Funkcja liniowa i równanie prostej - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Punkty kratowe na prostej

Punkty kratowe to punkty, których obie współrzędne są całkowite. Gdy znamy dwa punkty kratowe prostej, kolejne znajdujemy krokami: np. z $A(-4, 1)$ do $B(2, 5)$ idziemy 6 w prawo i 4 w górę, czyli dwa razy po 3 w prawo i 2 w górę. Do odcinka $AB$ należy więc jeszcze punkt kratowy $C(-1, 3)$, a do prostej $AB$ także np. punkt $D(5, 7)$ (rysunek).

2.Funkcja liniowa i jej wykres

Funkcję $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ określoną wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$, nazywamy funkcją liniową. Jej wykresem jest prosta o równaniu $y = ax + b$ (mówimy krótko: prosta $y = ax + b$). Do naszkicowania wykresu wystarczą dwa punkty, bo przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta, np. dla $f(x) = -\frac{3}{4}x + 2$: $f(0) = 2$ i $f(4) = -1$ (rysunek).

3.Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny

We wzorze funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a liczbę $b$ - wyrazem wolnym. Gdy wzór ma inną kolejność składników, najpierw go porządkujemy, np. $y = 5 - 2x = -2x + 5$, więc $a = -2$ i $b = 5$.

4.Kiedy proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są równoległe?

Wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2$. Wykresy funkcji liniowych o tym samym współczynniku kierunkowym otrzymujemy jeden z drugiego przez przesunięcie wzdłuż osi $OY$, np. proste $y = -2x + 1$ i $y = 3 - 2x$ są równoległe. Proste o różnych współczynnikach kierunkowych, np. $y = -2x + 1$ i $y = 2x + 1$, nie są równoległe.

5.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do danej prostej i przechodzi przez dany punkt?

Współczynnik kierunkowy $a$ bierzemy z danej prostej, a $b$ obliczamy, podstawiając współrzędne punktu do równania $y = ax + b$. Np. dla prostej $y = -5x + 2$ i punktu $P(1, 4)$: $a = -5$ oraz $4 = -5 \cdot 1 + b$, skąd $b = 9$, czyli szukana funkcja to $y = -5x + 9$.

6.Funkcja stała

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ dla $a = 0$ jest funkcją stałą: $f(x) = b$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Jej wykresem jest prosta równoległa do osi $OX$ przechodząca przez punkt $(0, b)$, np. wykresem funkcji $f(x) = -4$ jest prosta równoległa do osi $OX$ przechodząca przez punkt $(0, -4)$.

7.W jakim punkcie wykres funkcji liniowej przecina oś $OY$?

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$, bo $f(0) = a \cdot 0 + b = b$. Np. wykres funkcji $f(x) = -\frac{2}{7}x - 3$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -3)$.

8.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, gdy jej wykres przechodzi przez punkt na osi $OY$ i drugi punkt?

Punkt $(0, b)$ na osi $OY$ daje od razu wyraz wolny $b$. Współczynnik $a$ obliczamy, podstawiając współrzędne drugiego punktu do równania $y = ax + b$. Np. dla $P(0, -2)$ i $Q(4, 4)$: $b = -2$ oraz $4 = 4a - 2$, skąd $a = \frac{3}{2}$, czyli $y = \frac{3}{2}x - 2$.

9.Jak wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?

Jeśli $a \neq 0$, to funkcja liniowa $y = ax + b$ ma jedno miejsce zerowe: $-\frac{b}{a}$. Wyznaczamy je, rozwiązując równanie $ax + b = 0$, np. dla $f(x) = 3x + 7$: $3x = -7$, czyli $x = -\frac{7}{3}$.

10.Ile miejsc zerowych ma funkcja stała $f(x) = b$?

Funkcja stała to funkcja liniowa $f(x) = ax + b$, w której $a = 0$. Dla $b \neq 0$ nie ma ona miejsc zerowych, np. $f(x) = 5$. Dla $b = 0$ mamy $f(x) = 0$ dla każdego $x$, więc każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym - jest ich nieskończenie wiele.

11.Jak obliczyć pole trójkąta wyznaczonego przez osie układu i wykres funkcji liniowej?

Wyznaczamy miejsce zerowe (punkt $A$ na osi $OX$) i punkt $B(0, b)$ na osi $OY$. Trójkąt $AOB$ jest prostokątny, więc $P = \frac{1}{2} |OA| \cdot |OB|$, gdzie $|OA|$ oznacza długość odcinka $OA$. Np. dla $f(x) = -\frac{3}{2}x + 3$: $A(2, 0)$, $B(0, 3)$, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ (rysunek).

