Funkcja kwadratowa i jej postacie - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy)

Funkcję postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a, b, c \in \mathbb{R}$ i $a \neq 0$, nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym. Jej wykresem jest parabola - mówimy krótko „parabola $y = ax^2 + bx + c$”. Np. $f(x) = 5 - 2x^2$ jest funkcją kwadratową ($a = -2$, $b = 0$, $c = 5$), a $f(x) = 4x - 7$ nie jest, bo nie ma wyrazu z $x^2$.

2.Własności funkcji $f(x) = ax^2$ dla $a > 0$

Wykresem jest parabola o wierzchołku $(0, 0)$ i ramionach skierowanych do góry, a oś $OY$ jest jej osią symetrii. Dziedziną jest $\mathbb{R}$, a zbiorem wartości przedział $[0; \infty)$. Funkcja maleje w przedziale $(-\infty; 0]$ i rośnie w przedziale $[0; \infty)$. Dla $x = 0$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$, a wartości największej nie ma.

3.Jak współczynnik $a$ wpływa na parabolę $y = ax^2$?

Znak $a$ decyduje o kierunku ramion: dla $a > 0$ są skierowane do góry, a dla $a < 0$ - w dół. Liczba $|a|$ decyduje o rozchyleniu ramion: im większa $|a|$, tym parabola węższa (ramiona bliżej osi $OY$), a im $|a|$ bliższa zeru, tym parabola szersza. Np. dla $x = 2$ funkcja $y = 5x^2$ ma wartość $20$, a funkcja $y = \frac{1}{5}x^2$ - tylko $\frac{4}{5}$.

4.Własności funkcji $f(x) = ax^2$ dla $a < 0$

Wykres $y = -ax^2$ otrzymujemy, odbijając wykres $y = ax^2$ symetrycznie względem osi $OX$, np. parabola $y = -\frac{1}{2}x^2$ to odbicie paraboli $y = \frac{1}{2}x^2$ (rysunek). Dla $a < 0$ ramiona są skierowane w dół, wierzchołkiem jest $(0, 0)$, a osią symetrii oś $OY$. Funkcja rośnie w $(-\infty; 0]$, maleje w $[0; \infty)$, ma wartość największą $0$ dla $x = 0$, a jej zbiór wartości to $(-\infty; 0]$.

5.Jak wyznaczyć współczynnik $a$ paraboli $y = ax^2$ przechodzącej przez dany punkt?

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $a$. Np. dla $P(-2, -10)$: $-10 = a \cdot (-2)^2$, czyli $-10 = 4a$, więc $a = -\frac{5}{2}$. Parabola $y = ax^2$ jest symetryczna względem osi $OY$, więc należy do niej też punkt $(2, -10)$ (rysunek).

6.Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji $f(x) = ax^2$ określonej w przedziale?

Szkicujemy fragment paraboli nad tym przedziałem i odczytujemy najmniejszą i największą wartość. Gdy przedział zawiera $0$, jedną z nich jest $f(0) = 0$, a drugą daje koniec przedziału dalszy od zera. Gdy przedział nie zawiera $0$, funkcja jest w nim monotoniczna i obie wartości dają końce przedziału. Wartości na końcu otwartym funkcja nie przyjmuje. Np. dla $f(x) = -x^2$ i $x \in [-3; 1]$: $f(-3) = -9$, $f(0) = 0$, $f(1) = -1$, więc zbiór wartości to $[-9; 0]$ (rysunek).

7.Wykres funkcji $f(x) = ax^2 + q$

Otrzymujemy go, przesuwając parabolę $y = ax^2$ o $q$ jednostek w górę, gdy $q > 0$, albo o $|q|$ jednostek w dół, gdy $q < 0$, czyli o wektor $[0, q]$. Wierzchołkiem jest punkt $(0, q)$, a osią symetrii nadal oś $OY$. Np. $f(x) = 3x^2 - 2$ to parabola $y = 3x^2$ przesunięta o 2 jednostki w dół; ma wierzchołek $(0, -2)$ i zbiór wartości $[-2; \infty)$.

