Trójkąty przystające i twierdzenie Talesa - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Kąt

Kąt to jeden z dwóch obszarów płaszczyzny wyznaczonych przez dwie półproste o wspólnym początku, razem z tymi półprostymi. Półproste to ramiona kąta, a ich wspólny początek to wierzchołek kąta. Miarę kąta $APB$ oznaczamy $|\sphericalangle APB|$ - litera wierzchołka stoi w środku zapisu.

2.Kąt wypukły i kąt wklęsły

Kąt wypukły ma miarę mniejszą od $180^\circ$ lub równą $180^\circ$, a kąt wklęsły - większą od $180^\circ$. Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty o sumie miar $360^\circ$: gdy jeden z nich ma np. $140^\circ$, drugi jest wklęsły i ma $220^\circ$.

3.Kąt ostry, prosty, rozwarty i półpełny

Kąt ostry ma miarę mniejszą od $90^\circ$, kąt prosty - równą $90^\circ$, a kąt rozwarty - większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$. Kąt półpełny ma miarę $180^\circ$, a jego ramiona tworzą prostą (rysunek).

4.Kąty przyległe

Dwa kąty wypukłe są przyległe, gdy mają wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Razem tworzą kąt półpełny, więc suma ich miar jest równa $180^\circ$. Np. kąt przyległy do kąta $70^\circ$ ma $110^\circ$ (rysunek).

5.Jak obliczyć miary kątów przyległych, gdy znamy stosunek ich miar?

Kąty przyległe w stosunku $m : n$ zapisujemy jako $m \cdot x$ i $n \cdot x$ i korzystamy z tego, że razem mają $180^\circ$. Np. dla stosunku $5 : 13$: $5x + 13x = 180^\circ$, czyli $18x = 180^\circ$, więc $x = 10^\circ$, a kąty mają $50^\circ$ i $130^\circ$.

6.Kąty wierzchołkowe

Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych - kąty z jednej pary leżą naprzeciw siebie i mają równe miary. Na rysunku oba kąty $\alpha$ są wierzchołkowe, tak samo oba kąty $\beta$. Kąty $\alpha$ i $\beta$ są przyległe, więc $\alpha + \beta = 180^\circ$.

7.Kąty odpowiadające

Para prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wyznacza kąty odpowiadające o równych miarach. Kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie trzeciej prostej i po tej samej stronie swoich prostych równoległych, np. oba nad nimi (rysunek: proste $a \parallel b$).

8.Jak nazywamy kąty $\alpha$ zaznaczone na rysunku ($a \parallel b$) i dlaczego są równe?

To kąty naprzemianległe: leżą po przeciwnych stronach trzeciej prostej, przy różnych prostych równoległych, oba między tymi prostymi (albo oba poza nimi). Mają równe miary, bo kąt wierzchołkowy do jednego z nich jest kątem odpowiadającym do drugiego.

9.Podział trójkątów ze względu na kąty

Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, a trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty. O rodzaju trójkąta decyduje jego największy kąt (rysunek: przykłady miar kątów).

10.Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta

Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa $180^\circ$. Gdy znamy dwa kąty trójkąta, trzeci obliczamy, odejmując ich sumę od $180^\circ$. Np. $\gamma = 180^\circ - (48^\circ + 67^\circ) = 65^\circ$ (rysunek).

11.Dowód twierdzenia o sumie kątów trójkąta

Przez wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ prowadzimy prostą $l$ równoległą do boku $AB$. Przy $C$ powstają kąty $\alpha'$ i $\beta'$, które są równe kątom $\alpha$ i $\beta$ trójkąta jako kąty naprzemianległe. Kąty $\alpha'$, $\gamma$ i $\beta'$ tworzą kąt półpełny, więc $\alpha + \beta + \gamma = \alpha' + \gamma + \beta' = 180^\circ$.

12.Kąty w trójkącie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary. Gdy kąt między ramionami ma miarę $\gamma$, każdy kąt przy podstawie ma $\frac{180^\circ - \gamma}{2}$. Np. dla $\gamma = 36^\circ$ kąty przy podstawie mają po $\frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ$.

13.Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. Dwusieczna kąta o mierze $\alpha$ tworzy z każdym jego ramieniem kąt $\frac{\alpha}{2}$, np. dwusieczna kąta $76^\circ$ tworzy z ramionami kąty po $38^\circ$.

14.Jak obliczyć kąt w trójkącie, w którym poprowadzono dwusieczną?