12.Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest rosnąca, gdy $a > 0$, malejąca, gdy $a < 0$, i stała, gdy $a = 0$ (wtedy jej wykresem jest prosta równoległa do osi $OX$). Np. funkcja $f(x) = (2 - \sqrt{5})x + 4$ jest malejąca, bo $2 - \sqrt{5} < 0$.

13.Dlaczego funkcja $f(x) = ax + b$, gdzie $a > 0$, jest rosnąca?

Bierzemy dowolne argumenty $x_1 < x_2$ i mnożymy obie strony nierówności przez $a > 0$ - zwrot się nie zmienia: $ax_1 < ax_2$. Po dodaniu $b$ mamy $ax_1 + b < ax_2 + b$, czyli $f(x_1) < f(x_2)$, więc $f$ jest rosnąca. Dla $a < 0$ mnożenie zmienia zwrot nierówności, więc $f(x_1) > f(x_2)$ i funkcja jest malejąca.

14.Jak odczytać z wykresu znaki współczynników $a$ i $b$ funkcji $f(x) = ax + b$?

Znak $a$ odczytujemy z monotoniczności: prosta rosnąca - $a > 0$, malejąca - $a < 0$, równoległa do osi $OX$ - $a = 0$. Znak $b$ odczytujemy z punktu przecięcia z osią $OY$: powyżej początku układu - $b > 0$, poniżej - $b < 0$, w początku układu - $b = 0$. Np. prosta rosnąca, która przecina oś $OY$ poniżej punktu $O$, ma $a > 0$ i $b < 0$.

15.Przez które ćwiartki układu przechodzi wykres funkcji liniowej?

Wynika to ze znaków $a$ i $b$. Dla $a \neq 0$ i $b \neq 0$ prosta przechodzi przez trzy ćwiartki, np. przy $a > 0$ i $b > 0$ - przez I, II i III, a przy $a < 0$ i $b > 0$ - przez I, II i IV. Np. $y = 2x - 5$ ($a > 0$, $b < 0$) przechodzi przez I, III i IV ćwiartkę. Wykres funkcji stałej $y = b$, gdzie $b \neq 0$, przechodzi przez dwie ćwiartki.

16.Proporcjonalność prosta

Zależność między dwiema dodatnimi wielkościami $x$ i $y$ daną wzorem $y = ax$, gdzie $a \in \mathbb{R}_+$, nazywamy proporcjonalnością prostą; $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, a $a$ to współczynnik proporcjonalności. Iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały. Np. w ruchu ze stałą prędkością $v$ droga jest wprost proporcjonalna do czasu: $s = v \cdot t$, więc przy $v = 15~\mathrm{km/h}$ w czasie $2{,}5~\mathrm{h}$ przebędziemy $37{,}5~\mathrm{km}$.

17.Co nazywamy równaniem kierunkowym prostej na płaszczyźnie?

Równanie postaci $y = ax + b$ nazywamy równaniem kierunkowym prostej. Ma je każda prosta będąca wykresem funkcji liniowej, także prosta $y = b$ równoległa do osi $OX$ (wtedy $a = 0$). Gdy znamy współrzędne dwóch różnych punktów prostej, możemy wyznaczyć jej równanie.

18.Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty za pomocą układu równań?

Podstawiamy współrzędne obu punktów do równania $y = ax + b$ i rozwiązujemy otrzymany układ równań z niewiadomymi $a$ i $b$. Np. dla $C(-1, 4)$ i $D(3, -4)$: $\begin{cases} 4 = -a + b \\ -4 = 3a + b \end{cases}$; po odjęciu równań stronami $8 = -4a$, więc $a = -2$ i $b = 2$, a prosta ma równanie $y = -2x + 2$.

19.Prosta równoległa do osi $OY$

Prosta przechodząca przez punkty o tej samej pierwszej współrzędnej $c$ ma równanie $x = c$, np. prosta przez punkty $(-4, 1)$ i $(-4, 6)$ ma równanie $x = -4$. Taka prosta nie jest wykresem funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiada nieskończenie wiele wartości, i jej równania nie można zapisać w postaci kierunkowej.

20.Równanie ogólne prostej

Równanie $Ax + By + C = 0$, gdzie $A \neq 0$ lub $B \neq 0$, nazywamy równaniem ogólnym prostej. W tej postaci można zapisać równanie każdej prostej, także równoległej do osi $OY$ (wtedy $B = 0$). Gdy $B \neq 0$, przekształcamy je do postaci kierunkowej, np. $x - 4y + 8 = 0 \Leftrightarrow 4y = x + 8 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x + 2$.

