Figury podobne i ich pola - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Figury podobne

Dwie figury geometryczne są podobne, jeśli są tego samego kształtu, lecz niekoniecznie tej samej wielkości. Podobne są np. dwa dowolne koła, dwa dowolne kwadraty i dwa dowolne trójkąty równoboczne. Podobieństwo figur $F_1$ i $F_2$ zapisujemy $F_1 \sim F_2$.

2.Wielokąty podobne

Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne. Potrzebne są oba warunki: kwadrat i prostokąt o bokach 2 i 5 mają równe kąty, ale nie są podobne, a kwadrat i romb o kącie $60^\circ$ mają boki proporcjonalne, ale też nie są podobne.

3.Skala podobieństwa

Dla wielokątów podobnych stosunek długości odcinków jednego wielokąta do długości odpowiadających im odcinków drugiego wielokąta nazywamy skalą podobieństwa i zwykle oznaczamy literą $k$. Na rysunku trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = 2$: każdy jego bok jest 2 razy dłuższy.

4.Skala podobieństwa figury $F_2$ do $F_1$ i figury $F_1$ do $F_2$

Jeśli figura $F_2$ jest podobna do $F_1$ w skali $k$, to $F_1$ jest podobna do $F_2$ w skali $\frac{1}{k}$ - te skale są liczbami odwrotnymi. Np. dla prostokątów o bokach 5 i 7 oraz $7{,}5$ i $10{,}5$ skala większego do mniejszego to $\frac{7{,}5}{5} = \frac{3}{2}$, a mniejszego do większego - $\frac{2}{3}$. Figury przystające są podobne w skali 1.

5.Jak obliczyć brakujący bok wielokąta podobnego?

Obliczamy skalę z pary odpowiadających sobie boków i mnożymy przez nią drugi bok albo układamy proporcję. Np. prostokąt $P_2$ jest podobny do prostokąta $P_1$ o bokach 4 i 10, a krótszy bok $P_2$ ma 6. Wtedy $k = \frac{6}{4} = 1{,}5$, więc dłuższy bok $P_2$ ma $1{,}5 \cdot 10 = 15$, tak samo jak z proporcji $\frac{b}{10} = \frac{6}{4}$.

6.Odcinki i obwody wielokątów podobnych

Jeśli wielokąt $F_1$ jest podobny do $F_2$ w skali $k$, to w tej skali są nie tylko boki, lecz także inne odpowiadające sobie odcinki, np. wysokości i przekątne: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{d_1}{d_2} = k$. Stosunek obwodów też jest równy $k$, bo każdy bok jest $k$ razy dłuższy. Np. romb podobny w skali $2{,}5$ do rombu o obwodzie 12 ma obwód 30.

7.Kiedy dwa prostokąty są podobne?

Dwa prostokąty są podobne, gdy stosunek długości do szerokości jest w obu taki sam - kąty proste są zawsze równe. Np. prostokąty o bokach 2 i 5 oraz $3{,}2$ i 8 są podobne, bo $\frac{5}{2} = \frac{8}{3{,}2} = 2{,}5$.

8.Cecha podobieństwa trójkątów BBB

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne: gdy $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$, to $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Np. trójkąty o bokach 4, 5, 6 i 6, $7{,}5$, 9 są podobne, bo każdy stosunek odpowiednich boków jest równy $\frac{2}{3}$, czyli większy trójkąt jest podobny do mniejszego w skali $k = \frac{3}{2} = 1{,}5$ (rysunek).

9.Cecha podobieństwa trójkątów KKK

Jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. Wystarczy sprawdzić dwie pary kątów, bo trzecie kąty są wtedy równe z sumy kątów trójkąta. Np. trójkąt o dwóch kątach $40^\circ$ i $75^\circ$ jest podobny do trójkąta o dwóch kątach $75^\circ$ i $65^\circ$, bo trzeci kąt pierwszego ma $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Na rysunku trójkąty mają równe kąty, a większy jest podobny do mniejszego w skali $k = 1{,}6$.

10.Cecha podobieństwa trójkątów BKB

Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne: gdy $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Kąt musi leżeć między tymi bokami.

11.Co oznacza kolejność liter w zapisie $\triangle ABC \sim \triangle KLM$?

Wierzchołki na tych samych miejscach sobie odpowiadają: $A$ i $K$, $B$ i $L$, $C$ i $M$. Dlatego kąty przy $A$ i $K$ są równe (tak samo przy $B$ i $L$ oraz przy $C$ i $M$), a $\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{|LM|}{|BC|} = \frac{|MK|}{|CA|} = k$, gdzie $k$ to skala podobieństwa trójkąta $KLM$ do trójkąta $ABC$.

12.Jak obliczyć boki trójkąta podobnego do danego?