Dzielimy kąt na pół, a potem korzystamy z sumy kątów w jednym z dwóch mniejszych trójkątów. Np. w trójkącie $ABC$ jest $|\sphericalangle BAC| = 56^\circ$ i $|\sphericalangle ABC| = 48^\circ$, a dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$. Wtedy $|\sphericalangle BAD| = 28^\circ$, więc $|\sphericalangle ADB| = 180^\circ - (28^\circ + 48^\circ) = 104^\circ$ (rysunek).

15.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta: tworzą go bok trójkąta i przedłużenie drugiego boku wychodzącego z tego samego wierzchołka. Jego miara jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Np. przy kątach $47^\circ$ i $71^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma $47^\circ + 71^\circ = 118^\circ$ (rysunek).

16.Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa $360^\circ$, bo czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, a w każdym z nich suma kątów wynosi $180^\circ$. Np. czworokąt o kątach $75^\circ$, $95^\circ$ i $110^\circ$ ma czwarty kąt $360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$.

17.Dwusieczne kątów przyległych

Dwusieczne dwóch kątów przyległych są prostopadłe. Kąty przyległe $\alpha$ i $\beta$ mają razem $180^\circ$, więc kąt między ich dwusiecznymi ma $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

18.Wielokąty przystające

Figury przystające to, intuicyjnie, figury tego samego kształtu i wielkości. Dwa wielokąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki i odpowiednie kąty są równe. Przystawanie trójkątów zapisujemy $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$, a długość odcinka $AB$ oznaczamy $|AB|$.

19.Co oznacza kolejność liter w zapisie $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$?

Wierzchołki wymienione na tych samych miejscach sobie odpowiadają: $A$ i $K$, $B$ i $L$, $C$ i $M$. Dlatego $|AB| = |KL|$, $|BC| = |LM|$, $|CA| = |MK|$ oraz $|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle MKL|$, $|\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle KLM|$, $|\sphericalangle BCA| = |\sphericalangle LMK|$.

20.Cecha przystawania trójkątów BBB

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. Np. trójkąt o bokach 5, 7, 9 i trójkąt o bokach 9, 5, 7 są przystające. Przy tej cesze nie trzeba porównywać kątów.

21.Cecha przystawania trójkątów BKB

Jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające. Np. gdy $a = a'$, $b = b'$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$ (rysunek: kąt $\gamma$ leży między bokami $a$ i $b$).

22.Cecha przystawania trójkątów KBK

Jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są równe odpowiedniemu bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające. Np. gdy $b = b'$, $\alpha = \alpha'$ i $\gamma = \gamma'$, to $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$ (rysunek: kąty $\alpha$ i $\gamma$ leżą przy boku $b$).

23.Czy trzy pary równych kątów wystarczą do przystawania trójkątów?

Nie. Trójkąty o tych samych kątach mogą mieć różne wielkości, np. trójkąt równoboczny o boku 2 i trójkąt równoboczny o boku 5. Nie wystarczą też dwa boki i kąt, który nie leży między nimi - w cesze BKB kąt musi być zawarty między tymi bokami.

24.Jak uzasadnić, że dwa trójkąty są przystające?

Wskazujemy trzy pary równych elementów, które pasują do jednej z cech BBB, BKB albo KBK, i nazywamy tę cechę. Np. w trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Wtedy $|AC| = |BC|$, $|AD| = |BD|$, a bok $CD$ jest wspólny, więc z cechy BBB $\triangle ADC \equiv \triangle BDC$.

25.Symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka, przechodzącą przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka. Odwrotnie: punkt równo oddalony od końców odcinka leży na jego symetralnej.

26.Dlaczego punkt symetralnej odcinka jest równo oddalony od jego końców?

Niech punkt $P \neq S$ leży na symetralnej odcinka $AB$ o środku $S$. Trójkąty $ASP$ i $BSP$ mają $|AS| = |BS|$, wspólny bok $SP$ i kąty proste przy $S$ zawarte między tymi bokami, więc są przystające z cechy BKB. Stąd $|AP| = |BP|$. Gdy $P = S$, równość $|AP| = |BP|$ jest oczywista.

27.Symetralne boków trójkąta

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta. Uzasadnienie: punkt $Q$ wspólny dla symetralnych boków $AC$ i $BC$ spełnia $|AQ| = |CQ|$ i $|CQ| = |BQ|$, więc $|AQ| = |BQ|$, czyli $Q$ leży też na symetralnej boku $AB$.