8.Wykres funkcji $f(x) = a(x - p)^2$

Otrzymujemy go, przesuwając parabolę $y = ax^2$ o $p$ jednostek w prawo, gdy $p > 0$, albo o $|p|$ jednostek w lewo, gdy $p < 0$, czyli o wektor $[p, 0]$. Wierzchołkiem jest punkt $(p, 0)$, a osią symetrii prosta $x = p$. Np. $f(x) = -3(x + 4)^2 = -3(x - (-4))^2$: wektor $[-4, 0]$, wierzchołek $(-4, 0)$; funkcja rośnie w $(-\infty; -4]$ i maleje w $[-4; \infty)$.

9.Przesunięcie paraboli $y = ax^2$ o wektor $[p, q]$

Wykres funkcji $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $a \neq 0$, otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = ax^2$ o wektor $[p, q]$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $(p, q)$, a jej osią symetrii prosta $x = p$. Np. $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 2$ to parabola $y = \frac{1}{2}x^2$ przesunięta o wektor $[4, -2]$; ma wierzchołek $(4, -2)$ i miejsca zerowe $2$ i $6$ (rysunek).

10.Jak wyznaczyć wektor, o który trzeba przesunąć jedną parabolę, aby otrzymać drugą?

Parabolę $y = a(x - p_1)^2 + q_1$ można przesunąć na parabolę $y = a(x - p_2)^2 + q_2$ tylko wtedy, gdy obie mają ten sam współczynnik $a$. Wektor przesunięcia łączy ich wierzchołki $F(p_1, q_1)$ i $G(p_2, q_2)$: $\overrightarrow{FG} = [p_2 - p_1, q_2 - q_1]$. Np. dla $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ i $g(x) = 5 - (x + 2)^2$ (czyli $-(x + 2)^2 + 5$) mamy $F(1, 4)$, $G(-2, 5)$ i $\overrightarrow{FG} = [-3, 1]$.

11.Własności funkcji $f(x) = a(x - p)^2 + q$ dla $a > 0$

Ramiona paraboli są skierowane do góry. Dla $x = p$ funkcja osiąga wartość najmniejszą $y = q$. Funkcja maleje w przedziale $(-\infty; p]$ i rośnie w przedziale $[p; \infty)$, a jej zbiorem wartości jest przedział $[q; \infty)$. Np. $f(x) = \frac{1}{3}(x - 3)^2 + 1$ ma wartość najmniejszą $1$ dla $x = 3$ i zbiór wartości $[1; \infty)$ (rysunek).

12.Własności funkcji $f(x) = a(x - p)^2 + q$ dla $a < 0$

Ramiona paraboli są skierowane w dół. Dla $x = p$ funkcja osiąga wartość największą $y = q$. Funkcja rośnie w przedziale $(-\infty; p]$ i maleje w przedziale $[p; \infty)$, a jej zbiorem wartości jest przedział $(-\infty; q]$. Np. $f(x) = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$ ma wartość największą $2$ dla $x = -1$, rośnie w $(-\infty; -1]$ i maleje w $[-1; \infty)$ (rysunek).

13.Jak obliczyć wartość trójmianu kwadratowego dla danego argumentu?

Wstawiamy argument w miejsce $x$ (liczbę ujemną albo ułamek - w nawiasie) i liczymy w kolejności: potęgowanie, mnożenie, dodawanie. Uwaga: $-x^2$ dla $x = -4$ to $-(-4)^2 = -16$. Np. dla $f(x) = -3x^2 + 5x - 2$ mamy $f(-4) = -3 \cdot 16 - 20 - 2 = -70$ oraz $f\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} + \frac{10}{3} - 2 = 0$.

14.Jak wyznaczyć współczynnik $c$, gdy znamy jedną wartość funkcji kwadratowej?

Podstawiamy znany argument i wartość do wzoru i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $c$. Np. gdy $f(x) = x^2 - 4x + c$ i $f(3) = 5$, to $9 - 12 + c = 5$, więc $c = 8$. Tak samo sprawdzamy, czy punkt $(x_0, y_0)$ należy do wykresu funkcji: musi zachodzić równość $f(x_0) = y_0$.

