Pojęcie funkcji, wykres i własności - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Funkcja

Funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi $x \in X$ odpowiada dokładnie jeden element $y \in Y$. Przyporządkowanie można opisać np. tabelą, grafem (strzałkami) albo słownie, np. każdej liczbie ze zbioru $\{12, 25, 37, 40\}$ przyporządkowujemy jej cyfrę jedności: 2, 5, 7, 0.

2.Dziedzina, argumenty, przeciwdziedzina i wartości funkcji

Zbiór $X$ to dziedzina funkcji, a jego elementy to argumenty. Zbiór $Y$ to przeciwdziedzina. Element zbioru $Y$, który jest przyporządkowany jakiemuś argumentowi, nazywamy wartością funkcji. Nie każdy element przeciwdziedziny musi być wartością, np. dla $f: \{-2, 0, 2\} \to \{0, 1, 2\}$, $f(x) = |x|$ liczba 1 nie jest wartością funkcji.

3.Co oznaczają zapisy $f: X \to Y$ i $f(x)$?

Zapis $f: X \to Y$ oznacza funkcję $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$, a $f(x)$ - wartość, jaką funkcja $f$ przyjmuje dla argumentu $x$. Zapis $f(3) = 7$ czytamy „$f$ od 3 jest równe 7” - dla argumentu 3 funkcja przyjmuje wartość 7. Funkcje oznaczamy zwykle małymi literami, np. $f$, $g$, $h$.

4.Kiedy przyporządkowanie nie jest funkcją?

Gdy jakiemuś elementowi zbioru $X$ nie przyporządkowano żadnego elementu zbioru $Y$ albo przyporządkowano mu więcej niż jeden element (na grafie: z elementu nie wychodzi żadna strzałka albo wychodzą co najmniej dwie). Różnym argumentom może natomiast odpowiadać ta sama wartość, np. dla $f(x) = x^2$ mamy $f(-3) = f(3) = 9$.

5.Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$, dla którego $f(x) = 0$. Miejsce zerowe jest liczbą z dziedziny, a nie punktem. Funkcja może mieć kilka miejsc zerowych albo nie mieć żadnego, np. funkcja $f(x) = x^2 - 3x$ o dziedzinie $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ ma dwa miejsca zerowe: 0 i 3.

6.Prostokątny układ współrzędnych

To dwie prostopadłe osie liczbowe o wspólnym początku $O$: pozioma oś $OX$ (oś odciętych) i pionowa oś $OY$ (oś rzędnych); nazywamy go też kartezjańskim układem współrzędnych. Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie określony przez parę współrzędnych $(x, y)$ - pierwsza to odcięta, druga to rzędna. Punkty, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, nazywamy punktami kratowymi, np. $(-3, 4)$.

7.Ćwiartki układu współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki numerowane cyframi rzymskimi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: I ($x > 0$, $y > 0$), II ($x < 0$, $y > 0$), III ($x < 0$, $y < 0$), IV ($x > 0$, $y < 0$). Na rysunku punkt $A$ leży w I ćwiartce, $B$ - w II, $C$ - w III, a $D$ - w IV. Punkty leżące na osiach, np. $(0, -5)$, nie należą do żadnej ćwiartki.

8.Wykres funkcji

Funkcję, której argumenty i wartości są liczbami, nazywamy funkcją liczbową. Wykresem funkcji $f: X \to Y$ w układzie współrzędnych nazywamy zbiór wszystkich takich punktów $(x, y)$, że $x \in X$ oraz $y = f(x)$. Np. wykres funkcji $f(x) = 3 - x$ o dziedzinie $\{0, 1, 2, 3\}$ to cztery punkty: $A(0, 3)$, $B(1, 2)$, $C(2, 1)$, $D(3, 0)$ (rysunek).

9.Sposoby przedstawiania funkcji

Funkcję można przedstawić za pomocą opisu słownego, grafu, tabeli, wykresu albo wzoru. Np. opis „każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę dwa razy większą pomniejszoną o 5” odpowiada wzorowi $f(x) = 2x - 5$ o dziedzinie $\mathbb{R}$; wzór można też zapisać w postaci $y = 2x - 5$.

10.Jak naszkicować wykres funkcji $f(x) = ax + b$, której dziedziną jest przedział ograniczony?