Dopasowujemy odpowiadające sobie boki: najkrótszy do najkrótszego, najdłuższy do najdłuższego. Skalę obliczamy z jednej pary i mnożymy przez nią pozostałe boki. Np. trójkąt podobny do trójkąta o bokach 5, 7 i 8 ma najdłuższy bok 20: $k = \frac{20}{8} = 2{,}5$, więc jego pozostałe boki to $2{,}5 \cdot 5 = 12{,}5$ i $2{,}5 \cdot 7 = 17{,}5$.

13.Kiedy dwa trójkąty prostokątne są podobne?

Gdy kąt ostry jednego trójkąta jest równy kątowi ostremu drugiego (cecha KKK, bo kąty proste też są równe). Podobne są też trójkąty prostokątne, w których stosunek przyprostokątnych jest taki sam (cecha BKB z kątem prostym między przyprostokątnymi). Np. trójkąty o przyprostokątnych 2 i 3 oraz 5 i $7{,}5$ są podobne, bo $\frac{3}{2} = \frac{7{,}5}{5}$.

14.Odcinek równoległy do boku trójkąta

Jeśli punkt $D$ leży na boku $CA$, punkt $E$ na boku $CB$ i $DE \parallel AB$, to $\triangle DEC \sim \triangle ABC$ (cecha KKK: kąt $C$ jest wspólny, a pozostałe kąty są odpowiadające). Wtedy $\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|}$. Np. dla $|CD| = 3$, $|DA| = 2$ i $|AB| = 10$: $|DE| = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6$ (rysunek).

15.Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego

Wysokość $CD$ trójkąta prostokątnego $ABC$ z kątem prostym przy $C$ ($D$ - spodek wysokości na przeciwprostokątnej $AB$) dzieli go na trójkąty $ADC$ i $CDB$ podobne do siebie i do trójkąta $ABC$ (cecha KKK). Z podobieństwa $\triangle ADC \sim \triangle CDB$ mamy $\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|DB|}{|CD|}$, czyli $|CD|^2 = |AD| \cdot |DB|$. Np. dla $|AD| = 4$ i $|DB| = 9$: $|CD| = \sqrt{36} = 6$ (rysunek).

16.Trójkąty wyznaczone przez przekątne trapezu

Przekątne trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $O$. Trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (cecha KKK: kąty naprzemianległe przy podstawach i kąty wierzchołkowe przy $O$), a skala podobieństwa jest równa stosunkowi podstaw. Np. przy podstawach 12 i 4 jest $k = 3$, więc $|AO| = 3 \cdot |OC|$ i $|BO| = 3 \cdot |OD|$.

17.Pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ wyraża się wzorem $P = a \cdot b$. Np. prostokąt o obwodzie 26 i jednym boku 4 ma drugi bok $\frac{26}{2} - 4 = 9$, więc jego pole to $4 \cdot 9 = 36$.

18.Pole równoległoboku

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = a \cdot h$. Np. równoległobok o boku 7 i wysokości $h = 4$ opuszczonej na ten bok ma pole 28 (rysunek). Jeśli jego drugi bok ma 5, to wysokość opuszczona na ten bok ma $28 : 5 = 5{,}6$.

19.Przekątne i pole rombu

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w punkcie, który dzieli je na połowy. Pole rombu o przekątnych długości $d$ i $e$ wyraża się wzorem $P = \frac{1}{2} d \cdot e$. Np. romb $ABCD$ o przekątnych $d = |AC| = 30$ i $e = |BD| = 16$ ma pole $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 240$, a jego bok ma 17, bo połowy przekątnych to 15 i 8, a $8^2 + 15^2 = 17^2$ (rysunek).

20.Pole trapezu

Pole trapezu o podstawach długości $a$, $b$ i wysokości $h$ wyraża się wzorem $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Np. trapez o podstawach 11 i 5 oraz wysokości 4 ma pole $\frac{11 + 5}{2} \cdot 4 = 32$ (rysunek).

21.Stosunek pól figur podobnych

Jeśli skala podobieństwa figur podobnych równa się $k$, to stosunek ich pól jest równy $k^2$. Np. trójkąt podobny w skali 3 do trójkąta o polu 5 ma pole $3^2 \cdot 5 = 45$, a nie 15. Obwody figur podobnych są w stosunku $k$, a pola - w stosunku $k^2$.

22.Dlaczego stosunek pól trójkątów podobnych jest równy $k^2$?

Jeśli trójkąt $T_2$ jest podobny do $T_1$ w skali $k$, to podstawa i wysokość $T_2$ są $k$ razy dłuższe: $a_2 = k \cdot a_1$ i $h_2 = k \cdot h_1$. Stąd $P_2 = \frac{1}{2}(k \cdot a_1)(k \cdot h_1) = k^2 \cdot \frac{1}{2} a_1 h_1 = k^2 \cdot P_1$, czyli $\frac{P_2}{P_1} = k^2$.

23.Jak zmienia się pole figury, gdy wszystkie jej wymiary zmienimy o $p\%$?

