Funkcja liniowa: wykres i własności - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Punkty kratowe należące do prostej

Punkty kratowe to punkty o obu współrzędnych całkowitych. Gdy prosta przechodzi przez punkty kratowe $A$ i $B$, przejście z $A$ do $B$ dzielimy na jak najwięcej równych „schodków” o całkowitych długościach. Np. z $A(-4, -3)$ do $B(2, 6)$ jest 6 w prawo i 9 w górę, czyli 3 schodki po 2 w prawo i 3 w górę: do odcinka $AB$ należą też $K(-2, 0)$ i $L(0, 3)$, a do prostej $AB$ np. $M(4, 9)$ (rysunek).

2.Jak wyznaczyć punkt $D$, aby odcinki $AB$ i $CD$ były równoległe i miały równe długości?

Odczytujemy, o ile jednostek w poziomie i w pionie przesuwamy się z $A$ do $B$, i tak samo przesuwamy punkt $C$. Drugi taki punkt dostajemy, przesuwając $C$ w przeciwną stronę. Np. dla $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(-2, -1)$: z $A$ do $B$ jest 3 w prawo i 1 w górę, więc $D_1(1, 0)$ i $D_2(-5, -2)$ (rysunek).

3.Funkcja liniowa

Funkcję $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ określoną wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$, nazywamy funkcją liniową. Używamy też zapisu $y = ax + b$. Np. funkcjami liniowymi są $f(x) = 5x - 8$, $f(x) = \frac{3}{7}x$ i $f(x) = 9$.

4.Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji $f(x) = ax + b$ jest prosta o równaniu $y = ax + b$. Aby ją naszkicować, wystarczy obliczyć wartości funkcji dla dwóch argumentów i poprowadzić prostą przez otrzymane punkty, bo przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta. Np. dla $f(x) = 3x - 4$: $f(0) = -4$ i $f(2) = 2$ (rysunek).

5.Jak dobrać argumenty, gdy współczynnik przy $x$ jest ułamkiem?

Wybieramy argumenty podzielne przez mianownik ułamka. Wtedy wartości funkcji są całkowite i dostajemy punkty kratowe, które łatwo zaznaczyć. Np. dla $f(x) = -\frac{3}{7}x + 2$ bierzemy $x = 0$ i $x = 7$: $f(0) = 2$, $f(7) = -3 + 2 = -1$, więc wykres przechodzi przez punkty $(0, 2)$ i $(7, -1)$.

6.Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny

We wzorze funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a liczbę $b$ - wyrazem wolnym. Np. dla prostej $y = -\frac{2}{5}x + 7$ współczynnik kierunkowy to $-\frac{2}{5}$, a wyraz wolny to 7.

7.Jak odczytać współczynniki, gdy wzór funkcji liniowej ma inną postać?

Najpierw doprowadzamy wzór do postaci $y = ax + b$: porządkujemy wyrazy, wymnażamy nawiasy, dzielimy każdy wyraz licznika przez mianownik. Np. $y = 5 - 4x$ to $y = -4x + 5$, więc $a = -4$ i $b = 5$, a $y = \frac{5x - 12}{4} = \frac{5}{4}x - 3$, więc $a = \frac{5}{4}$ i $b = -3$.

8.Przesunięcie prostej $y = ax$ wzdłuż osi $OY$

Prostą $y = ax + b$ otrzymamy, przesuwając prostą $y = ax$ wzdłuż osi $OY$ o $|b|$ jednostek: w górę, gdy $b > 0$, albo w dół, gdy $b < 0$. Obie proste są równoległe. Np. prosta $y = -\frac{3}{2}x + 4$ to prosta $y = -\frac{3}{2}x$ przesunięta o 4 jednostki w górę, a $y = -\frac{3}{2}x - 1$ - o 1 jednostkę w dół.

9.Kiedy proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe?

Proste te są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2$, czyli gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Proste o różnych współczynnikach kierunkowych nie są równoległe. Np. $y = 5x - 2$ i $y = 5x + 7$ są równoległe, a $y = 5x - 2$ i $y = -5x - 2$ nie są.

10.Co oznacza zdanie „$p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q$”?