Przed szkicowaniem sprawdzamy dziedzinę - ten sam wzór na różnych dziedzinach daje różne wykresy. Dla przedziału domkniętego $[x_1; x_2]$ obliczamy $f(x_1)$ i $f(x_2)$ i rysujemy odcinek z końcami zaznaczonymi pełnymi kółkami. Dla przedziału otwartego wykresem jest odcinek bez końców (puste kółka), a dla jednostronnie domkniętego - odcinek bez jednego końca. Np. dla $f: [-1; 3] \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$ to odcinek $AB$, gdzie $A(-1, -3)$, $B(3, 5)$ (rysunek).

11.Wykres funkcji $f(x) = ax + b$ o dziedzinie $\mathbb{R}$

Dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$ wykresem funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$ jest prosta. Aby ją naszkicować, wystarczy obliczyć wartości funkcji dla dwóch dowolnych argumentów, bo przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Np. dla $f(x) = 2x - 3$: $f(0) = -3$ i $f(2) = 1$, więc prosta przechodzi przez punkty $(0, -3)$ i $(2, 1)$.

12.Kiedy wykresem funkcji $f(x) = ax + b$ jest półprosta?

Gdy dziedziną jest przedział nieograniczony z jednej strony. Dla $[p; \infty)$ lub $(-\infty; p]$ wykresem jest półprosta domknięta (z początkiem, pełne kółko), a dla $(p; \infty)$ lub $(-\infty; p)$ - półprosta otwarta (bez początku, puste kółko). Np. wykres funkcji $f: (-\infty; 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$ to półprosta zakończona w punkcie $(1, 5)$, który do niej należy.

13.Funkcja określona kilkoma wzorami

Funkcję można określić różnymi wzorami na różnych przedziałach; jej dziedziną jest suma tych przedziałów. Wartość obliczamy ze wzoru dla przedziału, do którego należy argument, a wykres szkicujemy częściami, pilnując pełnych i pustych kółek. Np. dla $f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4; 1) \\ -3 & \text{dla } x \in [1; 4] \end{cases}$ dziedziną jest $[-4; 4]$, $f(-1) = 1$, a $f(1) = -3$, bo 1 należy do drugiego przedziału.

14.Wykres funkcji $f(x) = |x|$

Wykresem funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$ są dwie półproste o wspólnym początku $(0, 0)$, w kształcie litery V (rysunek). Wzór można zapisać bez wartości bezwzględnej: $f(x) = -x$ dla $x \in (-\infty; 0)$ oraz $f(x) = x$ dla $x \in [0; \infty)$. Np. $f(-3) = 3$ i $f(3) = 3$.

15.Tabela wartości funkcji

Tabela, w której podajemy wartości funkcji dla wybranych argumentów. Pomaga naszkicować wykres: obliczone punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych i łączymy odpowiednią linią. Np. dla $f(x) = |x| - 1$: $f(-2) = 1$, $f(-1) = 0$, $f(0) = -1$, $f(1) = 0$, $f(2) = 1$.

16.Wykres funkcji $f(x) = x^2$

Wykresem funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ jest parabola z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ (rysunek). Szkicujemy ją z tabeli wartości, np. $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, łącząc punkty krzywą. Wykresem funkcji $y = -x^2$ jest taka sama parabola z ramionami skierowanymi w dół.

17.Parabole $y = ax^2$ dla różnych dodatnich $a$

Wykresy funkcji $y = \frac{1}{3}x^2$, $y = x^2$ i $y = 3x^2$ to parabole o wierzchołku $(0, 0)$ i ramionach skierowanych do góry. Im większy współczynnik $a$, tym parabola jest węższa, bo dla tego samego $x$ wartość jest większa, np. dla $x = 3$ te funkcje przyjmują wartości 3, 9 i 27.

18.Jak odczytać wartość funkcji z wykresu?

Na osi $OX$ zaznaczamy argument $x$, prowadzimy pionową prostą do wykresu, a z otrzymanego punktu - poziomą prostą do osi $OY$. Odczytana liczba to $f(x)$. Dla każdego argumentu z dziedziny jest dokładnie jeden taki punkt wykresu. Gdy dokładne odczytanie jest trudne, a znamy wzór funkcji, wartość obliczamy.

19.Jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji?

Wstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji: odciętą w miejsce $x$, a rzędną w miejsce $y$. Punkt należy do wykresu, gdy otrzymamy równość prawdziwą. Np. $P(3, 5)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 4$, bo $3^2 - 4 = 5$, a $Q(-2, 2)$ nie należy, bo $(-2)^2 - 4 = 0 \neq 2$.

