdy $\Delta < 0$

Parabola nie ma wtedy punktów wspólnych z osią $OX$: dla $a > 0$ leży w całości nad osią, a dla $a < 0$ - w całości pod osią. Dlatego nierówność jest prawdziwa dla każdego $x \in \mathbb{R}$ albo jest sprzeczna. Np. $x^2 - 4x + 7 > 0$ ($\Delta = -12$, $a > 0$) spełnia każde $x \in \mathbb{R}$, a $-2x^2 + x - 1 \geq 0$ ($\Delta = -7$, $a < 0$) jest sprzeczna.

28.Jak rozwiązać nierówność kwadratową z wyrazami po obu stronach?

Wykonujemy mnożenia, przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i redukujemy; dopiero wtedy szukamy miejsc zerowych. Mnożąc albo dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności. Np. $x(x + 3) \leq 4(x + 5) \iff x^2 - x - 20 \leq 0 \iff (x - 5)(x + 4) \leq 0$, więc $x \in [-4; 5]$.

29.Jak policzyć liczby całkowite spełniające nierówność kwadratową?

Rozwiązujemy nierówność, szacujemy końce przedziałów (gdy są niewymierne) i wypisujemy liczby całkowite z otrzymanego zbioru. Np. $x^2 - 2x - 4 \leq 0$: miejsca zerowe to $1 - \sqrt{5} \approx -1{,}24$ i $1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24$, więc $x \in [1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}]$ i nierówność spełnia pięć liczb całkowitych: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

30.Jak wyznaczyć argumenty, dla których $f(x) > g(x)$?

Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozwiązujemy nierówność $f(x) - g(x) > 0$. Np. dla $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = 3x + 19$: $x^2 - 3x - 18 > 0 \iff (x + 3)(x - 6) > 0$, więc $f(x) > g(x)$ dla $x \in (-\infty; -3) \cup (6; \infty)$ - tam wykres funkcji $f$ leży nad wykresem funkcji $g$.

31.Jak rozwiązać układ dwóch nierówności kwadratowych?

Rozwiązujemy każdą nierówność osobno, zaznaczamy oba zbiory na jednej osi liczbowej i wyznaczamy ich część wspólną. Np. $x^2 + 2x - 8 < 0$ daje $x \in (-4; 2)$, a $x^2 - x \geq 0$ daje $x \in (-\infty; 0] \cup [1; \infty)$, więc układ spełniają $x \in (-4; 0] \cup [1; 2)$ (rysunek).

32.Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji z pierwiastkiem kwadratowym z trójmianu?

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność kwadratową $\geq 0$ (gdy pierwiastek stoi w mianowniku - nierówność $> 0$). Np. dla $f(x) = \sqrt{8 + 7x - x^2}$: $-x^2 + 7x + 8 \geq 0 \iff -(x - 8)(x + 1) \geq 0$, więc dziedziną jest przedział $[-1; 8]$.

33.Jak rozwiązać nierówność $f(x) \cdot g(x) < 0$, gdzie $f$ i $g$ to funkcje kwadratowe?

Iloczyn jest ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki. Z miejsc zerowych i kierunku ramion ustalamy, gdzie $f$ i $g$ są dodatnie, a gdzie ujemne, i wybieramy przedziały o różnych znakach. Np. dla $f(x) = x^2 - 4x - 5$ i $g(x) = -x^2 - 2$: $g(x) < 0$ dla każdego $x$, więc $f(x) \cdot g(x) < 0 \iff f(x) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$.

34.Jak rozwiązać nierówność $|f(x)| \geq k$ albo $|f(x)| < k$, gdzie $k > 0$?

Korzystamy z równoważności: $|W| \geq k \iff W \geq k$ lub $W \leq -k$ (suma zbiorów rozwiązań) oraz $|W| < k \iff -k < W < k$ (część wspólna). Np. $|x^2 - 13| \geq 12 \iff x^2 - 13 \geq 12$ lub $x^2 - 13 \leq -12$, czyli $x^2 \geq 25$ lub $x^2 \leq 1$, więc $x \in (-\infty; -5] \cup [-1; 1] \cup [5; \infty)$.

35.Jak wyznaczyć największą wysokość i czas lotu, gdy wysokość opisuje funkcja $h(t) = at^2 + bt + c$?

Dla $a < 0$ największa wysokość to druga współrzędna wierzchołka: $t_w = -\frac{b}{2a}$, $h_{\max} = h(t_w)$, a chwila upadku to dodatnie miejsce zerowe funkcji $h$. Np. dla $h(t) = -5t^2 + 30t + 35$: $t_w = 3$, $h(3) = 80~\mathrm{m}$, a z $h(t) = 0 \iff t^2 - 6t - 7 = 0$ mamy $t = 7~\mathrm{s}$ ($t = -1$ odrzucamy). Wysokość początkową ciało osiąga ponownie po $2t_w = 6~\mathrm{s}$ (rysunek).

36.Jak wyznaczyć największe pole prostokąta o danym obwodzie?

Oznaczamy jeden bok przez $x$, drugi wyrażamy przez obwód i zapisujemy pole jako funkcję kwadratową z $a < 0$; największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Np. dla obwodu $26$: drugi bok to $13 - x$, $P(x) = x(13 - x) = -x^2 + 13x$, $x \in (0; 13)$, $x_w = \frac{13}{2}$ i $P\left(\frac{13}{2}\right) = \frac{169}{4}$. Największe pole ma więc kwadrat.

37.Jak zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty $(x, y)$ spełniające nierówność kwadratową z $x$ i nierówność z $y$?

Rozwiązujemy osobno nierówność z $x$ i nierówność z $y$, a potem zaznaczamy punkty, których obie współrzędne należą do otrzymanych zbiorów. Np. $x^2 + x - 2 \leq 0$ daje $x \in [-2; 1]$, a $y^2 \leq 9$ daje $y \in [-3; 3]$, więc zbiorem jest prostokąt $ABCD$ (razem z bokami) o wierzchołkach $A(-2, -3)$, $B(1, -3)$, $C(1, 3)$, $D(-2, 3)$ (rysunek).