15.Oś symetrii paraboli, gdy $f(x_1) = f(x_2)$

Jeśli funkcja kwadratowa przyjmuje tę samą wartość dla dwóch różnych argumentów $x_1$ i $x_2$, to osią symetrii jej wykresu jest prosta $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$; to jest też pierwsza współrzędna wierzchołka. Np. dla $f(x) = x^2 + 2x - 5$ mamy $f(-4) = f(2) = 3$, więc osią symetrii jest prosta $x = -1$, a wierzchołkiem punkt $(-1, f(-1)) = (-1, -6)$ (rysunek).

16.Postać ogólna i postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać $y = ax^2 + bx + c$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$) nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, a postać $y = a(x - p)^2 + q$ ($a, p, q \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$) - postacią kanoniczną. Współczynnik $a$ jest w obu postaciach ten sam. Np. $y = 2(x - 1)^2 + 3$ i $y = 2x^2 - 4x + 5$ to dwie postacie tej samej funkcji.

17.Jak przejść od postaci kanonicznej do postaci ogólnej?

Rozwijamy kwadrat dwumianu ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ albo $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, mnożymy cały nawias przez współczynnik przy nawiasie i redukujemy wyrazy podobne. Np. $y = -2(x + 3)^2 + 5 = -2(x^2 + 6x + 9) + 5 = -2x^2 - 12x - 13$.

18.Jak przejść od postaci ogólnej $y = x^2 + bx + c$ do postaci kanonicznej?

Stosujemy uzupełnianie do kwadratu: 1) współczynnik przy $x$ zapisujemy jako podwojoną liczbę, 2) dodajemy i odejmujemy kwadrat tej liczby, 3) zwijamy trzy pierwsze wyrazy ze wzoru skróconego mnożenia, 4) redukujemy liczby. Np. $y = x^2 - 12x + 30 = x^2 - 2 \cdot 6x + 36 - 36 + 30 = (x - 6)^2 - 6$ (rysunek).

19.Jak uzupełnić do kwadratu, gdy współczynnik przy $x$ jest nieparzysty?

Postępujemy tak samo, tylko połowa współczynnika jest ułamkiem. Np. $y = x^2 - 7x + 11 = x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} + 11 = \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $\left(\frac{7}{2}, -\frac{5}{4}\right)$.

20.Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli $y = ax^2 + bx + c$

Wierzchołek ma współrzędne $x_w = -\frac{b}{2a}$ i $y_w = -\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$. Współrzędne wierzchołka oznaczamy $(p, q)$ albo $(x_w, y_w)$, więc postać kanoniczna to $y = a(x - x_w)^2 + y_w$. Np. dla $y = 3x^2 - 12x + 7$: $x_w = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2$, $\Delta = 144 - 84 = 60$, $y_w = -\frac{60}{4 \cdot 3} = -5$, więc $y = 3(x - 2)^2 - 5$ (rysunek).

21.Wyróżnik trójmianu kwadratowego

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $y = ax^2 + bx + c$ nazywamy liczbę $\Delta = b^2 - 4ac$. Ujemne współczynniki wstawiamy w nawiasach, np. dla $y = -4x^2 + 5x + 6$: $\Delta = 5^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 6 = 25 + 96 = 121$. Pamiętaj, że $b^2 \geq 0$, np. $(-5)^2 = 25$; częsty błąd to $b^2 + 4ac$ zamiast $b^2 - 4ac$.

22.Skąd się biorą wzory na współrzędne wierzchołka paraboli?

Wyłączamy $a$ przed nawias z dwóch pierwszych wyrazów i uzupełniamy do kwadratu: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$. To postać kanoniczna $y = a(x - p)^2 + q$, w której $p = -\frac{b}{2a}$ i $q = -\frac{\Delta}{4a}$.

23.Jak obliczyć $y_w$, gdy znamy już $x_w$?

Drugą współrzędną wierzchołka możemy obliczyć jako wartość funkcji dla pierwszej: $y_w = f(x_w)$ - często szybciej niż ze wzoru z $\Delta$. Np. dla $f(x) = -x^2 + 6x - 4$: $x_w = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$, $y_w = f(3) = -9 + 18 - 4 = 5$, więc wierzchołkiem jest punkt $(3, 5)$.