20.Jak rozpoznać, czy krzywa jest wykresem funkcji?

Funkcja każdemu argumentowi przyporządkowuje tylko jedną wartość, więc do jej wykresu nie mogą należeć dwa punkty o tej samej odciętej. Zatem żadna prosta pionowa (równoległa do osi $OY$) nie przecina wykresu funkcji w więcej niż jednym punkcie. Np. okrąg nie jest wykresem funkcji, bo pewne proste pionowe przecinają go w dwóch punktach.

21.Funkcja rosnąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ spełniony jest warunek: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) < f(x_2)$. Warunek można też zapisać: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Większemu argumentowi odpowiada większa wartość, np. funkcja $f(x) = 2x + 1$ jest rosnąca.

22.Funkcja malejąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ spełniony jest warunek: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) > f(x_2)$, czyli $f(x_2) - f(x_1) < 0$. Większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość, np. funkcja $f(x) = 4 - x$ jest malejąca.

23.Jak wykazać z definicji, że funkcja jest rosnąca albo malejąca?

Bierzemy dowolne argumenty $x_1 < x_2$ z dziedziny, obliczamy różnicę $f(x_2) - f(x_1)$, zapisujemy ją jako iloczyn i ustalamy jej znak: dodatnia oznacza funkcję rosnącą, ujemna - malejącą. Np. dla $f(x) = 5 - 3x$: $f(x_2) - f(x_1) = (5 - 3x_2) - (5 - 3x_1) = -3(x_2 - x_1) < 0$, bo $x_2 - x_1 > 0$, więc $f$ jest malejąca (rysunek).

24.Jak wykazać z definicji, że $f(x) = \frac{3}{x}$ jest malejąca w przedziale $(-\infty; 0)$?

Różnicę $f(x_2) - f(x_1)$ sprowadzamy do wspólnego mianownika i ustalamy znaki licznika i mianownika. Dla $x_1 < x_2 < 0$: $f(x_2) - f(x_1) = \frac{3}{x_2} - \frac{3}{x_1} = \frac{3(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} < 0$, bo $x_1 - x_2 < 0$, a $x_1 x_2 > 0$ jako iloczyn dwóch liczb ujemnych. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w tym przedziale.

25.Jak wykazać z definicji, że $f(x) = -2x^2$ jest malejąca w przedziale $[0; \infty)$?

Różnicę kwadratów rozkładamy ze wzoru $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ i ustalamy znaki czynników. Dla $0 \leq x_1 < x_2$: $f(x_2) - f(x_1) = -2(x_2^2 - x_1^2) = -2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) < 0$, bo $x_2 - x_1 > 0$ i $x_2 + x_1 > 0$. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w tym przedziale.

26.Funkcja stała

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy stałą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ prawdziwa jest równość $f(x_1) = f(x_2)$. Jej wykres leży na prostej poziomej, np. wykres funkcji $f(x) = -2$ o dziedzinie $[1; 5]$ to odcinek poziomy od $(1, -2)$ do $(5, -2)$.

27.Funkcja niemalejąca i funkcja nierosnąca

Funkcja $f$ jest niemalejąca, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2$ z dziedziny z $x_1 < x_2$ wynika $f(x_1) \leq f(x_2)$, a nierosnąca, jeśli z $x_1 < x_2$ wynika $f(x_1) \geq f(x_2)$. Wykres funkcji niemalejącej może mieć odcinki poziome, ale nigdzie nie opada, a wykres funkcji nierosnącej nigdzie się nie wznosi.

28.Funkcje monotoniczne i związki między nimi

Funkcje rosnące, malejące, nierosnące, niemalejące i stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi. Każda funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda malejąca - nierosnąca. Funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca. Zdania odwrotne nie są prawdziwe, np. funkcja niemalejąca, której wykres ma odcinek poziomy, nie jest rosnąca.

29.Przedziały monotoniczności funkcji

Funkcję, która nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ale jest monotoniczna w pewnych przedziałach, nazywamy przedziałami monotoniczną, a te przedziały - przedziałami monotoniczności. Np. funkcja $f: [-4; 4] \to \mathbb{R}$, której wykresem jest łamana $ABCD$ (rysunek), rośnie w $[-4; -1]$, jest stała w $[-1; 2]$ i maleje w $[2; 4]$. Funkcja $y = x^2$ maleje w $(-\infty; 0]$ i rośnie w $[0; \infty)$.

