Figury podobne i ich pola - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Figury podobne

Dwie figury geometryczne są podobne, jeśli są tego samego kształtu, lecz niekoniecznie tej samej wielkości. Zawsze podobne są np. dwa dowolne koła, dwa dowolne kwadraty i dwa dowolne trójkąty równoboczne, ale dwa prostokąty czy dwa romby nie muszą być podobne. Podobieństwo figur $F_1$ i $F_2$ zapisujemy $F_1 \sim F_2$.

2.Wielokąty podobne

Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne. Muszą być spełnione oba warunki: prostokąt o bokach 3 i 7 ma takie same kąty jak kwadrat, ale nie jest do niego podobny, a romb o kącie ostrym $50^\circ$ ma boki proporcjonalne do boków kwadratu, ale też nie jest do niego podobny.

3.Skala podobieństwa

Dla wielokątów podobnych stosunek długości odcinków jednego wielokąta do długości odpowiadających im odcinków drugiego wielokąta nazywamy skalą podobieństwa (zwykle oznaczamy ją literą $k$). Np. prostokąt $P_2$ o bokach $3{,}5$ i $5{,}6$ jest podobny do prostokąta $P_1$ o bokach $2{,}5$ i 4 w skali $k = \frac{3{,}5}{2{,}5} = \frac{5{,}6}{4} = 1{,}4$.

4.Skala podobieństwa $F_2$ do $F_1$ a skala $F_1$ do $F_2$

Jeśli figura $F_2$ jest podobna do figury $F_1$ w skali $k$, to $F_1$ jest podobna do $F_2$ w skali $\frac{1}{k}$ - te skale są liczbami odwrotnymi. Gdy $k > 1$, figura $F_2$ jest powiększeniem $F_1$, a gdy $k < 1$ - jej pomniejszeniem. Figury przystające są podobne w skali 1. Np. jeśli $F_2$ jest podobna do $F_1$ w skali $\frac{3}{8}$, to $F_1$ jest podobna do $F_2$ w skali $\frac{8}{3}$.

5.Jak obliczyć długość boku wielokąta podobnego do danego?

Dobieramy parę odpowiadających sobie boków i układamy proporcję albo najpierw obliczamy skalę, a potem mnożymy przez nią drugi bok. Np. trapez $T_2$ jest podobny do trapezu $T_1$ o podstawach 6 i 15, a krótsza podstawa $T_2$ ma 8. Wtedy $k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$, więc dłuższa podstawa $T_2$ ma $\frac{4}{3} \cdot 15 = 20$ - tyle samo daje proporcja $\frac{x}{15} = \frac{8}{6}$.

6.Odcinki i obwody wielokątów podobnych

Jeśli wielokąt $F_2$ jest podobny do wielokąta $F_1$ w skali $k$, to w tej skali są nie tylko boki, lecz także inne odpowiadające sobie odcinki, np. wysokości i przekątne: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{d_2}{d_1} = k$. Stosunek obwodów też jest równy $k$, bo każdy bok jest $k$ razy dłuższy. Np. równoległobok podobny w skali $\frac{3}{4}$ do równoległoboku o obwodzie 36 i wysokości 10 ma obwód 27 i wysokość $7{,}5$.

7.Jak sprawdzić, czy dwa równoległoboki są podobne?

Sprawdzamy, czy kąt ostry jednego jest równy kątowi ostremu drugiego i czy stosunki odpowiadających sobie boków (krótszego do krótszego, dłuższego do dłuższego) są równe. Gdy podano kąt rozwarty $\beta$, kąt ostry ma miarę $180^\circ - \beta$. Np. równoległobok o bokach 6 i 9 z kątem ostrym $72^\circ$ jest podobny do równoległoboku o bokach 8 i 12 z kątem rozwartym $108^\circ$, bo $\frac{8}{6} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ i $180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

8.Kiedy dwa prostokąty są podobne?

Gdy stosunek długości dłuższego boku do krótszego jest w obu prostokątach taki sam - kąty proste są zawsze równe. Np. prostokąty o bokach $1{,}5$ i 4 oraz $4{,}5$ i 12 są podobne, bo $\frac{4}{1{,}5} = \frac{12}{4{,}5} = \frac{8}{3}$. Dodanie do obu boków tej samej liczby nie daje prostokąta podobnego (chyba że prostokąt jest kwadratem): prostokąty o bokach 2 i 7 oraz 3 i 8 nie są podobne, bo $\frac{7}{2} \neq \frac{8}{3}$.