21.Czy jedna prosta może mieć kilka równań ogólnych?

Tak - po pomnożeniu równania ogólnego przez dowolną liczbę różną od zera otrzymujemy równanie tej samej prostej, np. $3x - y + 2 = 0$, $6x - 2y + 4 = 0$ i $-3x + y - 2 = 0$ opisują prostą $y = 3x + 2$. Jeśli równania $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ i $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ opisują tę samą prostą oraz $A_2$, $B_2$, $C_2$ są różne od zera, to $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

22.Jak sprawdzić, czy trzy punkty są współliniowe?

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez dwa z nich i sprawdzamy, czy współrzędne trzeciego punktu spełniają to równanie. Np. dla $A(-2, -5)$, $B(1, 1)$, $C(4, 7)$ prosta $AB$ ma równanie $y = 2x - 1$, a $2 \cdot 4 - 1 = 7$, więc punkty $A$, $B$, $C$ są współliniowe.

23.Kiedy proste dane równaniami ogólnymi są równoległe?

Proste $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ oraz $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1 B_2 = A_2 B_1$. Np. proste $2x - 3y + 1 = 0$ i $4x - 6y + 5 = 0$ są równoległe, bo $2 \cdot (-6) = 4 \cdot (-3) = -12$.

24.Równanie odcinkowe prostej

Prostą przecinającą oś $OX$ w punkcie $(p, 0)$ i oś $OY$ w punkcie $(0, q)$, gdzie $p \neq 0$ i $q \neq 0$, można opisać równaniem $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$. Np. $\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1$ to prosta przez punkty $(4, 0)$ i $(0, -2)$, czyli $y = \frac{1}{2}x - 2$ (rysunek). Prostą $y = ax + b$, gdzie $a \neq 0$ i $b \neq 0$, zapisujemy jako $\frac{x}{-\frac{b}{a}} + \frac{y}{b} = 1$.

25.Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

Współczynnik kierunkowy prostej $y = ax + b$ przechodzącej przez punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$, gdzie $x_1 \neq x_2$, dany jest wzorem $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (otrzymujemy go, odejmując stronami równania $y_1 = ax_1 + b$ i $y_2 = ax_2 + b$). Np. dla $A(-3, 4)$ i $B(5, -2)$: $a = \frac{-2 - 4}{5 - (-3)} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ (rysunek: od $A$ do $C$ - 8 w prawo, od $C$ do $B$ - 6 w dół).

26.Jak zmienia się wartość funkcji liniowej przy wzroście argumentu o 1?

Zmienia się o $|a|$: rośnie, gdy $a > 0$, albo maleje, gdy $a < 0$. To interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego - mówi on, jak bardzo prosta jest stroma. Dla $a = \frac{m}{n}$ ($m$, $n$ naturalne) wzrostowi argumentu o $n$ odpowiada wzrost wartości o $m$, a dla $a = -\frac{m}{n}$ - spadek o $m$. Np. dla $y = \frac{2}{3}x - 1$: 3 jednostki w prawo i 2 w górę (rysunek), a dla $y = -\frac{5}{2}x + 1$: 2 jednostki w prawo i 5 w dół.

27.Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty za pomocą współczynnika kierunkowego?

Najpierw obliczamy $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a potem podstawiamy do równania $y = ax + b$ współrzędne jednego z punktów i obliczamy $b$. Np. dla $P(-1, 7)$ i $Q(2, -2)$: $a = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = -3$, a $7 = -3 \cdot (-1) + b$ daje $b = 4$, czyli $y = -3x + 4$ (rysunek).

28.Równanie prostej w postaci $y - y_1 = a(x - x_1)$

W tej postaci można zapisać równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a$ przechodzącej przez punkt $(x_1, y_1)$. Np. prosta o współczynniku kierunkowym $-4$ przechodząca przez punkt $(3, 1)$ ma równanie $y - 1 = -4(x - 3)$, czyli $y = -4x + 13$. Tak samo zapisujemy prostą równoległą do danej prostej i przechodzącą przez dany punkt.

29.Jak sprawdzić, czy czworokąt o danych wierzchołkach jest równoległobokiem?