Oznacza, że prawdziwe są dwa zdania: „jeżeli $p$, to $q$” oraz „jeżeli $q$, to $p$”. Np. twierdzenie o prostych równoległych mówi, że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe oraz że proste o równych współczynnikach kierunkowych są równoległe.

11.Jak wyznaczyć wzór funkcji, której wykres jest równoległy do danej prostej i przechodzi przez dany punkt?

Współczynnik kierunkowy przepisujemy z danej prostej, bo proste równoległe mają równe $a$. Potem podstawiamy współrzędne punktu do równania $y = ax + b$ i obliczamy $b$. Np. dla prostej $AB$: $y = -\frac{3}{4}x + 2$ i punktu $P(4, -5)$: $-5 = -\frac{3}{4} \cdot 4 + b$, więc $b = -2$ i szukana prosta $CP$ to $y = -\frac{3}{4}x - 2$ (rysunek).

12.Funkcja stała jako funkcja liniowa

Funkcja stała to funkcja liniowa $f(x) = ax + b$, w której $a = 0$, czyli $f(x) = b$. Dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość $b$, a jej wykresem jest prosta równoległa do osi $OX$, przechodząca przez punkt $(0, b)$. Np. wykres funkcji $f(x) = \frac{5}{2}$ przechodzi przez punkt $\left(0, \frac{5}{2}\right)$.

13.Punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią $OY$

Prosta będąca wykresem funkcji $f(x) = ax + b$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$, bo $f(0) = a \cdot 0 + b = b$. Np. wykres funkcji $f(x) = \frac{2}{7}x - 5$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -5)$.

14.Jak wyznaczyć wzór funkcji, której wykres przecina oś $OY$ w danym punkcie i jest równoległy do danej prostej?

Współczynnik kierunkowy przepisujemy z danej prostej, a wyraz wolny $b$ to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$. Np. wykres równoległy do prostej $y = \frac{5}{3}x - 2$, przecinający oś $OY$ w punkcie $(0, -7)$, ma równanie $y = \frac{5}{3}x - 7$.

15.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, gdy jej wykres przechodzi przez punkt $(0, b)$ i drugi dany punkt?

Rzędna punktu leżącego na osi $OY$ to wyraz wolny $b$. Współczynnik $a$ obliczamy, podstawiając współrzędne drugiego punktu do równania $y = ax + b$. Np. dla $P(0, -5)$ i $Q(4, 1)$: $b = -5$ i $1 = 4a - 5$, więc $a = \frac{3}{2}$ i $y = \frac{3}{2}x - 5$ (rysunek).

16.Jak sprawdzić, czy czworokąt o bokach zawartych w danych prostych jest trapezem lub równoległobokiem?

Porównujemy współczynniki kierunkowe tych prostych. Czworokąt jest trapezem, gdy ma co najmniej jedną parę boków równoległych, czyli gdy dwie z tych prostych mają równe współczynniki kierunkowe, a równoległobokiem - gdy są dwie takie pary prostych. Np. dla prostych $y = -2x + 3$, $y = -2x - 4$, $y = x + 1$ i $y = \frac{1}{4}x - 3$ równe współczynniki mają tylko proste $y = -2x + 3$ i $y = -2x - 4$, więc czworokąt jest trapezem, ale nie równoległobokiem.

17.Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji $f(x) = ax + b$ wyznaczamy, rozwiązując równanie $ax + b = 0$. Jeśli $a \neq 0$, to funkcja ma jedno miejsce zerowe: $x = -\frac{b}{a}$. Np. dla $f(x) = -2x + 5$: $-2x = -5$, więc $x = \frac{5}{2}$ (rysunek).

18.Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, a kiedy ma ich nieskończenie wiele?

Tylko wtedy, gdy $a = 0$, czyli gdy funkcja jest stała: $f(x) = b$. Jeśli $b \neq 0$, to funkcja nie ma miejsc zerowych, np. $f(x) = 4$. Jeśli $b = 0$, to każda liczba rzeczywista jest jej miejscem zerowym - to funkcja $f(x) = 0$, której wykresem jest oś $OX$.

19.Jak obliczyć pole trójkąta wyznaczonego przez osie układu współrzędnych i wykres funkcji liniowej?

Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu z osiami: $A(x_0, 0)$, gdzie $x_0$ to miejsce zerowe, i $B(0, b)$. Trójkąt $AOB$ jest prostokątny, więc $P = \frac{1}{2}|OA| \cdot |OB|$, gdzie $|OA|$ to długość odcinka $OA$. Np. dla $f(x) = -\frac{3}{2}x + 6$: $A(4, 0)$, $B(0, 6)$, $P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ (rysunek).

20.Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest rosnąca, gdy $a > 0$, malejąca, gdy $a < 0$, i stała, gdy $a = 0$. O monotoniczności decyduje tylko współczynnik kierunkowy, a nie wyraz wolny. Np. $f(x) = -2x + 9$ jest malejąca, a $f(x) = 0{,}5x - 9$ jest rosnąca.

21.Dlaczego funkcja liniowa, w której $a > 0$, jest rosnąca?

Weźmy dowolne argumenty $x_1 < x_2$. Mnożymy nierówność przez $a > 0$, co nie zmienia jej zwrotu: $ax_1 < ax_2$. Dodajemy $b$: $ax_1 + b < ax_2 + b$, czyli $f(x_1) < f(x_2)$. Dla $a < 0$ mnożenie zmienia zwrot nierówności, więc funkcja jest malejąca.

22.Jak odczytać z wykresu znaki współczynników $a$ i $b$?

Znak $a$ odczytujemy z monotoniczności: prosta rosnąca - $a > 0$, malejąca - $a < 0$, pozioma - $a = 0$. Znak $b$ odczytujemy z punktu przecięcia z osią $OY$: powyżej początku układu $b > 0$, poniżej $b < 0$, w punkcie $(0, 0)$ $b = 0$. Np. prosta z rysunku jest malejąca i przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -2)$, więc $a < 0$ i $b < 0$.

23.Przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi wykres funkcji liniowej?

Decydują o tym znaki $a$ i $b$. Prosta $y = ax + b$, w której $a \neq 0$ i $b \neq 0$, przechodzi przez trzy ćwiartki: np. dla $a > 0$ i $b < 0$ omija II ćwiartkę, a dla $a < 0$ i $b < 0$ - I ćwiartkę. Gdy $a \neq 0$ i $b = 0$, prosta przechodzi przez początek układu i dwie ćwiartki. Wykres funkcji stałej $y = b$, gdzie $b \neq 0$, leży w dwóch ćwiartkach: I i II, gdy $b > 0$, albo III i IV, gdy $b < 0$.

24.Proporcjonalność prosta

Zależność między dwiema dodatnimi wielkościami $x$ i $y$ daną wzorem $y = ax$, gdzie $a \in \mathbb{R}_+$, nazywamy proporcjonalnością prostą. Wielkości $x$ i $y$ są wtedy wprost proporcjonalne, a liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności. Np. koszt $y$ (w zł) zakupu $x$ kg jabłek po $4{,}50$ zł za kilogram: $y = 4{,}5x$.

25.Wykres proporcjonalności prostej

Wykresem proporcjonalności prostej $y = ax$ (gdzie $a > 0$ i $x > 0$) jest półprosta położona w I ćwiartce, wychodząca z początku układu współrzędnych. Punkt $(0, 0)$ do niej nie należy - zaznaczamy go pustym kółkiem. Np. do wykresu $y = \frac{5}{2}x$ należą punkty $(2, 5)$ i $(4, 10)$.

26.Jak wyznaczyć wzór proporcjonalności prostej, gdy znamy jedną parę wartości?

Dla wielkości wprost proporcjonalnych iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały i równy współczynnikowi $a$. Np. jeśli do wykresu należy punkt $(6, 9)$, to $a = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, czyli $y = \frac{3}{2}x$. Wtedy dla $x = 10$ mamy $y = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15$.

27.Droga w ruchu ze stałą prędkością

W ruchu ze stałą prędkością $v$ przebyta droga $s$ jest wprost proporcjonalna do czasu $t$: $s = v \cdot t$. Np. pociąg jadący z prędkością $80~\mathrm{km/h}$ w ciągu $2{,}5~\mathrm{h}$ przejedzie $80 \cdot 2{,}5 = 200~\mathrm{km}$, a w dwa razy dłuższym czasie - dwa razy dłuższą drogę.