9.Kiedy odcinek równoległy do podstaw dzieli trapez na dwa trapezy podobne?

Gdy dłuższa podstawa ma się do tego odcinka tak, jak odcinek do krótszej podstawy. Dla trapezu o podstawach $a$ i $b$ odcinek $x$ spełnia $\frac{a}{x} = \frac{x}{b}$, czyli $x = \sqrt{ab}$, a skala podobieństwa większego trapezu do mniejszego to $\sqrt{\frac{a}{b}}$. Np. dla podstaw 20 i 5: $x = \sqrt{100} = 10$, a skala jest równa 2.

10.Kiedy dwa wielokąty foremne są podobne?

Dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są zawsze podobne: mają równe kąty (miara kąta wielokąta foremnego zależy tylko od liczby boków), a ponieważ w każdym z nich wszystkie boki są równe, stosunek każdej pary odpowiadających sobie boków jest taki sam. Skala podobieństwa to stosunek długości ich boków. Np. sześciokąty foremne o bokach 4 i 10 są podobne w skali $\frac{10}{4} = 2{,}5$, więc stosunek ich obwodów też jest równy $2{,}5$.

11.Cecha podobieństwa trójkątów BBB

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne: gdy $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$, to $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Np. trójkąty o bokach 7, 8, 10 oraz $10{,}5$, 12, 15 są podobne, bo $\frac{10{,}5}{7} = \frac{12}{8} = \frac{15}{10} = 1{,}5$ - trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = 1{,}5$ (rysunek).

12.Cecha podobieństwa trójkątów KKK

Jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne: gdy $\alpha = \alpha'$, $\beta = \beta'$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Wystarczy równość dwóch par kątów, bo trzecie kąty uzupełniają się do $180^\circ$. Np. trójkąt, którego dwa kąty mają $48^\circ$ i $57^\circ$, jest podobny do trójkąta, którego dwa kąty mają $57^\circ$ i $75^\circ$, bo $180^\circ - 48^\circ - 57^\circ = 75^\circ$. Na rysunku trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do $ABC$ w skali $k = 2$.

13.Cecha podobieństwa trójkątów BKB

Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne: gdy $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Kąt musi leżeć między tymi bokami. Np. trójkąt o bokach 4 i 5 z kątem $65^\circ$ między nimi jest podobny do trójkąta o bokach 10 i $12{,}5$ z kątem $65^\circ$ między nimi - w skali $k = 2{,}5$ (rysunek).

14.Jak dobrać odpowiadające sobie boki trójkątów podobnych?

Odpowiadają sobie boki leżące naprzeciw równych kątów. Gdy znamy tylko długości boków, łączymy w pary najkrótszy z najkrótszym, średni ze średnim i najdłuższy z najdłuższym. W zapisie $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ kolejność liter wskazuje pary wierzchołków ($A$ i $K$, $B$ i $L$, $C$ i $M$), więc $\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{|LM|}{|BC|} = \frac{|KM|}{|AC|}$. Np. trójkąty o bokach 9, 5, 7 i 14, 18, 10 są podobne, bo $\frac{10}{5} = \frac{14}{7} = \frac{18}{9} = 2$.

15.Kiedy dwa trójkąty prostokątne są podobne?

Kąty proste są zawsze równe, więc trójkąty prostokątne są podobne, gdy: mają równy kąt ostry (cecha KKK), stosunek ich przyprostokątnych jest taki sam (cecha BKB - kąt prosty leży między przyprostokątnymi) albo stosunek przeciwprostokątnych jest równy stosunkowi odpowiednich przyprostokątnych. Np. trójkąt prostokątny z kątem ostrym $36^\circ$ jest podobny do trójkąta prostokątnego z kątem ostrym $54^\circ$, bo drugi kąt ostry pierwszego ma $90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$.

16.Kiedy dwa trójkąty równoramienne są podobne?

Gdy mają równe kąty między ramionami albo równe kąty przy podstawie - wtedy wszystkie ich kąty są równe (cecha KKK). Np. trójkąt równoramienny z kątem $40^\circ$ między ramionami ma przy podstawie kąty $\frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$, więc jest podobny do każdego trójkąta równoramiennego o kątach $70^\circ$ przy podstawie. Podobne są też trójkąty równoramienne o takim samym stosunku ramienia do podstawy (cecha BBB).

