Przekształcenia wykresu funkcji - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OY$

Wykres funkcji $y = f(x) + q$ dla $q > 0$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = f(x)$ o $q$ jednostek w górę wzdłuż osi $OY$, a wykres funkcji $y = f(x) - q$ - o $q$ jednostek w dół. Każdy punkt $(x, y)$ wykresu przechodzi wtedy na punkt $(x, y + q)$ albo $(x, y - q)$. Np. prosta $y = 2x$ przesunięta o 3 jednostki w górę to prosta $y = 2x + 3$. Rysunek: łamana $ABC$ przesunięta o 3 jednostki w górę na łamaną $A'B'C'$.

2.Jak zmieniają się dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe po przesunięciu wykresu wzdłuż osi $OY$?

Funkcja $y = f(x) + q$ ma tę samą dziedzinę co $f$. Zbiór wartości przesuwa się o $q$: jeśli $f$ ma zbiór wartości $[m; M]$, to $y = f(x) + q$ ma zbiór wartości $[m + q; M + q]$. Miejsca zerowe zwykle się zmieniają i trzeba je wyznaczyć na nowo. Np. gdy $f$ ma zbiór wartości $[-3; 2]$, funkcja $y = f(x) + 5$ ma zbiór wartości $[2; 7]$, więc nie ma miejsc zerowych.

3.Przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OX$

Wykres funkcji $y = f(x - p)$ dla $p > 0$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = f(x)$ o $p$ jednostek w prawo wzdłuż osi $OX$, a wykres funkcji $y = f(x + p)$ - o $p$ jednostek w lewo. Każdy punkt $(x, y)$ przechodzi na $(x + p, y)$ albo $(x - p, y)$. Np. $y = (x + 4)^2$ to parabola $y = x^2$ przesunięta o 4 jednostki w lewo, z wierzchołkiem $(-4, 0)$. Rysunek: łamana $ABC$ przesunięta o 3 jednostki w prawo na łamaną $A'B'C'$.

4.Dlaczego wykres funkcji $y = f(x - p)$, gdzie $p > 0$, przesuwa się w prawo, a nie w lewo?

Funkcja $g(x) = f(x - p)$ przyjmuje wartość $f(x)$ dopiero dla argumentu większego o $p$: $g(x + p) = f(x)$. Np. dla $g(x) = f(x - 5)$ mamy $g(5) = f(0)$ i $g(7) = f(2)$, więc każdy punkt wykresu $f$ przesuwa się o 5 jednostek w prawo. Tabela wartości funkcji $g$ to tabela wartości $f$ z argumentami większymi o 5.

5.Jak zmieniają się dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe po przesunięciu wykresu wzdłuż osi $OX$?

Funkcja $y = f(x - p)$ ma ten sam zbiór wartości co $f$. Dziedzina i miejsca zerowe przesuwają się o $p$ (dla $p < 0$ - w lewo): z dziedziny $[a; b]$ powstaje $[a + p; b + p]$, a miejsce zerowe $x_0$ przechodzi na $x_0 + p$. Np. jeśli $f$ ma dziedzinę $[-1; 5]$ i miejsca zerowe $-1$ i $3$, to $g(x) = f(x + 2)$ ma dziedzinę $[-3; 3]$ i miejsca zerowe $-3$ i $1$.

6.Jak odczytać przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OX$ we wzorze typu $y = |2x + 10|$?

Wyłączamy współczynnik przy $x$ przed nawias: $|2x + 10| = |2(x + 5)|$. Zatem wykres funkcji $y = |2x + 10|$ to wykres funkcji $y = |2x|$ przesunięty o 5 jednostek w lewo, a nie o 10. Miejscem zerowym jest $-5$, bo $2 \cdot (-5) + 10 = 0$.

7.Jak odróżnić we wzorze przesunięcie wzdłuż osi $OX$ od przesunięcia wzdłuż osi $OY$?

Liczba dodana do wartości funkcji, jak w $f(x) + q$, przesuwa wykres w pionie zgodnie ze znakiem. Liczba dodana do argumentu, jak w $f(x + p)$, przesuwa wykres w poziomie w stronę przeciwną do znaku. Np. $y = |x| - 5$ to przesunięcie o 5 w dół (wierzchołek $(0, -5)$), a $y = |x - 5|$ - o 5 w prawo (wierzchołek $(5, 0)$).

8.Wektor

Wektor to odcinek z wyróżnionym początkiem i końcem, rysowany jako strzałka. Wektor o początku $A$ i końcu $B$ oznaczamy $\overrightarrow{AB}$. Początek $A$ nazywamy też punktem zaczepienia wektora, a o wektorze $\overrightarrow{AB}$ mówimy, że jest zaczepiony w punkcie $A$.

