Trójkąty przystające i twierdzenie Talesa - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Kąt

Kąt to jeden z dwóch obszarów płaszczyzny wyznaczonych przez dwie półproste o wspólnym początku, razem z tymi półprostymi. Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich wspólny początek - wierzchołkiem kąta. Miarę kąta $APB$ o wierzchołku $P$ oznaczamy $|\sphericalangle APB|$ (litera wierzchołka stoi w środku).

2.Kąt wypukły i kąt wklęsły

Kąt wypukły ma miarę mniejszą od $180^\circ$ lub równą $180^\circ$, a kąt wklęsły - miarę większą od $180^\circ$. Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty, których miary dają razem $360^\circ$, np. gdy kąt wypukły ma $140^\circ$, kąt wklęsły o tych samych ramionach ma $220^\circ$.

3.Kąt ostry, prosty, rozwarty i półpełny

Kąt ostry ma miarę mniejszą od $90^\circ$, kąt prosty - równą $90^\circ$, a kąt rozwarty - większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$. Kąt półpełny ma miarę $180^\circ$: jego ramiona tworzą prostą.

4.Kąty przyległe

Dwa kąty wypukłe nazywamy przyległymi, gdy mają wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Razem tworzą kąt półpełny, więc suma ich miar jest równa $180^\circ$. Np. kąty przyległe o miarach w stosunku $4 : 5$ mają $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$ i $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$ (rysunek).

5.Kąty wierzchołkowe

Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych - kątów leżących naprzeciw siebie. Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Np. gdy jeden z kątów przy punkcie przecięcia ma $35^\circ$, kąt do niego wierzchołkowy też ma $35^\circ$, a dwa pozostałe kąty (przyległe do nich) mają po $145^\circ$ (rysunek).

6.Kąty odpowiadające

Gdy dwie proste przecina trzecia prosta (sieczna), kąty odpowiadające leżą przy różnych prostych, po tej samej stronie siecznej i po tej samej stronie każdej z przeciętych prostych (np. oba nad prostą, na prawo od siecznej). Jeśli przecięte proste są równoległe, kąty odpowiadające mają równe miary (na rysunku proste $a \parallel b$ i dwa kąty odpowiadające po $65^\circ$).

7.Kąty naprzemianległe

Kąty naprzemianległe leżą przy różnych prostych przeciętych trzecią prostą, po przeciwnych stronach siecznej: oba między tymi prostymi albo oba poza nimi. Gdy przecięte proste są równoległe, kąty naprzemianległe mają równe miary (na rysunku $a \parallel b$ i dwa kąty naprzemianległe po $50^\circ$). Razem z kątami wierzchołkowymi i przyległymi daje to regułę: przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą każdy z ośmiu kątów ma miarę $\alpha$ albo $180^\circ - \alpha$, gdzie $\alpha$ to miara jednego z tych kątów.

8.Trójkąt i jego rodzaje ze względu na kąty

Trójkąt to figura wyznaczona przez trzy punkty nieleżące na jednej prostej (wierzchołki); odcinki łączące wierzchołki to boki. Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, trójkąt prostokątny - jeden kąt prosty, a trójkąt rozwartokątny - jeden kąt rozwarty. Np. trójkąt o kątach $20^\circ$, $35^\circ$ i $125^\circ$ jest rozwartokątny.

9.Twierdzenie o sumie miar kątów trójkąta

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa $180^\circ$. Np. gdy dwa kąty trójkąta mają $38^\circ$ i $74^\circ$, trzeci ma $180^\circ - 38^\circ - 74^\circ = 68^\circ$. Wynika stąd, że trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty.

10.Jak udowodnić, że suma kątów trójkąta jest równa $180^\circ$?

Przez wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ prowadzimy prostą $l$ równoległą do boku $AB$. Kąty $\alpha'$ i $\beta'$, które prosta $l$ tworzy z bokami $CA$ i $CB$, są naprzemianległe do kątów $\alpha$ i $\beta$ przy wierzchołkach $A$ i $B$, więc $\alpha' = \alpha$ i $\beta' = \beta$. Kąty $\alpha'$, $\gamma$ i $\beta'$ tworzą kąt półpełny, czyli $\alpha' + \gamma + \beta' = 180^\circ$, a zatem $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

11.Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, dzielącą ten kąt na dwa kąty o równych miarach. Np. w trójkącie $ABC$, w którym $|\sphericalangle BAC| = 72^\circ$ i $|\sphericalangle ABC| = 50^\circ$, dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$: $|\sphericalangle BAD| = 36^\circ$, więc $|\sphericalangle ADB| = 180^\circ - 36^\circ - 50^\circ = 94^\circ$.

12.Jaki kąt tworzą dwusieczne kątów przyległych?

Kąt prosty. Jeśli kąty przyległe mają miary $\alpha$ i $180^\circ - \alpha$, to ich dwusieczne tworzą kąt $\frac{\alpha}{2} + \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ$. Np. dla kątów $110^\circ$ i $70^\circ$: $55^\circ + 35^\circ = 90^\circ$.