17.Odcinek równoległy do boku trójkąta

Jeśli punkt $D$ leży na boku $CA$, punkt $E$ na boku $CB$ i $DE \parallel AB$, to $\triangle DEC \sim \triangle ABC$ (cecha KKK: kąt $C$ jest wspólny, a kąty przy $D$ i $A$ oraz przy $E$ i $B$ są odpowiadające). Skala to $k = \frac{|CD|}{|CA|}$, więc $|DE| = k \cdot |AB|$. Np. dla $|CD| = 5$, $|DA| = 10$ i $|AB| = 21$: $k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ i $|DE| = 7$ (rysunek).

18.Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną

Wysokość $CD$ trójkąta prostokątnego $ABC$ z kątem prostym przy $C$ ($D$ - spodek wysokości na przeciwprostokątnej $AB$) dzieli go na trójkąty $ACD$ i $CBD$ podobne do siebie i do trójkąta $ABC$ (cecha KKK). Stąd $|CD|^2 = |AD| \cdot |DB|$ i $|AC|^2 = |AD| \cdot |AB|$. Np. dla $|AD| = 5$ i $|DB| = 20$ (wtedy $|AB| = 25$): $|CD| = \sqrt{100} = 10$ i $|AC| = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ (rysunek).

19.Trójkąty wyznaczone przez przekątne trapezu

Przekątne trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $O$. Trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (cecha KKK: kąty naprzemianległe przy podstawach i kąty wierzchołkowe przy $O$) w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$. W tym samym stosunku są odcinki, na które $O$ dzieli każdą przekątną, i odległości $O$ od podstaw. Np. dla $|AB| = 16$, $|CD| = 6$ i wysokości trapezu 11: $k = \frac{8}{3}$, więc $O$ leży w odległości 8 od $AB$ i 3 od $CD$ (rysunek).

20.Jak obliczyć wysokość obiektu z długości jego cienia?

W tej samej chwili promienie słońca padają pod tym samym kątem, więc pionowy pal i pionowy obiekt wraz ze swoimi cieniami tworzą trójkąty prostokątne podobne (cecha KKK). Stosunek wysokości do długości cienia jest w obu taki sam: $\frac{H}{c_H} = \frac{h}{c_h}$. Np. pal o wysokości $2~\mathrm{m}$ rzuca cień $1{,}6~\mathrm{m}$, a wieża - cień $28~\mathrm{m}$, więc wieża ma wysokość $H = \frac{2}{1{,}6} \cdot 28 = 35~\mathrm{m}$.

21.Jak obliczyć bok kwadratu wpisanego w trójkąt prostokątny?

Kwadrat o boku $x$ ma jeden wierzchołek w wierzchołku kąta prostego $C$, dwa boki na przyprostokątnych $|BC| = a$ i $|AC| = b$, a czwarty wierzchołek na przeciwprostokątnej. Trójkąt odcięty przy wierzchołku $B$ ma przyprostokątne $a - x$ i $x$ i jest podobny do trójkąta $ABC$ (cecha KKK), więc $\frac{a - x}{x} = \frac{a}{b}$, skąd $x = \frac{ab}{a + b}$. Np. dla przyprostokątnych 3 i 6: $x = \frac{18}{9} = 2$.

22.Dowód dwukolumnowy

Przedstawiając dowód, precyzyjnie uzasadniamy każdy krok rozumowania. W dowodzie dwukolumnowym w jednej kolumnie zapisujemy kolejne stwierdzenia, a w drugiej - ich uzasadnienia. Np. w trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) z przekątnymi przecinającymi się w punkcie $O$: $|\sphericalangle ABO| = |\sphericalangle CDO|$ - kąty naprzemianległe; $|\sphericalangle AOB| = |\sphericalangle COD|$ - kąty wierzchołkowe; $\triangle ABO \sim \triangle CDO$ - cecha KKK.

23.Pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ wyraża się wzorem $P = a \cdot b$. Gdy znamy obwód i stosunek boków, np. $2 : 5$, oznaczamy boki $2x$ i $5x$. Np. dla obwodu 42: $2 \cdot (2x + 5x) = 42$, więc $x = 3$, boki mają długości 6 i 15, a pole jest równe $6 \cdot 15 = 90$ (rysunek).

24.Pole równoległoboku

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = a \cdot h$. Równoległobok o bokach $a$ i $b$ ma dwie wysokości $h_a$ i $h_b$, a z obu par otrzymujemy to samo pole: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Np. dla boków 10 i 6 oraz wysokości $h = 5{,}4$ opuszczonej na bok 10: $P = 54$, więc wysokość opuszczona na bok 6 ma długość $54 : 6 = 9$ (rysunek).