30.Czy funkcja malejąca w dwóch przedziałach jest malejąca w ich sumie?

Nie zawsze. Np. funkcja $f(x) = \frac{2}{x}$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty; 0)$ i $(0; \infty)$, ale nie jest malejąca w zbiorze $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$, bo $-1 < 1$, a $f(-1) = -2 < f(1) = 2$. Przedziały monotoniczności takiej funkcji podajemy osobno, a nie jako sumę.

31.Jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu?

Dziedzina $D$ (lub $D_f$) to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Odczytujemy ją, rzutując wykres na oś $OX$: koniec z pełnym kółkiem należy do dziedziny, a z pustym - nie. Np. wykres złożony z odcinka od $(-5, 1)$ (pełne kółko) do $(-2, 3)$ (puste kółko) i odcinka od $(0, 2)$ do $(4, 0)$ (oba końce pełne) wyznacza dziedzinę $[-5; -2) \cup [0; 4]$.

32.Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji $f: D \to Y$ to zbiór tych wszystkich $y \in Y$, dla których istnieje taki argument $x \in D$, że $f(x) = y$; oznaczamy go $f(D)$ lub $f(D_f)$. Z wykresu odczytujemy go, rzutując wykres na oś $OY$ - pomagają proste poziome. Np. funkcja $f(x) = x^2$ o dziedzinie $[-1; 2]$ ma zbiór wartości $[0; 4]$.

33.Najmniejsza i największa wartość funkcji

To najmniejsza i największa liczba w zbiorze wartości - funkcja przyjmuje je dla pewnych argumentów. Funkcja może ich nie mieć, gdy wykres kończy się pustym kółkiem albo biegnie w nieskończoność. Np. funkcja $f: (1; 3] \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$ ma zbiór wartości $(2; 6]$: największa wartość to 6 (dla $x = 3$), a najmniejszej nie ma, bo 2 nie jest wartością.

34.Jak odczytać z wykresu argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość?

Rysujemy prostą poziomą $y = a$; odcięte punktów jej przecięcia z wykresem to argumenty, dla których $f(x) = a$. Miejsca zerowe to odcięte punktów wspólnych wykresu z osią $OX$. Np. dla $f(x) = x^2 - 4$ prosta $y = 5$ przecina wykres w punktach $(-3, 5)$ i $(3, 5)$, więc $f(x) = 5$ dla $x = -3$ i $x = 3$, a miejsca zerowe to $-2$ i $2$ (rysunek).

35.Jak odczytać z wykresu rozwiązania nierówności $f(x) > 0$ i $f(x) \leq 0$?

Nierówność $f(x) > 0$ spełniają argumenty, dla których wykres leży nad osią $OX$, a $f(x) < 0$ - te, dla których leży pod nią. Przy nierównościach nieostrych dołączamy miejsca zerowe; pojedyncze miejsce zerowe dopisujemy jako zbiór jednoelementowy, np. $\{1\}$. Wynik zapisujemy jako zbiór argumentów, np. dla $f(x) = x^2 - 4$: $f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$, a $f(x) \leq 0$ dla $x \in [-2; 2]$.

36.Jak odczytać z wykresu rozwiązania nierówności $f(x) \geq a$?

Rysujemy prostą $y = a$. Nierówność $f(x) > a$ spełniają argumenty, dla których wykres leży nad tą prostą, a przy $f(x) \geq a$ dołączamy też argumenty, dla których $f(x) = a$. Np. dla $f(x) = |x|$ o dziedzinie $[-3; 5]$ nierówność $f(x) \geq 2$ zachodzi dla $x \in [-3; -2] \cup [2; 5]$.

37.Jak rozwiązać graficznie równanie $f(x) = g(x)$ i nierówność $f(x) < g(x)$?

Szkicujemy wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych. Rozwiązaniami równania $f(x) = g(x)$ są odcięte punktów wspólnych wykresów, a nierówność $f(x) < g(x)$ spełniają argumenty, dla których wykres $f$ leży poniżej wykresu $g$. Np. parabola $y = x^2$ i prosta $y = x + 6$ przecinają się w punktach $(-2, 4)$ i $(3, 9)$, więc $x^2 = x + 6$ dla $x = -2$ i $x = 3$, a $x^2 < x + 6$ dla $x \in (-2; 3)$.