9.Współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$

Dla punktów $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$ współrzędne wektora określamy wzorem $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$ - od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku. Np. dla $A(-1, 3)$ i $B(5, -1)$: $\overrightarrow{AB} = [5 - (-1), -1 - 3] = [6, -4]$, czyli 6 jednostek w prawo i 4 w dół (rysunek).

10.Jak wyznaczyć koniec wektora, gdy znamy jego początek i współrzędne?

Do współrzędnych początku dodajemy współrzędne wektora: jeśli $\overrightarrow{AB} = [a, b]$, to $B(x_A + a, y_A + b)$. Początek wyznaczamy, odejmując: $A(x_B - a, y_B - b)$. Np. $A(3, -2)$ i $\overrightarrow{AB} = [-5, 4]$ dają $B(-2, 2)$, a $B(1, 6)$ i $\overrightarrow{AB} = [4, 2]$ dają $A(-3, 4)$.

11.Wektor przeciwny

Wektor $\overrightarrow{BA}$ nazywamy wektorem przeciwnym do wektora $\overrightarrow{AB}$. Jeśli $\overrightarrow{AB} = [a, b]$, to $\overrightarrow{BA} = [-a, -b]$, co zapisujemy $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Np. wektorem przeciwnym do wektora $[6, -4]$ jest wektor $[-6, 4]$.

12.Wektor zaczepiony i wektor swobodny

Aby określić wektor zaczepiony, podajemy współrzędne jego początku i końca. Dla wektora swobodnego podajemy tylko współrzędne $[a, b]$; oznaczamy go zwykle $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$. Np. każda strzałka prowadząca o 2 jednostki w prawo i o 3 w dół przedstawia ten sam wektor swobodny $\vec{u} = [2, -3]$. Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, mówimy po prostu „wektor”.

13.Przesunięcie o wektor $[a, b]$

Współrzędna $a$ mówi, o ile jednostek przesuwamy w poziomie (wzdłuż osi $OX$): w prawo, gdy $a > 0$, w lewo, gdy $a < 0$. Współrzędna $b$ mówi, o ile przesuwamy w pionie (wzdłuż osi $OY$): w górę, gdy $b > 0$, w dół, gdy $b < 0$. Punkt $P(x, y)$ przechodzi na $P'(x + a, y + b)$, np. w przesunięciu o wektor $[-3, 2]$ punkt $(1, 1)$ przechodzi na $(-2, 3)$.

14.Obraz figury w przesunięciu o wektor

Figurę $F'$ otrzymaną przez przesunięcie figury $F$ o wektor $\vec{v}$ nazywamy obrazem figury $F$ w przesunięciu o wektor $\vec{v}$. Wielokąt przesuwamy, przesuwając każdy jego wierzchołek. Np. trójkąt $A(-3, 0)$, $B(1, -1)$, $C(-1, 2)$ przesunięty o $\vec{v} = [3, 1]$ ma wierzchołki $A'(0, 1)$, $B'(4, 0)$, $C'(2, 3)$ (rysunek).

15.Jak wyznaczyć wektor przesunięcia, gdy znamy punkt i jego obraz?

Wektorem przesunięcia jest wektor o początku w danym punkcie i końcu w jego obrazie: $\vec{v} = \overrightarrow{PP'}$. Np. jeśli obrazem punktu $P(2, -1)$ jest $P'(-1, 3)$, to $\vec{v} = [-1 - 2, 3 - (-1)] = [-3, 4]$, czyli przesunięcie o 3 jednostki w lewo i o 4 w górę. Ten sam wektor przesuwa wszystkie pozostałe punkty figury.

16.Przesunięcie wykresu funkcji o wektor $[p, q]$

Wykres funkcji $y = f(x - p) + q$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = f(x)$ o wektor $[p, q]$, czyli jednocześnie o $p$ wzdłuż osi $OX$ i o $q$ wzdłuż osi $OY$. Wektor ten nazywamy wektorem przesunięcia. Np. $y = (x + 1)^2 - 4$ to parabola $y = x^2$ przesunięta o wektor $[-1, -4]$, z wierzchołkiem $(-1, -4)$ i miejscami zerowymi $-3$ i $1$ (rysunek).

17.Jak odczytać wektor przesunięcia ze wzoru funkcji?

Zapisujemy wzór w postaci $y = f(x - p) + q$ i odczytujemy wektor $[p, q]$. Liczba w nawiasie przy $x$ zmienia znak, a liczba dodana na końcu - nie. Np. $y = (x + 5)^2 + 1 = (x - (-5))^2 + 1$, więc wektor to $[-5, 1]$, a dla $y = |x - 3| - 2$ wektor to $[3, -2]$.

18.Jak przesunięcie wykresu o wektor $[p, q]$ zmienia dziedzinę i zbiór wartości funkcji?