28.Własność dwusiecznej kąta

Każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta (odległość mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego do ramienia). Uzasadnienie: z punktu $P$ dwusiecznej kąta o wierzchołku $A$ prowadzimy odcinki $PK$ i $PL$ prostopadłe do ramion. Trójkąty prostokątne $AKP$ i $ALP$ mają wspólny bok $AP$, równe kąty przy $A$ (połowy kąta) i równe kąty przy $P$ (z sumy kątów trójkąta), więc są przystające z cechy KBK. Stąd $|PK| = |PL|$.

29.Dwusieczne kątów trójkąta

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt leży wewnątrz trójkąta i jest równo oddalony od wszystkich trzech boków, bo leży na dwusiecznej każdego z kątów (rysunek).

30.Środkowa trójkąta

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe - po jednej z każdego wierzchołka (rysunek: środkowa poprowadzona z wierzchołka $C$).

31.Nierówność trójkąta

Z odcinków o długościach $a$, $b$, $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy $a + b > c$, gdzie $c$ jest długością najdłuższego odcinka. Np. z odcinków 4, 6 i 9 można, bo $4 + 6 > 9$, a z odcinków 3, 5 i 8 nie można, bo $3 + 5 = 8$.

32.Jak skonstruować trójkąt o danych długościach boków?

Rysujemy odcinek $AB$ o długości jednego z boków. Z punktu $A$ zataczamy cyrklem łuk o promieniu równym drugiemu bokowi, a z punktu $B$ - łuk o promieniu równym trzeciemu bokowi. Łuki przecinają się w dwóch punktach $C_1$ i $C_2$ po obu stronach $AB$. Każdy z nich wyznacza trójkąt o danych bokach, a oba trójkąty są przystające (cecha BBB).

33.Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta o wierzchołku $O$ są przecięte dwiema prostymi równoległymi $AA'$ i $BB'$, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu: $\frac{|OA'|}{|OA|} = \frac{|A'B'|}{|AB|}$ oraz $\frac{|OA'|}{|OA|} = \frac{|OB'|}{|OB|}$ (rysunek).

34.Jak obliczyć długość odcinka z twierdzenia Talesa?

Zapisujemy proporcję odpowiednich odcinków na obu ramionach kąta, wstawiamy dane i rozwiązujemy ją, mnożąc na krzyż. Np. dla $|OA| = 6$, $|AB| = 4$, $|OA'| = 4{,}5$ i $|A'B'| = x$: $\frac{x}{4} = \frac{4{,}5}{6}$, więc $x = \frac{4 \cdot 4{,}5}{6} = 3$ (rysunek).

35.Twierdzenie Talesa, gdy proste równoległe leżą po przeciwnych stronach punktu przecięcia

Dwie proste przecinają się w punkcie $S$. Na jednej leżą punkty $A$ i $C$, na drugiej $B$ i $D$, przy czym $S$ leży między $A$ i $C$ oraz między $B$ i $D$. Jeśli $AB \parallel CD$, to $\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{|SC|}{|SD|}$. Np. dla $|SA| = 2$, $|SB| = 3$ i $|SC| = 5$: $|SD| = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7{,}5$.

36.Twierdzenie Talesa dla trzech prostych równoległych i w trapezie

Gdy ramiona kąta przecinają trzy proste równoległe, odcinki między kolejnymi prostymi na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Tak samo prosta równoległa do podstaw trapezu $ABCD$ dzieli jego ramiona proporcjonalnie: gdy $P$ leży na $AD$, $Q$ na $BC$ i $PQ \parallel AB$, to $\frac{|AP|}{|PD|} = \frac{|BQ|}{|QC|}$. Np. dla $|AP| = 3$, $|PD| = 2$ i $|BC| = 10$: $|BQ| = 6$.

37.Jak podzielić odcinek na równe części za pomocą cyrkla i linijki?

Odcinek $AB$ umieszczamy na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $A$. Na drugim ramieniu odmierzamy cyrklem kolejno $n$ równych odcinków dowolnej długości. Ostatni punkt łączymy z punktem $B$, a przez pozostałe punkty prowadzimy proste równoległe do tej prostej. Z twierdzenia Talesa dzielą one $AB$ na $n$ równych części (rysunek dla $n = 4$).

38.Jak podzielić odcinek w danym stosunku, np. $2 : 3$?

Na drugim ramieniu kąta o wierzchołku $A$ odmierzamy $2 + 3 = 5$ równych odcinków; $K$ to koniec drugiego, a $L$ - piątego odcinka. Łączymy $L$ z punktem $B$, a przez $K$ prowadzimy prostą równoległą do $LB$. Przecina ona $AB$ w punkcie $P$, dla którego $|AP| : |PB| = 2 : 3$, co wynika z twierdzenia Talesa (rysunek).