13.Kąty w trójkącie równoramiennym

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary. Gdy kąt między ramionami ma miarę $\gamma$, każdy kąt przy podstawie ma $\frac{180^\circ - \gamma}{2}$, np. dla $\gamma = 36^\circ$ jest to $72^\circ$. W trójkącie prostokątnym równoramiennym kąty ostre mają po $45^\circ$.

14.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta tworzą bok trójkąta i przedłużenie drugiego boku wychodzącego z tego samego wierzchołka - jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Jego miara jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Np. w trójkącie o kątach $48^\circ$, $62^\circ$ i $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma $48^\circ + 62^\circ = 110^\circ$ (rysunek).

15.Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta

Suma miar kątów wewnętrznych $n$-kąta jest równa $(n - 2) \cdot 180^\circ$: przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka $n$-kąta wypukłego dzielą go na $n - 2$ trójkąty (rysunek: siedmiokąt i 5 trójkątów). Czworokąt ma więc sumę kątów $360^\circ$, a siedmiokąt - $900^\circ$. W $n$-kącie foremnym wszystkie kąty są równe, np. w dwunastokącie foremnym każdy ma $1800^\circ : 12 = 150^\circ$.

16.Dwusieczne kątów trójkąta

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie (rysunek). Każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta: odcinki prostopadłe poprowadzone z niego do ramion wyznaczają dwa trójkąty prostokątne przystające z cechy KBK (wspólny bok, równe kąty przy wierzchołku kąta i równe kąty przy tym punkcie). Dlatego punkt przecięcia dwusiecznych jest równo oddalony od wszystkich boków trójkąta.

17.Symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka, przechodzącą przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka: dla punktu $P$ symetralnej odcinka $AB$ o środku $S$ (gdy $P \neq S$) trójkąty $ASP$ i $BSP$ mają $|AS| = |BS|$, wspólny bok $SP$ i kąty proste przy $S$, więc są przystające (cecha BKB), skąd $|AP| = |BP|$.

18.Symetralne boków trójkąta

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt leży na każdej z symetralnych, więc jest równo oddalony od końców każdego boku, czyli od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta: $|QA| = |QB| = |QC|$, gdzie $Q$ to punkt przecięcia symetralnych.

19.Wysokość trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek prostopadły do boku trójkąta, łączący ten bok (lub jego przedłużenie) z przeciwległym wierzchołkiem. W trójkącie rozwartokątnym wysokości opuszczone z wierzchołków kątów ostrych trafiają w przedłużenia boków, czyli leżą poza trójkątem.

20.Ortocentrum trójkąta

Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum trójkąta (rysunek). W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży wewnątrz trójkąta, w prostokątnym - w wierzchołku kąta prostego (przyprostokątne są wysokościami), a w rozwartokątnym - poza trójkątem; dlatego mówimy o prostych zawierających wysokości.

21.Środkowa trójkąta i środek ciężkości

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku ciężkości (barycentrum) trójkąta (rysunek). Punkt ten dzieli każdą ze środkowych w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka, np. środkową długości 9 na odcinki długości 6 i 3.

22.Figury przystające

Figury przystające to, intuicyjnie, figury tego samego kształtu i tej samej wielkości. Dwa wielokąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki i odpowiednie kąty są równe. Przystawanie trójkątów $ABC$ i $A'B'C'$ zapisujemy $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$, a długość odcinka $AB$ oznaczamy $|AB|$.

23.Cecha przystawania BBB

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające: gdy $a = a'$, $b = b'$ i $c = c'$, to $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$. Np. każde dwa trójkąty o bokach długości 5, 7 i 9 są przystające.

24.Cecha przystawania BKB

Jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające: gdy $a = a'$, $b = b'$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$. Kąt $\gamma$ przy wierzchołku $C$ leży między bokami $a = |BC|$ i $b = |CA|$ (rysunek).

25.Cecha przystawania KBK

Jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są równe odpowiedniemu bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające: gdy $b = b'$, $\alpha = \alpha'$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$. Kąty $\alpha$ i $\gamma$ leżą przy końcach boku $b = |CA|$ (rysunek).

26.Kiedy równe elementy dwóch trójkątów nie wystarczą do stwierdzenia przystawania?

Nie wystarczą trzy pary równych kątów - trójkąty mogą mieć ten sam kształt, ale różną wielkość. Nie wystarczą też dwie pary równych boków i para równych kątów, jeśli kąt nie leży między tymi bokami: np. warunki $|AB| = 10$, $|BC| = 7$ i $|\sphericalangle BAC| = 30^\circ$ spełniają dwa różne trójkąty.

27.Jak uzasadnić, że dwa trójkąty są przystające, i co z tego wynika?

Wskazujemy dwa trójkąty, wypisujemy trzy pary równych elementów (z uzasadnieniem każdej równości) i nazywamy cechę przystawania. Z przystawania wynika równość pozostałych odpowiednich boków i kątów. Np. w trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, dla środka $M$ boku $AB$ trójkąty $AMC$ i $BMC$ mają $|AC| = |BC|$, $|AM| = |BM|$ i wspólny bok $CM$, więc są przystające (cecha BBB) - stąd kąty przy wierzchołkach $A$ i $B$ są równe.

