Współczynnik kierunkowy i proste prostopadłe - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

Współczynnik kierunkowy prostej $y = ax + b$ przechodzącej przez punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$, gdzie $x_1 \neq x_2$, jest równy $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Kolejność punktów w liczniku i w mianowniku musi być ta sama. Np. dla $A(-3, 5)$ i $B(3, 1)$: $a = \frac{1 - 5}{3 - (-3)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ (rysunek: z $A$ do $C$ jest 6 jednostek w prawo, a z $C$ do $B$ - 4 w dół).

2.Dlaczego $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$?

Podstawiamy oba punkty do równania prostej: $y_1 = ax_1 + b$ i $y_2 = ax_2 + b$. Po odjęciu równań stronami wyraz wolny się redukuje: $y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1)$. Dzielimy obie strony przez $x_2 - x_1$, co wolno zrobić, bo $x_1 \neq x_2$.

3.Prosta przez punkty o równych odciętych albo o równych rzędnych a współczynnik kierunkowy

Gdy $x_1 = x_2$, mianownik we wzorze jest równy 0 i współczynnika nie da się obliczyć: prosta ma równanie $x = x_1$, jest równoległa do osi $OY$ i nie ma równania kierunkowego. Gdy $y_1 = y_2$, licznik jest równy 0, więc $a = 0$ i prosta ma równanie $y = y_1$. Np. przez $(2, -1)$ i $(2, 4)$ przechodzi prosta $x = 2$, a przez $(-1, 4)$ i $(3, 4)$ - prosta $y = 4$.

4.Jak sprawdzić, czy prosta $AB$ jest równoległa do prostej $CD$?

Obliczamy współczynniki kierunkowe obu prostych ze wzoru $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy te współczynniki są równe. Np. dla $A(-2, 1)$, $B(2, 3)$, $C(1, -3)$ i $D(7, 0)$: $a_{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ i $a_{CD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, więc $AB \parallel CD$.

5.Jak uzasadnić, że czworokąt jest równoległobokiem albo trapezem?

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki. Czworokąt jest trapezem, gdy ma co najmniej jedną parę boków równoległych, a równoległobokiem - gdy obie pary przeciwległych boków są równoległe. Np. dla $A(0, 0)$, $B(4, 1)$, $C(6, 5)$, $D(2, 4)$: $a_{AB} = a_{DC} = \frac{1}{4}$ i $a_{AD} = a_{BC} = 2$, więc $ABCD$ jest równoległobokiem (rysunek).

6.Interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy mówi, jak bardzo prosta jest „stroma”: gdy argument wzrasta o 1, wartość funkcji $y = ax + b$ zmienia się o $a$. Np. dla $y = 4x - 1$ każdy krok o 1 jednostkę w prawo daje wzrost o 4 jednostki w górę: z $A(0, -1)$ przez $P(1, -1)$ do $B(1, 3)$ i dalej przez $Q(2, 3)$ do $C(2, 7)$ (rysunek).

7.Współczynnik kierunkowy w postaci ułamka $\frac{p}{q}$

Jeśli $a = \frac{p}{q}$, gdzie $p$ i $q$ są dodatnimi liczbami naturalnymi, to wzrostowi argumentu o $q$ jednostek odpowiada wzrost wartości funkcji o $p$ jednostek. Np. dla $y = \frac{4}{5}x - 3$ przesunięcie o 5 jednostek w prawo daje wzrost o 4 jednostki: z $(0, -3)$ do $(5, 1)$ i dalej do $(10, 5)$.

8.Ujemny współczynnik kierunkowy

Gdy $a < 0$, wraz ze wzrostem argumentu wartość funkcji maleje: wzrostowi argumentu o 1 odpowiada spadek wartości o $|a|$. Dla $a = -\frac{p}{q}$ wzrostowi argumentu o $q$ odpowiada spadek o $p$. Np. dla $y = -\frac{3}{4}x + 5$: 4 jednostki w prawo i 3 w dół, czyli punkty $(0, 5)$, $(4, 2)$ i $(8, -1)$ (rysunek).

9.Jak współczynnik kierunkowy wpływa na nachylenie prostej?

Im większa wartość bezwzględna współczynnika kierunkowego, tym bardziej stroma jest prosta. Spośród prostych rosnących najbardziej stroma ma największy współczynnik, a spośród malejących - najmniejszy. Np. prosta $y = 4x$ jest bardziej stroma niż $y = \frac{1}{2}x$, a prosta $y = -3x$ - bardziej niż $y = -x$.

10.Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty za pomocą współczynnika kierunkowego?

Najpierw obliczamy $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Potem podstawiamy $a$ i współrzędne jednego z punktów do równania $y = ax + b$ i obliczamy $b$. Np. dla $P(-2, -7)$ i $Q(4, 2)$: $a = \frac{2 - (-7)}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, a z $2 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b$ mamy $b = -4$, więc $y = \frac{3}{2}x - 4$ (rysunek).