24.Jak wyznaczyć współczynnik $b$, gdy znamy oś symetrii paraboli?

Osią symetrii paraboli $y = ax^2 + bx + c$ jest prosta $x = -\frac{b}{2a}$. Przyrównujemy $-\frac{b}{2a}$ do danej liczby i wyznaczamy $b$. Np. gdy prosta $x = 4$ jest osią symetrii paraboli $f(x) = -3x^2 + bx + 1$, to $-\frac{b}{2 \cdot (-3)} = 4$, czyli $\frac{b}{6} = 4$, skąd $b = 24$.

25.Jak wyznaczyć $b$ i $c$ funkcji $f(x) = x^2 + bx + c$, gdy znamy wierzchołek paraboli?

Z warunku $x_w = -\frac{b}{2a}$ wyznaczamy $b$, a potem podstawiamy współrzędne wierzchołka do wzoru i obliczamy $c$. Np. dla wierzchołka $(-1, 5)$: $-\frac{b}{2} = -1$, więc $b = 2$, a z równości $5 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + c$ mamy $c = 6$. Inny sposób: $f(x) = (x + 1)^2 + 5 = x^2 + 2x + 6$.

26.Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, gdy znamy wierzchołek i jeszcze jeden punkt paraboli?

Zapisujemy wzór w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$ ze współrzędnymi wierzchołka, podstawiamy drugi punkt i obliczamy $a$. Np. dla wierzchołka $(2, -3)$ i punktu $(4, 5)$: $5 = a(4 - 2)^2 - 3$, więc $4a = 8$, $a = 2$ i $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ (rysunek).

27.Jak wyznaczyć parabolę $y = ax^2 + bx + c$ przechodzącą przez trzy dane punkty?

Przez trzy niewspółliniowe punkty, z których żadne dwa nie leżą na prostej pionowej, przechodzi dokładnie jedna taka parabola (przez dwa punkty - nieskończenie wiele). Podstawiamy współrzędne punktów i rozwiązujemy układ trzech równań. Np. dla $A(0, -1)$, $B(1, 2)$, $C(-2, 5)$: $c = -1$, $a + b - 1 = 2$, $4a - 2b - 1 = 5$, skąd $a = 2$, $b = 1$, więc $y = 2x^2 + x - 1$ (rysunek).

28.Jak wyznaczyć wektor, o który trzeba przesunąć parabolę $y = x^2$, aby przechodziła przez dwa dane punkty?

Otrzymana parabola ma wzór $y = (x - p)^2 + q$. Podstawiamy oba punkty, odejmujemy równania stronami (znika $q$), wyznaczamy $p$, a potem $q$. Np. dla $A(0, 6)$ i $B(3, 3)$: $p^2 + q = 6$ i $(3 - p)^2 + q = 3$; po odjęciu $9 - 6p = -3$, więc $p = 2$, $q = 2$ i szukany wektor to $[2, 2]$.

29.Rozwiązania równania kwadratowego a miejsca zerowe funkcji

Rozwiązania równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) to miejsca zerowe funkcji $y = ax^2 + bx + c$, czyli odcięte punktów wspólnych paraboli z osią $OX$. Rozwiązania równania nazywamy też jego pierwiastkami, a zbiór wszystkich rozwiązań - zbiorem rozwiązań równania.

30.Ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe?

Dwa, jedno albo żadnego - zależnie od położenia paraboli $y = ax^2 + bx + c$ względem osi $OX$. Dwa, gdy parabola przecina oś $OX$ w dwóch punktach (np. ramiona do góry i wierzchołek pod osią); jedno, gdy wierzchołek leży na osi $OX$; żadnego, gdy parabola nie ma punktów wspólnych z osią $OX$ (np. ramiona do góry i wierzchołek nad osią).

31.Jak odczytać rozwiązania równania kwadratowego z wykresu?

Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej, szkicujemy parabolę przez przesunięcie paraboli $y = ax^2$ i odczytujemy miejsca zerowe. Np. $y = x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 - 1$ ma wierzchołek $(-2, -1)$ i miejsca zerowe $-3$ i $-1$ (rysunek). Gdy parabola przecina oś $OX$ poza punktami kratki, odczyt jest tylko przybliżony - wtedy rozwiązujemy równanie rachunkiem.