28.Jak skonstruować trójkąt o danych trzech bokach?

Za pomocą cyrkla i linijki: 1) rysujemy odcinek $AB$ równy jednemu z boków; 2) z punktu $A$ zataczamy łuk o promieniu równym drugiemu bokowi, a z punktu $B$ - łuk o promieniu równym trzeciemu; 3) punkt przecięcia łuków to wierzchołek $C$. Np. dla boków 3 cm, 5 cm i 7 cm rysujemy $|AB| = 7~\mathrm{cm}$ i łuki o promieniach 5 cm i 3 cm. Łuki przecinają się w dwóch punktach $C_1$ i $C_2$, więc otrzymujemy dwa trójkąty przystające (cecha BBB).

29.Nierówność trójkąta

Z odcinków o długościach $a$, $b$, $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy $a + b > c$, gdzie $c$ jest długością najdłuższego odcinka. Np. z odcinków długości 5, 7 i 11 można zbudować trójkąt, bo $5 + 7 = 12 > 11$, a z odcinków długości 4, 6 i 10 nie można, bo $4 + 6 = 10$.

30.Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta $AOA'$ są przecięte dwiema prostymi równoległymi $AA'$ i $BB'$, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu: $\frac{|OA'|}{|OA|} = \frac{|A'B'|}{|AB|}$ oraz $\frac{|OA'|}{|OA|} = \frac{|OB'|}{|OB|}$ (rysunek: $A$ i $B$ na jednym ramieniu, $A'$ i $B'$ na drugim).

31.Jak obliczać długości odcinków z twierdzenia Talesa?

Układamy proporcję: w licznikach odcinki z jednego ramienia, w mianownikach odpowiadające im odcinki z drugiego ramienia, i rozwiązujemy ją. Np. dla $|OA| = 2$, $|AB| = 3$ i $|OA'| = 3$: $\frac{|A'B'|}{3} = \frac{3}{2}$, więc $|A'B'| = 4{,}5$, a $|OB'| = \frac{3}{2} \cdot 5 = 7{,}5$. Przydaje się też własność proporcji: jeśli $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, to $\frac{a}{c} = \frac{a + b}{c + d}$.

32.Twierdzenie Talesa dla kilku prostych równoległych

Jeśli ramiona kąta przecina kilka prostych równoległych, to odcinki wyznaczone przez kolejne proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Np. gdy proste $KK'$, $LL'$ i $MM'$ są równoległe ($K$, $L$, $M$ na jednym ramieniu, $K'$, $L'$, $M'$ na drugim), to $\frac{|KL|}{|K'L'|} = \frac{|LM|}{|L'M'|}$; dla $|KL| = 4$, $|LM| = 6$ i $|K'L'| = 5$ mamy $|L'M'| = 7{,}5$.

33.Twierdzenie Talesa dla prostych przecinających się

Proporcja z twierdzenia Talesa zachodzi także wtedy, gdy proste równoległe przecinają dwie proste po przeciwnych stronach ich punktu przecięcia $A$. Jeśli $B$ i $C$ leżą na jednej prostej, $D$ i $E$ na drugiej, punkt $A$ leży między $B$ i $C$ oraz między $D$ i $E$, a $BD \parallel CE$, to $\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|AC|}{|AE|}$. Np. dla $|AB| = 4$, $|AD| = 5$ i $|AC| = 6$ mamy $|AE| = 7{,}5$.

34.Jak podzielić odcinek na $n$ równych części za pomocą cyrkla i linijki?

Odcinek $AB$ umieszczamy na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $A$. Na drugim ramieniu odmierzamy cyrklem $n$ równych odcinków $AP_1, P_1P_2, \ldots$, aż do punktu $P_n$. Prowadzimy prostą $P_nB$, a przez punkty $P_1, \ldots, P_{n-1}$ - proste do niej równoległe. Z twierdzenia Talesa przecinają one odcinek $AB$ w punktach, które dzielą go na $n$ równych części.

35.Jak podzielić odcinek w stosunku $m : n$?

Na drugim ramieniu kąta o wierzchołku $A$ odmierzamy $m + n$ równych odcinków, prowadzimy prostą przez ostatni punkt $P_{m+n}$ i punkt $B$, a przez punkt $P_m$ - prostą do niej równoległą. Przecina ona odcinek $AB$ w punkcie $C$, dla którego $|AC| : |CB| = m : n$. Np. dla stosunku $3 : 2$ odmierzamy 5 odcinków i prowadzimy prostą równoległą przez punkt $P_3$.

36.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli odcinki wyznaczone przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe. Np. gdy na jednym ramieniu $|OA| = 2$ i $|AB| = 3$, a na drugim $|OC| = 4$ i $|CD| = 6$, to $\frac{4}{2} = \frac{6}{3}$, więc $AC \parallel BD$ (rysunek).

37.Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

W dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku. Dla środków $M$ i $N$ boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ mamy $\frac{|CM|}{|MA|} = \frac{|CN|}{|NB|} = 1$, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa (dla ramion kąta $ACB$) $MN \parallel AB$.