25.Wysokość równoległoboku o kącie ostrym $30^\circ$, $45^\circ$ albo $60^\circ$

Wysokość $h$ opuszczona na bok $a$ tworzy z sąsiednim bokiem $b$ trójkąt prostokątny, w którym $b$ jest przeciwprostokątną. Przy kącie $30^\circ$ jest to połowa trójkąta równobocznego, więc $h = \frac{b}{2}$; przy $45^\circ$ - połowa kwadratu, więc $h = \frac{b\sqrt{2}}{2}$; przy $60^\circ$ jest $h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Np. równoległobok o bokach 9 i 4 z kątem $60^\circ$ ma wysokość $2\sqrt{3}$ i pole $9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.

26.Przekątne, pole i bok rombu

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w punkcie, który dzieli je na połowy. Pole rombu o przekątnych długości $d$ i $e$ wyraża się wzorem $P = \frac{1}{2} d \cdot e$ (romb jest też równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$). Bok obliczamy z twierdzenia Pitagorasa z połówek przekątnych. Np. romb $ABCD$ o przekątnych $|AC| = 72$ i $|BD| = 30$ ma pole $\frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 30 = 1080$ i bok $\sqrt{36^2 + 15^2} = 39$ (rysunek).

27.Pole trapezu

Pole trapezu o podstawach długości $a$, $b$ i wysokości $h$ wyraża się wzorem $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$. W trapezie równoramiennym spodek wysokości odcina od dłuższej podstawy odcinek długości $\frac{a - b}{2}$. Np. w trapezie równoramiennym o podstawach 13 i 5 z kątem ostrym $45^\circ$ wysokość jest równa temu odcinkowi: $h = \frac{13 - 5}{2} = 4$, więc $P = \frac{13 + 5}{2} \cdot 4 = 36$ (rysunek).

28.Stosunek pól figur podobnych

Jeśli skala podobieństwa figur podobnych równa się $k$, to stosunek ich pól jest równy $k^2$. Dla trójkątów: gdy $T_2$ jest podobny do $T_1$ w skali $k$, to $a_2 = k \cdot a_1$ i $h_2 = k \cdot h_1$, więc $P_2 = \frac{1}{2}(k \cdot a_1)(k \cdot h_1) = k^2 \cdot P_1$. Np. sześciokąt podobny w skali $\frac{7}{2}$ do sześciokąta o polu 20 ma pole $\frac{49}{4} \cdot 20 = 245$.

29.Jak obliczyć skalę podobieństwa, gdy znamy pola figur?

Stosunek pól figur podobnych to $k^2$, więc skala jest pierwiastkiem ze stosunku pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$. Obwody i inne odcinki mnożymy potem przez $k$, a nie przez $k^2$. Np. trójkąty podobne mają pola 32 i 98: $k = \sqrt{\frac{98}{32}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$, więc gdy obwód mniejszego to 24, obwód większego to $\frac{7}{4} \cdot 24 = 42$.

30.Jak zmienia się pole, gdy wszystkie wymiary figury zmienimy o $p\%$?

Otrzymujemy figurę podobną w skali $k = 1 + \frac{p}{100}$ przy zwiększeniu albo $k = 1 - \frac{p}{100}$ przy zmniejszeniu, więc pole zmienia się $k^2$ razy. Np. po skróceniu boków o $40\%$ jest $k = 0{,}6$ i $k^2 = 0{,}36$, czyli pole maleje o $64\%$. Odwrotnie: gdy pole wzrosło o $56{,}25\%$, to $k^2 = 1{,}5625$ i $k = 1{,}25$, czyli boki wydłużono o $25\%$.

31.Skala planu albo mapy a rzeczywiste pole

Plan w skali $1 : n$ jest podobny do terenu: odległości w terenie są $n$ razy większe, a pola - $n^2$ razy większe. Np. w skali $1 : 400$ odcinek $1~\mathrm{cm}$ na planie oznacza $4~\mathrm{m}$, więc $1~\mathrm{cm^2}$ oznacza $16~\mathrm{m^2}$, a $7{,}5~\mathrm{cm^2}$ na planie - $120~\mathrm{m^2}$ w terenie.