Dziedzina przesuwa się o $p$, a zbiór wartości o $q$: jeśli $f$ ma dziedzinę $[a; b]$ i zbiór wartości $[m; M]$, to $g(x) = f(x - p) + q$ ma dziedzinę $[a + p; b + p]$ i zbiór wartości $[m + q; M + q]$. Np. gdy $f$ ma dziedzinę $[-4; 1]$ i zbiór wartości $[-2; 5]$, a wektor to $[3, -1]$, funkcja $g$ ma dziedzinę $[-1; 4]$ i zbiór wartości $[-3; 4]$.

19.Dziedzina i zbiór wartości funkcji $y = \sqrt{x - p} + q$

Wykres $y = \sqrt{x - p} + q$ to wykres $y = \sqrt{x}$ (dziedzina i zbiór wartości $[0; \infty)$) przesunięty o wektor $[p, q]$. Początek wykresu przechodzi z $(0, 0)$ na $(p, q)$, więc dziedziną jest $[p; \infty)$, a zbiorem wartości $[q; \infty)$. Np. $y = \sqrt{x + 2} - 3$ ma dziedzinę $[-2; \infty)$ i zbiór wartości $[-3; \infty)$ (rysunek).

20.Symetria wykresu względem osi $OX$

Wykres funkcji $y = -f(x)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y = f(x)$ względem osi $OX$. Punktowi $P(x, y)$ wykresu $f$ odpowiada punkt $Q(x, -y)$. Np. wykres $y = -(x - 1)^2$ to parabola $y = (x - 1)^2$ odbita względem osi $OX$: ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek $(1, 0)$ się nie zmienia. Rysunek: łamana $ABC$ i jej odbicie $A'B'C'$.

21.Jak symetria względem osi $OX$ zmienia własności funkcji?

Funkcja $g(x) = -f(x)$ ma tę samą dziedzinę i te same miejsca zerowe co $f$. Zbiór wartości zmienia się na liczby przeciwne: z $[m; M]$ powstaje $[-M; -m]$, np. z $[-1; 4]$ powstaje $[-4; 1]$. W przedziale, w którym $f$ jest rosnąca, funkcja $g$ jest malejąca, i odwrotnie.

22.Symetria wykresu względem osi $OY$

Wykres funkcji $y = f(-x)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y = f(x)$ względem osi $OY$. Punktowi $P(x, y)$ wykresu $f$ odpowiada punkt $Q(-x, y)$. Np. dla $f(x) = (x - 3)^2$ mamy $f(-x) = (-x - 3)^2 = (x + 3)^2$, więc wierzchołek $(3, 0)$ przechodzi na $(-3, 0)$. Rysunek: łamana $ABC$ i jej odbicie $A'B'C'$.

23.Jak symetria względem osi $OY$ zmienia własności funkcji?

Funkcja $g(x) = f(-x)$ ma ten sam zbiór wartości co $f$. Dziedzina i miejsca zerowe zmieniają się na liczby przeciwne: z dziedziny $[a; b]$ powstaje $[-b; -a]$, a miejsce zerowe $x_0$ przechodzi na $-x_0$. Np. $f$ o dziedzinie $[-2; 7]$ i miejscach zerowych $-1$ i $4$ daje $g$ o dziedzinie $[-7; 2]$ i miejscach zerowych $1$ i $-4$. Gdy $f$ jest rosnąca w $[a; b]$, to $g$ jest malejąca w $[-b; -a]$.

24.Wykres funkcji $y = -f(-x)$

Otrzymujemy go przez dwa odbicia wykresu $f$: względem osi $OY$ i względem osi $OX$. Punktowi $P(x, y)$ wykresu $f$ odpowiada punkt $Q(-x, -y)$. Dziedzina i miejsca zerowe zmieniają się na liczby przeciwne, a zbiór wartości $[m; M]$ przechodzi na $[-M; -m]$. Np. jeśli $f$ ma miejsca zerowe $-4$, $1$ i $5$, to $y = -f(-x)$ ma miejsca zerowe $4$, $-1$ i $-5$.

25.Jak naszkicować wykres funkcji $y = -[f(x - p) + q]$?

Przekształcenia wykonujemy w kolejności działań: najpierw przesuwamy wykres $f$ o wektor $[p, q]$, a na końcu odbijamy go względem osi $OX$. Np. dla $f(x) = x^2$ i $y = -[(x + 1)^2 - 9]$ wierzchołek $(0, 0)$ przechodzi na $(-1, -9)$, a potem na $(-1, 9)$, a miejsca zerowe $-4$ i $2$ się nie zmieniają (rysunek). Uwaga: $-[f(x - p) + q] = -f(x - p) - q$.

26.Jak naszkicować wykres funkcji $y = f(-x + p)$?