Nowa figura jest podobna do wyjściowej w skali $k = 1 + \frac{p}{100}$ przy zwiększeniu albo $k = 1 - \frac{p}{100}$ przy zmniejszeniu, więc jej pole zmienia się $k^2$ razy. Np. po zwiększeniu wymiarów o 30% jest $k = 1{,}3$ i $k^2 = 1{,}69$, więc pole wzrasta o 69%, a nie o 30%. Po zmniejszeniu o 50%: $k = 0{,}5$ i $k^2 = 0{,}25$, czyli pole maleje o 75%.

24.Jak obliczyć skalę podobieństwa, gdy znamy pola figur?

Stosunek pól figur podobnych to $k^2$, więc skala jest pierwiastkiem ze stosunku pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$. Np. dla figur podobnych o polach 50 i 18 skala większej do mniejszej to $\sqrt{\frac{50}{18}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$, a nie $\frac{25}{9}$.

25.Jak obliczyć obwód figury podobnej, gdy znamy pola obu figur?

Z pól obliczamy skalę $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$, a obwód mnożymy przez $k$, a nie przez $k^2$. Np. trójkąty podobne mają pola 12 i 27, więc $k = \sqrt{\frac{27}{12}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$. Gdy mniejszy ma obwód 20, większy ma obwód $\frac{3}{2} \cdot 20 = 30$.

26.Skala planu a rzeczywiste pole

Plan w skali $1 : n$ jest podobny do rzeczywistego terenu: długości w terenie są $n$ razy większe, a pola - $n^2$ razy większe. Np. w skali $1 : 200$ prostokąt o wymiarach $5~\mathrm{cm}$ na $2~\mathrm{cm}$ to w terenie $10~\mathrm{m}$ na $4~\mathrm{m}$, więc pole $10~\mathrm{cm^2}$ na planie oznacza $10 \cdot 200^2~\mathrm{cm^2} = 40~\mathrm{m^2}$.

27.Pole trójkąta odciętego prostą równoległą do boku

Jeśli $DE \parallel AB$ ($D$ na boku $CA$, $E$ na boku $CB$), to trójkąt $DEC$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = \frac{|CD|}{|CA|}$, więc jego pole to $k^2$ pola trójkąta $ABC$. Np. gdy $D$ jest środkiem boku $CA$, to $k = \frac{1}{2}$, trójkąt $DEC$ ma $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $ABC$, a trapez $ABED$ - pozostałe $\frac{3}{4}$.

28.Konstrukcja symetralnej odcinka

Z jednego końca odcinka $AB$ rysujemy łuk okręgu o promieniu dłuższym od połowy odcinka, a z drugiego końca - łuk o takim samym promieniu. Łuki przecinają się w punktach $P$ i $Q$. Prosta $PQ$ jest symetralną odcinka $AB$, bo odcinki $PQ$ i $AB$ są przekątnymi rombu $APBQ$, a przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy.

29.Konstrukcja dwusiecznej kąta

Z wierzchołka $P$ kąta rysujemy łuk przecinający ramiona w punktach $A$ i $B$. Wewnątrz kąta rysujemy łuki o środkach $A$ i $B$ i takich samych promieniach - przecinają się w punkcie $R$. Półprosta $PR$ jest dwusieczną kąta $APB$, bo trójkąty $PAR$ i $PBR$ są przystające (cecha BBB).

30.Konstrukcja prostej prostopadłej do prostej $k$ przez punkt $P$ nieleżący na niej

Z punktu $P$ rysujemy łuk przecinający prostą $k$ w punktach $A$ i $B$. Z punktów $A$ i $B$ rysujemy przecinające się łuki o promieniu $|AP|$ - punkt ich przecięcia oznaczamy $Q$. Prosta $PQ$ jest prostopadła do prostej $k$, bo odcinki $PQ$ i $AB$ są przekątnymi rombu $APBQ$.

31.Konstrukcja prostej równoległej do prostej $k$ przez punkt $P$

Przez $P$ prowadzimy dowolną prostą $l$, która przecina $k$ w punkcie $Q$. Rysujemy łuki o równych promieniach i środkach $Q$ i $P$: pierwszy przecina $l$ w $R$, a $k$ w $S$, drugi przecina $l$ w $T$. Łuk o środku $T$ i promieniu $|RS|$ przecina łuk o środku $P$ w punkcie $U$. Prosta $PU$ jest równoległa do $k$, bo kąt $TPU$ jest przystający do kąta $RQS$.

32.Dowód dwukolumnowy

Przedstawiając dowód, uzasadniamy precyzyjnie każdy krok rozumowania. W dowodzie dwukolumnowym w jednej kolumnie zapisujemy kolejne stwierdzenia, a w drugiej - ich uzasadnienia. Np. gdy $S$ jest środkiem odcinków $AB$ i $CD$: $|AS| = |BS|$ ($S$ - środek $AB$); $|DS| = |CS|$ ($S$ - środek $CD$); $|\sphericalangle ASD| = |\sphericalangle BSC|$ (kąty wierzchołkowe); $\triangle ASD \equiv \triangle BSC$ (cecha BKB).