11.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, gdy znamy $f(x_1)$ i $f(x_2)$?

Równość $f(x_1) = y_1$ oznacza, że punkt $(x_1, y_1)$ należy do wykresu, więc wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Np. gdy $f(-1) = 7$ i $f(3) = -1$: $a = \frac{-1 - 7}{3 - (-1)} = -2$, a z $7 = -2 \cdot (-1) + b$ mamy $b = 5$, czyli $f(x) = -2x + 5$.

12.Warunek prostopadłości prostych

Proste $y = a_1x + b_1$, gdzie $a_1 \neq 0$, i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_2 = -\frac{1}{a_1}$, czyli $a_1 \cdot a_2 = -1$. Np. proste $AB$: $y = \frac{5}{4}x + 1$ i $CD$: $y = -\frac{4}{5}x + 1$ są prostopadłe, bo $\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -1$; przecinają się w punkcie $S(0, 1)$ (rysunek).

13.Jak sprawdzić, czy dwie proste są prostopadłe?

Zapisujemy równania prostych w postaci kierunkowej i mnożymy ich współczynniki kierunkowe. Jeśli iloczyn jest równy $-1$, proste są prostopadłe, a jeśli nie - nie są. Np. $a_1 = -\frac{5}{6}$ i $a_2 = 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ dają $-\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = -1$, a współczynniki $\frac{2}{3}$ i $-\frac{2}{3}$ dają $-\frac{4}{9}$, więc takie proste nie są prostopadłe.

14.Jak obliczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej?

Korzystamy z równości $a_2 = -\frac{1}{a_1}$: odwracamy współczynnik danej prostej i zmieniamy jego znak. Wyrazy wolne nie mają wpływu na prostopadłość. Np. prosta prostopadła do $y = \frac{5}{2}x - 1$ ma współczynnik $-\frac{2}{5}$, prostopadła do $y = -4x + 3$ - współczynnik $\frac{1}{4}$, a prostopadła do $y = 1\frac{1}{3}x$ - współczynnik $-\frac{3}{4}$.

15.Jak sprawdzić, czy trójkąt o danych wierzchołkach jest prostokątny?

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki. Jeśli iloczyn dwóch z nich jest równy $-1$, to te boki są prostopadłe, a kąt prosty leży przy ich wspólnym wierzchołku. Np. dla $A(-5, -1)$, $B(1, 1)$, $C(2, -2)$: $a_{AB} = \frac{1}{3}$, $a_{BC} = -3$ i $\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$, więc kąt prosty jest przy wierzchołku $B$ (rysunek).

16.Jak uzasadnić, że czworokąt jest prostokątem?

Pokazujemy, że przeciwległe boki leżą na prostych równoległych (równe współczynniki kierunkowe), a dwa sąsiednie boki - na prostych prostopadłych (iloczyn współczynników równy $-1$). Np. dla $A(-1, -2)$, $B(2, 0)$, $C(0, 3)$, $D(-3, 1)$: $a_{AB} = a_{DC} = \frac{2}{3}$, $a_{BC} = a_{AD} = -\frac{3}{2}$ i $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$.

17.Współczynnik kierunkowy wysokości trójkąta i przekątnej rombu

Wysokość trójkąta jest prostopadła do boku, na który ją opuszczono, a przekątne rombu są prostopadłe. Dlatego taka prosta ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{a}$, gdzie $a$ to współczynnik boku albo drugiej przekątnej. Np. dla $A(2, -1)$ i $B(6, 2)$: $a_{AB} = \frac{3}{4}$, więc prosta zawierająca wysokość opuszczoną na bok $AB$ ma współczynnik $-\frac{4}{3}$.

18.Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

Każde równanie układu opisuje prostą, a rozwiązania układu to współrzędne punktów wspólnych tych prostych. Układ oznaczony (jedno rozwiązanie): proste przecinają się w jednym punkcie. Układ sprzeczny (brak rozwiązań): proste są równoległe i różne. Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań): proste się pokrywają, a rozwiązaniami są współrzędne wszystkich ich punktów.

19.Jak rozwiązać układ równań liniowych metodą graficzną?

Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej, szkicujemy obie proste w jednym układzie współrzędnych i odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia. Na koniec sprawdzamy wynik, podstawiając go do układu. Np. układ $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$ daje proste $y = -\frac{2}{3}x + 4$ i $y = x - 1$, które przecinają się w punkcie $P(3, 2)$ (rysunek).

20.Jak bez rozwiązywania rozpoznać, czy układ jest oznaczony, sprzeczny czy nieoznaczony?

Zapisujemy oba równania w postaci kierunkowej $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$. Jeśli $a_1 \neq a_2$, układ jest oznaczony; jeśli $a_1 = a_2$ i $b_1 \neq b_2$ - sprzeczny; jeśli $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$ - nieoznaczony. Np. układ równań $y = \frac{1}{3}x + 2$ i $y = \frac{1}{3}x - 5$ jest sprzeczny, a układ $\begin{cases} x + y = 2 \\ 3x + 3y = 6 \end{cases}$ - nieoznaczony, bo drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 3.