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających przeciwległe boki. Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem, gdy $a_{AB} = a_{DC}$ i $a_{BC} = a_{AD}$, a trapezem niebędącym równoległobokiem, gdy równa jest tylko jedna para. Np. dla $A(-3, -1)$, $B(2, 0)$, $C(4, 4)$, $D(-1, 3)$: $a_{AB} = a_{DC} = \frac{1}{5}$ i $a_{BC} = a_{AD} = 2$, więc $ABCD$ jest równoległobokiem.

30.Współczynnik kierunkowy jako prędkość

Na wykresie drogi $s$ w zależności od czasu $t$ współczynnik kierunkowy odcinka wykresu jest równy prędkości na tym odcinku: $v = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$. Np. odcinek od punktu $(2, 90)$ do punktu $(5, 300)$ (czas w h, droga w km) oznacza prędkość $\frac{300 - 90}{5 - 2} = 70~\mathrm{km/h}$, a poziomy odcinek wykresu - postój.

31.Warunek prostopadłości prostych

Proste $y = a_1 x + b_1$ ($a_1 \neq 0$) i $y = a_2 x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_2 = -\frac{1}{a_1}$, czyli $a_1 \cdot a_2 = -1$. Wyrazy wolne $b_1$ i $b_2$ nie mają tu znaczenia. Np. proste $y = \frac{1}{6}x$ i $y = -6x$ są prostopadłe, bo $\frac{1}{6} \cdot (-6) = -1$ (rysunek: $A(6, 1)$ leży na pierwszej prostej, $B(-1, 6)$ - na drugiej).

32.Jak obliczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej?

Bierzemy odwrotność współczynnika kierunkowego danej prostej i zmieniamy jej znak: $a = -\frac{1}{a_1}$. Np. dla $a_1 = -\frac{2}{5}$ jest $a = \frac{5}{2}$, a dla $a_1 = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ jest $a = -\frac{4}{5}$. Liczbę mieszaną zamieniamy najpierw na ułamek niewłaściwy.

33.Jak wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt?

Obliczamy współczynnik kierunkowy $a = -\frac{1}{a_1}$, a potem $b$ - podstawiając współrzędne punktu do równania $y = ax + b$. Np. dla prostej $k$: $y = -\frac{1}{4}x + 3$ i punktu $P(2, -1)$ prosta $l \perp k$ ma równanie $y = 4x + b$, a $-1 = 4 \cdot 2 + b$ daje $b = -9$, czyli $l$: $y = 4x - 9$ (rysunek).

34.Jak wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do prostej danej równaniem ogólnym?

Przekształcamy równanie ogólne do postaci kierunkowej i odczytujemy $a_1$. Współczynnik prostej prostopadłej to $a = -\frac{1}{a_1}$, a $b$ obliczamy z danego punktu. Np. wykres funkcji liniowej o miejscu zerowym 4, prostopadły do prostej $2x - 5y + 1 = 0$: $y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$, więc $a = -\frac{5}{2}$, a z punktu $(4, 0)$: $0 = -\frac{5}{2} \cdot 4 + b$, czyli $b = 10$ i $y = -\frac{5}{2}x + 10$.

35.Prosta prostopadła do prostej poziomej albo pionowej

Prosta prostopadła do prostej poziomej $y = c$ jest pionowa, a prosta prostopadła do prostej pionowej $x = c$ jest pozioma - warunku $a_1 \cdot a_2 = -1$ tu nie stosujemy. Np. przez punkt $P(5, 3)$ przechodzi prosta $x = 5$ prostopadła do prostej $y = -2$ oraz prosta $y = 3$ prostopadła do prostej $x = 1$.

36.Warunek prostopadłości prostych danych równaniami ogólnymi

Proste $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ oraz $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$. Np. proste $3x + 5y - 2 = 0$ i $5x - 3y + 4 = 0$ są prostopadłe, bo $3 \cdot 5 + 5 \cdot (-3) = 0$. Ten warunek obejmuje też proste pionowe i poziome.

37.Jak sprawdzić, czy trójkąt o danych wierzchołkach jest prostokątny?

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki. Jeśli iloczyn dwóch z nich jest równy $-1$, to te boki są prostopadłe i przy ich wspólnym wierzchołku jest kąt prosty. Np. dla $A(-2, 1)$, $B(2, -1)$, $C(4, 3)$: $a_{AB} = -\frac{1}{2}$ i $a_{BC} = 2$, a $a_{AB} \cdot a_{BC} = -1$, więc kąt prosty jest przy wierzchołku $B$. Bok równoległy do osi $OY$ nie ma współczynnika kierunkowego - jest prostopadły tylko do boku równoległego do osi $OX$.