Układy równań liniowych, parametry i zastosowania - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

Każde z równań układu $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ opisuje prostą (proste $l_1$ i $l_2$). Rozwiązaniami układu są współrzędne $(x, y)$ punktów należących jednocześnie do obu prostych. Dlatego liczba rozwiązań układu zależy od wzajemnego położenia tych prostych.

2.Ile rozwiązań ma układ równań liniowych w zależności od położenia prostych?

Proste przecinają się w jednym punkcie - układ oznaczony, ma jedno rozwiązanie (współrzędne punktu przecięcia). Proste są równoległe i różne - układ sprzeczny, nie ma rozwiązań. Proste się pokrywają - układ nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

3.Jak rozwiązać układ równań graficznie?

1) Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej $y = ax + b$. 2) Szkicujemy obie proste w jednym układzie współrzędnych. 3) Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia. 4) Sprawdzamy je w obu równaniach, bo odczyt z rysunku może być niedokładny. Np. $\begin{cases} x - y = -2 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$ daje proste $y = x + 2$ (na rysunku $AB$) i $y = -2x + 5$ (na rysunku $CD$), które przecinają się w punkcie $P(1, 3)$: $1 - 3 = -2$ i $2 + 3 = 5$, więc $x = 1$, $y = 3$.

4.Jakie rozwiązania ma układ, którego oba równania opisują tę samą prostą?

Taki układ jest nieoznaczony: rozwiązaniami są współrzędne wszystkich punktów tej prostej. Jeśli jej równanie kierunkowe to $y = ax + b$, rozwiązania zapisujemy jako pary $(x, ax + b)$, gdzie $x \in \mathbb{R}$. Np. równania $2x - y = 3$ i $-4x + 2y = -6$ opisują prostą $y = 2x - 3$, więc rozwiązaniami są pary $(x, 2x - 3)$, $x \in \mathbb{R}$, np. $(0, -3)$, $(1, -1)$, $(2, 1)$.

5.Jak zapisać układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku?

Dla każdej prostej odczytujemy dwa punkty o współrzędnych całkowitych, wyznaczamy równanie prostej i zapisujemy oba równania w układzie. Np. jeśli prosta $k$ przechodzi przez punkty $(0, -1)$ i $(2, 3)$, a prosta $l$ - przez punkty $(0, 4)$ i $(2, 0)$, to $k$: $y = 2x - 1$, $l$: $y = -2x + 4$, a szukany układ to $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$.

6.Jak z postaci kierunkowej równań rozpoznać, czy układ jest oznaczony, sprzeczny czy nieoznaczony?

W układzie $\begin{cases} y = a_1 x + b_1 \\ y = a_2 x + b_2 \end{cases}$ porównujemy współczynniki. Gdy $a_1 \neq a_2$, proste się przecinają - układ jest oznaczony. Gdy $a_1 = a_2$ i $b_1 \neq b_2$, proste są równoległe i różne - układ jest sprzeczny. Gdy $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$, proste się pokrywają - układ jest nieoznaczony. Np. proste $y = 3x - 1$ i $y = -x + 7$ przecinają się w punkcie $(2, 5)$, a proste $y = 3x - 1$ i $y = 3x + 2$ są równoległe.

7.Jak rozpoznać rodzaj układu po współczynnikach, bez przekształcania równań?

Proste opisane równaniami układu $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ są równoległe, gdy $a_1 b_2 = a_2 b_1$. Jeśli przy tym drugie równanie (razem z wyrazem wolnym) powstaje z pierwszego przez pomnożenie przez liczbę różną od zera, układ jest nieoznaczony, a jeśli nie - sprzeczny. Gdy $a_1 b_2 \neq a_2 b_1$, układ jest oznaczony. Np. w układzie $\begin{cases} 3x - 6y = 2 \\ -x + 2y = 5 \end{cases}$ jest $3 \cdot 2 = (-1) \cdot (-6)$, ale drugie równanie pomnożone przez $-3$ to $3x - 6y = -15$ - układ jest sprzeczny.

8.Jak wyznaczyć wartości parametru, dla których układ jest oznaczony, nieoznaczony albo sprzeczny?

Zapisujemy równania w postaci kierunkowej i porównujemy współczynniki kierunkowe: układ jest oznaczony dla wartości parametru, przy których są one różne. Dla wartości, przy których są równe, porównujemy wyrazy wolne. Np. dla $\begin{cases} y = k^2 x + 3 \\ y = 9x + k \end{cases}$ mamy $k^2 = 9$ dla $k = 3$ lub $k = -3$. Dla $k = 3$ proste się pokrywają (układ nieoznaczony), dla $k = -3$ są równoległe i różne (układ sprzeczny), a dla $k \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$ układ jest oznaczony.