Najpierw przesuwamy wykres: $y = f(x + p)$, a potem odbijamy go względem osi $OY$ - zamiana $x$ na $-x$ daje $f(-x + p)$. Np. jeśli $f$ ma dziedzinę $[-2; 5]$, to $y = f(x + 1)$ ma dziedzinę $[-3; 4]$, a $y = f(-x + 1)$ - dziedzinę $[-4; 3]$. Tę dziedzinę można też wyznaczyć z warunku $-x + 1 \in [-2; 5]$.

27.Proporcjonalność odwrotna

Funkcję postaci $y = \frac{a}{x}$, gdzie $x > 0$ oraz $a \in \mathbb{R}_+$, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Wielkości $x$ i $y$ nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, a stałą $a$ - współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej. Np. dla $y = \frac{5}{x}$ współczynnik proporcjonalności jest równy 5.

28.Iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych

Jeśli wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały: $x \cdot y = a$. Tak sprawdzamy, czy dane z tabeli są odwrotnie proporcjonalne, i wyznaczamy współczynnik. Np. pary $(2, 20)$, $(5, 8)$, $(8, 5)$ mają iloczyn 40, więc $y = \frac{40}{x}$; dla $x = 10$ jest $y = 4$.

29.Jak zmienia się jedna z wielkości odwrotnie proporcjonalnych, gdy druga rośnie?

Wraz ze wzrostem jednej z nich druga proporcjonalnie maleje: gdy $x$ wzrośnie $k$ razy, to $y$ zmaleje $k$ razy, bo iloczyn $x \cdot y$ się nie zmienia. Np. dla $y = \frac{30}{x}$: $x = 2$ daje $y = 15$, a trzy razy większe $x = 6$ daje trzy razy mniejsze $y = 5$.

30.Wykres proporcjonalności odwrotnej $y = \frac{a}{x}$

Wykres leży w pierwszej ćwiartce układu i opada - funkcja jest malejąca, a jej zbiorem wartości jest $(0; \infty)$. Im większe $x$, tym bliżej osi $OX$ jest wykres, a im $x$ bliższe 0, tym bliżej osi $OY$; wykres nie przecina żadnej z osi. Każdy punkt $(x, y)$ wykresu spełnia warunek $x \cdot y = a$, np. dla $y = \frac{16}{x}$ są to m.in. punkty $(1, 16)$, $(2, 8)$, $(4, 4)$, $(8, 2)$ (rysunek).

31.Punkty o obu współrzędnych całkowitych na wykresie $y = \frac{a}{x}$

Dla naturalnego $a$ szukamy par liczb naturalnych o iloczynie $a$: punkt $\left(d, \frac{a}{d}\right)$ należy do wykresu dla każdego dzielnika naturalnego $d$ liczby $a$. Takich punktów jest tyle, ile dzielników naturalnych ma liczba $a$. Np. dla $y = \frac{27}{x}$ są to punkty $(1, 27)$, $(3, 9)$, $(9, 3)$, $(27, 1)$.

32.Boki prostokąta o stałym polu

Długości boków $x$ i $y$ prostokąta o ustalonym polu $P$ są odwrotnie proporcjonalne: $x \cdot y = P$, czyli $y = \frac{P}{x}$. Prostokąt o dwóch bokach zawartych w osiach układu i wierzchołku na wykresie $y = \frac{a}{x}$ ma pole $a$ niezależnie od wyboru wierzchołka. Np. przy polu $20~\mathrm{cm^2}$ do boku $4~\mathrm{cm}$ potrzeba boku $5~\mathrm{cm}$, a do boku $8~\mathrm{cm}$ - boku $2{,}5~\mathrm{cm}$.

33.Jakie wielkości z życia codziennego są odwrotnie proporcjonalne?

Odwrotnie proporcjonalne są m.in. cena za kilogram i liczba kilogramów towaru kupionego za stałą kwotę $K$: $y = \frac{K}{x}$, oraz średnia prędkość i czas przebycia stałej drogi $s$: $t = \frac{s}{v}$. Np. drogę $150~\mathrm{km}$ ze średnią prędkością $50~\mathrm{km/h}$ przebędziemy w $3~\mathrm{h}$, a z prędkością $75~\mathrm{km/h}$ - w $2~\mathrm{h}$.

34.Jak wyznaczyć miejsca zerowe funkcji określonej kilkoma wzorami?

Dla każdego wzoru rozwiązujemy równanie: wzór $= 0$ i sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do przedziału, w którym ten wzór obowiązuje. Miejscami zerowymi są tylko rozwiązania z właściwych przedziałów. Np. dla $f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{dla } x \in (-\infty; 0) \\ 3x + 3 & \text{dla } x \in [0; \infty) \end{cases}$ liczba $-3$ jest miejscem zerowym, bo $-3 \in (-\infty; 0)$, a liczba $-1$ nie jest, bo $-1 \notin [0; \infty)$.