32.Pole trójkąta odciętego odcinkiem równoległym do boku

Jeśli $DE \parallel AB$ ($D$ na boku $CA$, $E$ na boku $CB$), to trójkąt $DEC$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = \frac{|CD|}{|CA|}$, więc ma pole $k^2 \cdot P_{ABC}$, a trapez $ABED$ - pole $(1 - k^2) \cdot P_{ABC}$. Np. gdy $|CD| = \frac{3}{4}|CA|$, trójkąt $DEC$ ma $\frac{9}{16}$ pola trójkąta $ABC$, a trapez - $\frac{7}{16}$. Na dwie części o równych polach dzieli trójkąt taki odcinek, dla którego $k^2 = \frac{1}{2}$, czyli $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

33.Pola trójkątów, na które przekątne dzielą trapez

W trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) z przekątnymi przecinającymi się w punkcie $O$ trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$, więc $P_{ABO} = k^2 \cdot P_{CDO}$. Trójkąty $AOD$ i $BOC$ mają równe pola, każde równe $k \cdot P_{CDO} = \sqrt{P_{ABO} \cdot P_{CDO}}$ (np. trójkąt $BOC$ ma tę samą wysokość co $DOC$, a podstawę $|OB| = k \cdot |OD|$). Np. dla $P_{CDO} = 4$ i $P_{ABO} = 25$: $k = \frac{5}{2}$, $P_{AOD} = P_{BOC} = 10$, a pole trapezu to $4 + 25 + 2 \cdot 10 = 49$.

34.Stosunek pól trójkątów, na które wysokość dzieli trójkąt prostokątny

Wysokość $CD$ poprowadzona z wierzchołka kąta prostego $C$ dzieli trójkąt $ABC$ na trójkąty $ACD$ i $CBD$ podobne do $ABC$. Ich przeciwprostokątne to $AC$, $CB$ i $AB$, więc pola są w stosunku $P_{ACD} : P_{CBD} : P_{ABC} = |AC|^2 : |BC|^2 : |AB|^2$. Np. dla przyprostokątnych $|AC| = 8$ i $|BC| = 15$ (wtedy $|AB| = 17$) pola są w stosunku $64 : 225 : 289$.

35.Konstrukcja symetralnej odcinka

1) Z jednego końca odcinka $AB$ rysujemy łuk okręgu o promieniu dłuższym od połowy odcinka. 2) Z drugiego końca rysujemy łuk o takim samym promieniu; punkty przecięcia łuków oznaczamy $P$ i $Q$. 3) Rysujemy prostą $PQ$ - jest ona symetralną odcinka $AB$, bo odcinki $PQ$ i $AB$ są przekątnymi rombu $APBQ$, a przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy.

36.Konstrukcja dwusiecznej kąta

1) Z wierzchołka $P$ kąta rysujemy łuk okręgu przecinający ramiona w punktach $A$ i $B$. 2) Wewnątrz kąta rysujemy łuki o środkach $A$ i $B$ i takich samych promieniach; ich punkt przecięcia oznaczamy $R$. 3) Rysujemy półprostą $PR$ - jest ona dwusieczną kąta $APB$, bo trójkąty $PAR$ i $PBR$ są przystające z cechy BBB ($|PA| = |PB|$, $|AR| = |BR|$, bok $PR$ wspólny).

37.Konstrukcja prostej prostopadłej do prostej $k$ przez punkt $P$ nieleżący na niej

1) Z punktu $P$ rysujemy łuk okręgu przecinający prostą $k$ w punktach $A$ i $B$. 2) Z punktów $A$ i $B$ rysujemy łuki o promieniu $|AP|$, które przecinają się w punkcie $Q$ po drugiej stronie prostej $k$. 3) Rysujemy prostą $PQ$ - jest ona prostopadła do prostej $k$, bo odcinki $PQ$ i $AB$ są przekątnymi rombu $APBQ$.

38.Konstrukcja prostej równoległej do prostej $k$ przez punkt $P$

1) Przez $P$ rysujemy dowolną prostą $l$ nierównoległą do $k$; przecina ona $k$ w punkcie $Q$. 2) Rysujemy łuki o środkach $Q$ i $P$ i takich samych promieniach: łuk o środku $Q$ przecina $l$ w punkcie $R$, a $k$ w punkcie $S$, łuk o środku $P$ przecina $l$ w punkcie $T$. 3) Łuk o środku $T$ i promieniu $|RS|$ przecina łuk o środku $P$ w punkcie $U$. 4) Prosta $PU$ jest równoległa do $k$, bo kąt $TPU$ jest przystający do kąta $RQS$ (są to kąty odpowiadające).