9.Jak wyznaczyć wierzchołki wielokąta, którego boki zawarte są w danych prostych?

Każdy wierzchołek jest punktem przecięcia dwóch prostych zawierających sąsiednie boki, więc wyznaczamy go, rozwiązując układ równań tych prostych. Np. dla trójkąta o bokach zawartych w prostych $y = x + 1$, $y = -x + 5$ i $y = -1$: z równania $x + 1 = -x + 5$ mamy $C(2, 3)$, z $x + 1 = -1$ mamy $A(-2, -1)$, a z $-x + 5 = -1$ mamy $B(6, -1)$ (rysunek).

10.Jak obliczyć pole trójkąta, gdy znamy współrzędne jego wierzchołków?

Gdy jeden bok jest równoległy do osi układu, korzystamy ze wzoru $P = \frac{1}{2} a \cdot h$, a długości odczytujemy z różnic współrzędnych. W każdym przypadku można też użyć wzoru $P = \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_1 y_3 - x_2 y_1 - x_3 y_2|$ dla wierzchołków $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$. Np. dla $A(-2, -1)$, $B(6, -1)$, $C(2, 3)$ bok $AB$ ma długość 8, a wysokość opuszczona z $C$ - długość 4, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$.

11.Równanie z parametrem

To równanie, w którym oprócz niewiadomej występuje parametr - litera oznaczająca dowolną liczbę rzeczywistą, np. $a$ albo $m$. Rozwiązać równanie w zależności od parametru to podać jego rozwiązania dla każdej wartości parametru. Zazwyczaj przyjmujemy, że niewiadomą jest $x$, chyba że wyraźnie zaznaczono inaczej.

12.Jak rozwiązać równanie liniowe z parametrem?

Wyrazy z $x$ przenosimy na jedną stronę, a pozostałe na drugą, i wyłączamy $x$ przed nawias, aby otrzymać postać $A \cdot x = B$ ($A$ i $B$ zależą od parametru). Potem sprawdzamy, czy $A$ może być równe 0. Np. $a^2 x + 2x = a - 4$ daje $(a^2 + 2)x = a - 4$. Ponieważ $a^2 + 2 \neq 0$ dla każdego $a \in \mathbb{R}$, równanie ma jedno rozwiązanie $x = \frac{a - 4}{a^2 + 2}$, np. dla $a = 2$ jest nim $x = -\frac{1}{3}$.

13.Kiedy równanie $A \cdot x = B$ jest tożsamościowe, kiedy sprzeczne, a kiedy ma jedno rozwiązanie?

Gdy $A \neq 0$, równanie ma jedno rozwiązanie $x = \frac{B}{A}$. Gdy $A = 0$ i $B = 0$, otrzymujemy $0x = 0$ - równanie tożsamościowe, spełnione przez dowolną liczbę. Gdy $A = 0$ i $B \neq 0$, otrzymujemy np. $0x = 5$ - równanie sprzeczne. Np. równanie $ax + b = 0$ jest tożsamościowe dla $a = 0$ i $b = 0$, sprzeczne dla $a = 0$ i $b \neq 0$, a dla $a \neq 0$ ma jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$.

14.Jak rozwiązać równanie z parametrem, gdy współczynnik przy $x$ może być równy 0?

Wyznaczamy wartości parametru, dla których współczynnik przy $x$ jest równy 0, i każdą z nich rozpatrujemy osobno, a dla pozostałych dzielimy przez ten współczynnik. Np. $a^2 x + 1 = ax + a$ daje $(a^2 - a)x = a - 1$, czyli $a(a - 1)x = a - 1$. Dla $a = 1$ mamy $0x = 0$ - równanie tożsamościowe, dla $a = 0$ mamy $0x = -1$ - równanie sprzeczne, a dla $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ jedno rozwiązanie $x = \frac{a - 1}{a(a - 1)} = \frac{1}{a}$.

15.Jak zbadać liczbę rozwiązań równania z dwoma parametrami?

Doprowadzamy równanie do postaci $A \cdot x = B$ i zapisujemy warunki dla obu parametrów. Np. $a(x - 1) = bx + 2$ daje $(a - b)x = a + 2$. Dla $a = b = -2$ równanie jest tożsamościowe, dla $a = b \neq -2$ - sprzeczne, a dla $a \neq b$ ma jedno rozwiązanie $x = \frac{a + 2}{a - b}$, np. dla $a = 3$ i $b = 1$ jest nim $x = \frac{5}{2}$.

16.Jak rozwiązać równanie, w którym niewiadomą jest $a$, a parametrem $x$?