28.Równanie kierunkowe prostej

Równanie postaci $y = ax + b$ nazywamy równaniem kierunkowym prostej. Takie równanie ma każda prosta, która jest wykresem funkcji liniowej, czyli każda prosta oprócz prostych równoległych do osi $OY$.

29.Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Podstawiamy współrzędne obu punktów do równania $y = ax + b$ i rozwiązujemy otrzymany układ równań z niewiadomymi $a$ i $b$. Np. dla $A(-1, 6)$ i $B(2, -3)$: $6 = -a + b$ i $-3 = 2a + b$, skąd $a = -3$ i $b = 3$, czyli $y = -3x + 3$ (rysunek).

30.Jak sprawdzić, czy trzy punkty są współliniowe?

Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez dwa z nich i sprawdzamy, czy współrzędne trzeciego punktu je spełniają. Np. prosta przez $A(-5, -3)$ i $B(1, 1)$ ma równanie $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$, a punkt $C(4, 3)$ na niej leży, bo $\frac{2}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} = 3$.

31.Prosta przechodząca przez dwa punkty o równych odciętych

Jeśli oba punkty mają tę samą pierwszą współrzędną $c$, to prosta jest równoległa do osi $OY$ i ma równanie $x = c$. Nie jest wykresem funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiada na niej wiele punktów, więc jej równania nie zapiszemy w postaci kierunkowej. Np. przez $(-4, 1)$ i $(-4, 6)$ przechodzi prosta $x = -4$.

32.Prosta przechodząca przez dwa punkty o równych rzędnych

Jeśli oba punkty mają tę samą drugą współrzędną $b$, to prosta jest równoległa do osi $OX$ i ma równanie $y = b$. Jest to równanie w postaci kierunkowej, w którym $a = 0$. Np. przez $(-6, -2)$ i $(1, -2)$ przechodzi prosta $y = -2$.

33.Równanie ogólne prostej

Równanie $Ax + By + C = 0$, gdzie $A \neq 0$ lub $B \neq 0$, nazywamy równaniem ogólnym prostej. W tej postaci można zapisać równanie każdej prostej na płaszczyźnie, także prostej równoległej do osi $OY$, np. prostą $x = 2$ opisuje równanie $x - 2 = 0$.

34.Jak przekształcić równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej?

Gdy $B \neq 0$, wyznaczamy z równania $y$: przenosimy wyrazy bez $y$ na drugą stronę i dzielimy obie strony przez współczynnik przy $y$. Np. $2x - 5y + 10 = 0$, czyli $-5y = -2x - 10$, skąd $y = \frac{2}{5}x + 2$ (rysunek).

35.Ile równań ogólnych ma jedna prosta?

Nieskończenie wiele: gdy pomnożymy obie strony równania $Ax + By + C = 0$ przez dowolną liczbę różną od 0, otrzymamy równanie tej samej prostej. Np. równania $3x - 2y + 8 = 0$ i $-6x + 4y - 16 = 0$ opisują tę samą prostą $y = \frac{3}{2}x + 4$, bo drugie powstaje z pierwszego przez pomnożenie przez $-2$.

36.Jak zapisać równanie kierunkowe prostej w postaci ogólnej o współczynnikach całkowitych?

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, a potem mnożymy obie strony przez wspólny mianownik ułamków. Np. $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{2}$ to $\frac{4}{3}x - y - \frac{5}{2} = 0$, a po pomnożeniu przez 6: $8x - 6y - 15 = 0$.

37.Jak wyznaczyć punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych?

Punkt na osi $OY$ ma odciętą 0, więc podstawiamy $x = 0$ i obliczamy $y$. Punkt na osi $OX$ ma rzędną 0, więc podstawiamy $y = 0$ i obliczamy $x$. Np. dla prostej $4x - 3y + 12 = 0$: $x = 0$ daje $y = 4$, a $y = 0$ daje $x = -3$, czyli punkty $(0, 4)$ i $(-3, 0)$ (rysunek).