21.Jak wyznaczyć wierzchołek figury, której boki leżą na danych prostych?

Wierzchołek jest punktem wspólnym prostych zawierających dwa sąsiednie boki, więc rozwiązujemy układ równań tych prostych. Np. jeśli boki leżą na prostych $y = 4x - 9$ i $y = -x + 6$, to z równania $4x - 9 = -x + 6$ mamy $x = 3$, a $y = 3$, więc wierzchołek to punkt $(3, 3)$.

22.Koszty, dochód i zysk opisane funkcją liniową

Koszty wytworzenia $x$ sztuk to często $K(x) = k + c \cdot x$, gdzie $k$ to koszty stałe, a $c$ - koszt wytworzenia jednej sztuki. Dochód ze sprzedaży po cenie $p$ za sztukę to $D(x) = p \cdot x$, a zysk to różnica dochodu i kosztów. Np. dla $K(x) = 2000 + 15x$ i ceny 40 zł zysk ze sprzedaży 300 sztuk to $12\,000 - 6500 = 5500$ zł.

23.Zerowy wynik ekonomiczny

Firma ma zerowy wynik ekonomiczny, czyli zysk równy 0, gdy dochód jest równy kosztom: $D(x) = K(x)$. Na wykresie to punkt przecięcia prostych dochodu i kosztów. Np. dla $K(x) = 2000 + 15x$ i $D(x) = 40x$: $40x = 2000 + 15x$, więc $x = 80$, a przy sprzedaży ponad 80 sztuk firma ma zysk.

24.Jak porównać dwie oferty z opłatą stałą i opłatą za jednostkę?

Zapisujemy koszt każdej oferty jako funkcję liniową i rozwiązujemy równanie, w którym koszty są równe. Np. kurs taksówką A kosztuje $7 + 2x$ zł, a taksówką B - $3 + 4x$ zł, gdzie $x$ to liczba kilometrów. Z $7 + 2x = 3 + 4x$ mamy $x = 2$: oba kursy kosztują wtedy 11 zł, dla $x < 2$ tańsza jest B, a dla $x > 2$ - A (rysunek: $KA$ - oferta A, $LB$ - oferta B).

25.Ruch ze stałą prędkością: kiedy pojazdy się spotkają?

Zapisujemy odległość każdego pojazdu od tego samego miejsca jako funkcję czasu, np. $d(t) = v \cdot t$ albo $d(t) = s - v \cdot t$ dla pojazdu jadącego z przeciwnej strony. Pojazdy spotykają się, gdy te odległości są równe; tak samo wyznaczamy chwilę dogonienia. Np. z miast odległych o $150~\mathrm{km}$ wyjeżdżają naprzeciw siebie samochody z prędkościami $70~\mathrm{km/h}$ i $80~\mathrm{km/h}$: $70t = 150 - 80t$, więc $t = 1~\mathrm{h}$.

26.Jak bez obliczeń ustalić znak współczynnika kierunkowego prostej $PQ$?

Porównujemy współrzędne punktów. Jeśli punkt o większej odciętej ma większą rzędną, prosta jest wykresem funkcji rosnącej i $a > 0$. Jeśli punkt o większej odciętej ma mniejszą rzędną, to $a < 0$. Np. dla $P\left(-\frac{7}{3}, \frac{3}{4}\right)$ i $Q\left(\frac{2}{5}, -\frac{5}{6}\right)$ mamy $x_P < x_Q$ i $y_P > y_Q$, więc $a < 0$.

27.Jak sprawdzić, czy dwa punkty mogą należeć do prostej $y = ax + b$ o danym $b$?

Taka prosta przechodzi przez punkt $(0, b)$, więc punkty $P$, $Q$ i $(0, b)$ muszą być współliniowe: współczynniki kierunkowe prostych przez $(0, b)$ i $P$ oraz przez $(0, b)$ i $Q$ muszą być równe. Np. dla $y = ax - 1$ punkty $(2, 3)$ i $(4, 7)$ pasują, bo $\frac{3 + 1}{2} = \frac{7 + 1}{4} = 2$, a punkty $(2, 3)$ i $(-2, 1)$ - nie, bo dają współczynniki 2 i $-1$.

28.Jak wyznaczyć argumenty, dla których funkcja liniowa przyjmuje wartości ujemne albo dodatnie?

Rozwiązujemy nierówność $ax + b < 0$ albo $ax + b > 0$. Pamiętamy, że dzielenie obu stron przez liczbę ujemną zmienia zwrot nierówności. Np. dla $f(x) = -4x + 10$: $-4x + 10 < 0$, czyli $-4x < -10$, więc $x > \frac{5}{2}$ - funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in \left(\frac{5}{2}; \infty\right)$.