Tak samo jak zwykle, ale wyrazy z $a$ zbieramy po jednej stronie i wyłączamy $a$ przed nawias. Np. $ax + x = 4a + 6$ z niewiadomą $a$: $ax - 4a = 6 - x$, czyli $a(x - 4) = 6 - x$. Dla $x \neq 4$ jest jedno rozwiązanie $a = \frac{6 - x}{x - 4}$, a dla $x = 4$ mamy $0 \cdot a = 2$ - równanie sprzeczne. To samo równanie z niewiadomą $x$ prowadzi do postaci $(a + 1)x = 4a + 6$.

17.Jak wyznaczyć parametr, dla którego miejsce zerowe funkcji liniowej jest liczbą dodatnią?

Najpierw rozpatrujemy wartość parametru, dla której współczynnik przy $x$ jest równy 0 - wtedy funkcja jest stała. Dla pozostałych wartości wyznaczamy miejsce zerowe i rozwiązujemy nierówność. Np. dla $f(x) = (m - 3)x + 6$: przy $m = 3$ mamy $f(x) = 6$ - funkcja nie ma miejsca zerowego. Dla $m \neq 3$ miejsce zerowe to $-\frac{6}{m - 3}$; jest ono dodatnie, gdy $m - 3 < 0$, czyli dla $m < 3$. Tak samo badamy znak rozwiązania równania z parametrem.

18.Jak wyznaczyć parametr, dla którego miejsce zerowe funkcji należy do danego przedziału?

Wyznaczamy miejsce zerowe zależne od parametru i zapisujemy, że należy ono do przedziału - otrzymujemy nierówność podwójną. Np. dla $f(x) = 2x - k + 1$ miejsce zerowe to $\frac{k - 1}{2}$. Aby należało ono do przedziału $[-3; 1]$, musi być $-3 \leq \frac{k - 1}{2} \leq 1$, czyli $-6 \leq k - 1 \leq 2$, a stąd $k \in [-5; 3]$.

19.Jak rozwiązać nierówność $A \cdot x > B$, gdy $A$ zależy od parametru?

Rozpatrujemy trzy przypadki. Gdy $A > 0$, dzielimy obie strony przez $A$: $x > \frac{B}{A}$. Gdy $A < 0$, dzielimy i zmieniamy zwrot nierówności: $x < \frac{B}{A}$. Gdy $A = 0$, otrzymujemy $0 > B$ - każda liczba jest rozwiązaniem, jeśli $B < 0$, a rozwiązań nie ma, jeśli $B \geq 0$. Np. dla $(m - 2)x > 4$: przy $m > 2$ mamy $x > \frac{4}{m - 2}$, przy $m < 2$ mamy $x < \frac{4}{m - 2}$, a przy $m = 2$ nierówność $0x > 4$ jest sprzeczna.

20.Jak wyznaczyć parametr, dla którego zbiorem rozwiązań nierówności liniowej jest dany przedział?

Rozpatrujemy funkcję $f$ równą lewej stronie nierówności postaci $f(x) < 0$ (albo $\leq$, $>$, $\geq$). Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) < 0$ jest przedział $(-\infty; x_0)$, gdy $f$ jest rosnąca i ma miejsce zerowe $x_0$, a przedział $(x_0; \infty)$, gdy $f$ jest malejąca. Np. aby nierówność $(k + 3)x - 4 < 0$ miała zbiór rozwiązań $(-\infty; 2)$, potrzeba $k + 3 > 0$ oraz $\frac{4}{k + 3} = 2$, czyli $k = -1$.

21.Funkcja kosztów produkcji

W zadaniach koszty wyprodukowania $x$ sztuk opisuje zwykle funkcja liniowa $K(x) = b + a \cdot x$, gdzie $b$ to koszt stały (ponoszony niezależnie od liczby sztuk), a $a$ - koszt wyprodukowania jednej sztuki. Np. $K(x) = 2400 + 9x$ oznacza koszt stały 2400 zł i 9 zł za każdą sztukę. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb naturalnych, bo $x$ to liczba sztuk.

22.Jak obliczyć zysk firmy?

Zysk = dochód - koszty, a dochód ze sprzedaży to cena jednej sztuki pomnożona przez liczbę sprzedanych sztuk. Np. przy miesięcznych kosztach $K(x) = 2400 + 9x$ i sprzedaży w miesiącu 500 sztuk po 25 zł: dochód $500 \cdot 25 = 12\,500$ zł, koszty $2400 + 9 \cdot 500 = 6900$ zł, zysk $12\,500 - 6900 = 5600$ zł. Gdy liczymy zysk za kilka miesięcy, koszt stały dodajemy za każdy miesiąc.