32.Kiedy iloczyn dwóch liczb jest równy zeru?

Dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$: $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$. Dzięki temu równanie kwadratowe rozłożone na czynniki zamieniamy na dwa równania liniowe, np. $(x + 4)(3x - 1) = 0 \iff x + 4 = 0$ lub $3x - 1 = 0$, czyli $x = -4$ lub $x = \frac{1}{3}$.

33.Jak rozwiązać równanie $ax^2 + bx = 0$?

Wyłączamy $x$ przed nawias: $x(ax + b) = 0$, więc $x = 0$ lub $ax + b = 0$. Nie dzielimy obu stron przez $x$, bo zgubilibyśmy pierwiastek $0$. Np. $6x^2 + 5x = 0 \iff x(6x + 5) = 0$, czyli $x = 0$ lub $x = -\frac{5}{6}$; zbiór rozwiązań to $\left\{-\frac{5}{6}, 0\right\}$.

34.Jak rozwiązać równanie kwadratowe ze wzoru na różnicę kwadratów?

Gdy lewa strona ma postać $m^2x^2 - n^2$, rozkładamy ją na czynniki $(mx - n)(mx + n)$ i przyrównujemy każdy czynnik do zera. Np. $9x^2 - 64 = 0 \iff (3x - 8)(3x + 8) = 0$, czyli $x = \frac{8}{3}$ lub $x = -\frac{8}{3}$.

35.Jak rozwiązać równanie $ax^2 + c = 0$, gdzie $c \neq 0$?

Przekształcamy je do postaci $x^2 = -\frac{c}{a}$. Jeśli prawa strona jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki - liczby przeciwne, a jeśli jest ujemna, równanie jest sprzeczne, bo $x^2 \geq 0$. Np. $3x^2 - 15 = 0 \iff x^2 = 5$, więc $x = -\sqrt{5}$ lub $x = \sqrt{5}$, a równanie $5x^2 + 2 = 0$ jest sprzeczne, bo $5x^2 + 2 \geq 2$ dla każdego $x$.

36.Jak rozwiązać równanie ze wzoru na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy?

Gdy trójmian jest kwadratem dwumianu, zapisujemy równanie w postaci $(mx + n)^2 = 0$. Wtedy $mx + n = 0$, więc równanie ma jeden pierwiastek. Np. $25x^2 - 20x + 4 = 0 \iff (5x - 2)^2 = 0$, więc jedynym pierwiastkiem jest $x = \frac{2}{5}$.

37.Punkty przecięcia paraboli $y = ax^2 + bx + c$ z osiami układu współrzędnych

Z osią $OY$ parabola przecina się w punkcie $(0, c)$, bo $f(0) = c$. Punkty wspólne z osią $OX$ to $(x_0, 0)$, gdzie $x_0$ to rozwiązania równania $ax^2 + bx + c = 0$ (może ich nie być). Np. parabola $y = 25x^2 - 4$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -4)$, a oś $OX$ w punktach $\left(-\frac{2}{5}, 0\right)$ i $\left(\frac{2}{5}, 0\right)$ (rysunek).

38.Jak rozwiązać równanie typu $(ax + b)^2 = (cx + d)^2$?

Kwadraty dwóch liczb są równe wtedy i tylko wtedy, gdy te liczby są równe lub przeciwne: $A^2 = B^2 \iff A = B$ lub $A = -B$. Np. $(x + 5)^2 = (2x - 1)^2 \iff x + 5 = 2x - 1$ lub $x + 5 = -(2x - 1)$, czyli $x = 6$ lub $x = -\frac{4}{3}$. Można też przenieść wszystko na lewą stronę i skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.

39.Jak rozwiązać równanie typu $|x^2 - m| = n$, gdzie $n > 0$?

Wartość bezwzględna liczby jest równa $n > 0$, gdy ta liczba jest równa $n$ lub $-n$. Rozwiązujemy więc osobno równania $x^2 - m = n$ i $x^2 - m = -n$. Np. $|x^2 - 5| = 4 \iff x^2 = 9$ lub $x^2 = 1$, czyli $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$.