23.Zerowy wynik ekonomiczny

Firma ma zerowy wynik ekonomiczny, gdy dochód jest równy kosztom, czyli zysk wynosi 0. Liczbę sztuk wyznaczamy z równania $D(x) = K(x)$, a na rysunku jest to pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresów dochodu i kosztów. Np. dla $D(x) = 25x$ i $K(x) = 2400 + 9x$: $16x = 2400$, czyli $x = 150$. Przy mniejszej produkcji firma ponosi stratę, a przy większej ma zysk.

24.Jak porównać dwie oferty typu „opłata stała + stawka”?

Każdą ofertę opisujemy funkcją liniową: koszt = opłata stała + stawka $\cdot$ liczba jednostek. Oferty kosztują tyle samo dla argumentu, przy którym wartości funkcji są równe (punkt przecięcia wykresów). Jeśli oferta z niższą opłatą stałą ma wyższą stawkę, jest tańsza tylko do tego punktu. Np. dla $A(t) = 20 + 6t$ i $B(t) = 8 + 10t$: $20 + 6t = 8 + 10t$ dla $t = 3$, więc przy $t < 3$ tańsza jest oferta B, a przy $t > 3$ - oferta A.

25.Jak opisać funkcją odległość w ruchu jednostajnym?

Przy stałej prędkości $v$ odległość od punktu, od którego się oddalamy, to $d(t) = d_0 + v \cdot t$, a od punktu, do którego się zbliżamy - $d(t) = d_0 - v \cdot t$, gdzie $d_0$ to odległość na początku ruchu. Dziedziną jest przedział czasu ruchu. Np. rowerzysta 72 km od miasta jedzie do niego z prędkością 16 km/h: $d(t) = 72 - 16t$ dla $t \in [0; 4{,}5]$, bo po 4,5 h dojeżdża do miasta.

26.Jak wyznaczyć chwilę, w której jeden pojazd dogoni drugi?

Zapisujemy odległości obu pojazdów od tego samego punktu jako funkcje czasu i przyrównujemy je - dogonienie (albo spotkanie) to punkt przecięcia wykresów tych funkcji. Np. rowerzysta wyjeżdża z prędkością 12 km/h, a godzinę później z tego samego miejsca wyrusza za nim skuter z prędkością 20 km/h: $12t = 20(t - 1)$, skąd $t = 2{,}5$. Skuter dogoni rowerzystę 2,5 h po jego wyjeździe, 30 km od startu.

27.Odległość między pojazdami jadącymi naprzeciw siebie

Gdy pojazdy wyjeżdżają jednocześnie z miejsc odległych o $d_0$ i jadą naprzeciw siebie z prędkościami $v_1$ i $v_2$, odległość między nimi do chwili spotkania wynosi $d(t) = d_0 - (v_1 + v_2) \cdot t$. Np. dla 45 km oraz prędkości 9 km/h i 6 km/h: $d(t) = 45 - 15t$, spotkanie następuje po 3 h, a odległość 15 km jest po 2 h. Po spotkaniu pojazdy znów się oddalają, więc ta sama odległość wystąpi drugi raz (tu po 4 h).

28.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z danych w zadaniu?

Gdy zależność jest liniowa i znamy dwie pary wartości, podstawiamy je do wzoru $y = ax + b$ i rozwiązujemy układ równań (albo obliczamy $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a potem $b$). Np. druk 500 ulotek kosztuje 700 zł, a 800 ulotek - 1060 zł: $a = \frac{1060 - 700}{800 - 500} = 1{,}2$, $b = 700 - 1{,}2 \cdot 500 = 100$, więc $K(x) = 1{,}2x + 100$, a druk 650 ulotek kosztuje 880 zł.

29.Jak bez obliczeń rozpoznać znak współczynnika kierunkowego prostej $PQ$?

Porównujemy współrzędne punktów $P$ i $Q$. Jeśli $x_P < x_Q$ i $y_P < y_Q$, prosta $PQ$ jest wykresem funkcji rosnącej, czyli $a > 0$. Jeśli $x_P < x_Q$ i $y_P > y_Q$, jest wykresem funkcji malejącej, czyli $a < 0$. Np. dla $P(-2, 3)$ i $Q(5, 1)$: $-2 < 5$ i $3 > 1$, więc $a < 0$ (rzeczywiście $a = -\frac{2}{7}$).

30.Przez jaki punkt przechodzi każda prosta $y = ax + b$ o ustalonym $b$?

Przez punkt $(0, b)$ - niezależnie od $a$. Dlatego dwa punkty mogą należeć do jednej z tych prostych tylko wtedy, gdy leżą na jednej prostej z punktem $(0, b)$, np. punkty $(-2, -1)$ i $(4, 11)$ należą do prostej $y = 2x + 3$. Przy $b > 0$ żadna taka prosta nie przechodzi jednocześnie przez punkt III i punkt IV ćwiartki. Podobnie każda prosta $y = a(x - p)$ przechodzi przez punkt $(p, 0)$.